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2025-2026学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（下）段考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是无理数的是（　　）
A. B. 3.14 C. D.
2.DeepSeek-V3是一款基于混合专家（MoE）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（　　）
A. 6.71×1012 B. 6.71×1011 C. 67.1×1010 D. 671×109
3.陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一.如图所示的陀螺是由圆锥与圆柱组成的几何体，其俯视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.折叠拦道闸如图1所示.若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，则∠ABC+∠BCD=（　　）
A. 200° B. 230° C. 250° D. 270°
5.下列运算中正确的是（　　）
A. a3a2=a6 B. （a3）4=a7 C. a6÷a3=a2 D. a5+a5=2a5
6.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如10=3+7.在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（　　）
A. B. C. D.
7.如图，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，若AB是⊙O的直径，且∠P=68°，则∠BAC的度数为（　　）
A. 34°
B. 39°
C. 51°
D. 56°
8.元旦期间，某商场开展促销活动，将原来获利30%的某品牌服装以八折出售，结果每件获利60元，求这种服装每件成本价为多少元？若设这种服装每件成本价为x元，则可列方程为（　　）
A. （1+30%）x×80%=60 B. （1+30%）x×80%-x=60
C. （1+30%）x×（1-80%）=60 D.
9.如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC=150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA.有如下结论：①∠EAD=90°；②∠BOE=60°；③OA平分∠BOC；④ED=2EA；⑤BP=EQ.其中正确的结论个数是（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10.已知二次函数y=x2-4ax+a（a≠0）的图象经过，B（5a,y2）两点，则下列判断正确的是（　　）
A. 可以找到一个实数a,使得y1＞0 B. 无论实数a取什么值，都有y1＞0
C. 可以找到一个实数a,使得y2＜a D. 无论实数a取什么值，都有y2＜a
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.因式分解：x2-1= .
12.不等式x-2＞1的解集为______．
13.学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，那么这12名学生测试成绩的众数是 .（单位：分）
14.为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知∠ABE=70°，车轮半径为33cm,当BC=60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为 cm.（结果精确到1cm,参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74）
15.反比例函数，图象如图所示，点A在图象上，连接OA交图象于点B，则OA：OB的值为 .
16.如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点，连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠AEC=∠AFC.
求证：AE=AF.
19.(本小题10分)
（1）解方程：；
（2）化简：，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值.
20.(本小题10分)
小明家准备购置一辆电动小汽车，根据家庭需求决定在甲，乙两种型号中选择一款，他们查阅了某权威机构对这两台汽车的评分如下表（单项评分满分10分）：
型号 外观 配置 舒适性 安全性
甲 7 8 6 9
乙 9 8 7 7
（1）若通过平均分来确定最终评分，小明会选择______型号的小汽车？（填“甲”或“乙”）
（2）小明一家人认为各项都有不同的“重要程度”，大家商定外观、配置、舒适性和安全性按2：1：3：4的比例来确定最终的选择.你认为小明家会选择哪个型号的小汽车？请通过计算说明.
21.(本小题10分)
如图，已知直线l1∥l2.
（1）在l1，l2所在的平面内求作直线l,使得l∥l1∥l2，且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若l1与l2间的距离为4，点A，B，C分别在l,l1，l2上，且△ABC以∠A为直角的等腰直角三角形，求△ABC的面积.
22.(本小题10分)
【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”.某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务.
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m） l=M （a+y）.其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米.
【方案设计】
目标：设计简易杆秤.设定m0=10，M=50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米.任务：确定l和a的值.
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l,a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l,a的方程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值.
23.(本小题10分)
已知实数a,b,c,m,n满足.
（1）当a＞0时，求证：b≥2c；
（2）若m,n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m,n至少有一个为奇数.
24.(本小题10分)
抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（m，0）两点（点A在点B的左侧）．
（1）求b与m的数量关系；
（2）若直线y=2x+n与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），且AB在∠PAQ内部．
①当m=1时，求证：AB平分∠PAQ；
②当n=2b时，AP，AQ分别交y轴于C，D两点，求证：OC OD是一个定值．
25.(本小题10分)
如图，AB为⊙O的直径，射线AM与⊙O相切于点A，点C为射线AM上的一个动点，BC交⊙O于点D.
（1）若AC=AB，AE垂直OC，垂足为E，连接BE.
①求∠ABC的度数及的值；
②求证：△AEB∽△BEC；
（2）连接AD，求的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】（x+1）（x-1）
12.【答案】x＞3
13.【答案】90分
14.【答案】89
15.【答案】3：2
16.【答案】5
17.【答案】
18.【答案】证明见解析．
19.【答案】解：（1）方程两边都乘x-2得：1=x-1-3（x-2），
整理得：2x=4，
解得：x=2，
检验：∵当x=2时，x-2=0，
∴x=2是原方程的增根，
∴原方程的无解；
（2）
=
=
=，
∵不等式x≤2的非负整数解为0，1，2，
又∵x≠±1，x≠-2，
∴把x=0代入得：原式=2．
20.【答案】乙 小明家会选择甲型号的小汽车
21.【答案】如图，直线l即为所求作的直线；
；
4
22.【答案】解：（1）由题意可知，y=0，m=0，
∵（m0+m） l=M （a+y），m0=10，M=50，
∴10 l=50a,
∴l=5a.
（2）当y=50，m=1000时，得（10+1000） l=50（a+50），
∴101 l-5a=250．
（3）根据（1）和（2），得，解得．
23.【答案】 证明见解析．
24.【答案】解：（1）点A（-1，0），B（m，0）的中点为（，0），
函数的对称轴为直线x=-，
∴=-，
∴b=m-1；
（2）①当m=1时，b=0，B（1，0），
将点B代入y=x2+c，解得c=-1，
∴y=x2-1，
联立x2-1=2x+n，
整理得x2-2x-n-1=0，
设P（x1，2x1+n），Q（x2，2x2+n），
∴x1+x2=2，x1 x2=-1-n，
过点P作PN⊥x轴交于N点，过点Q作QM⊥x轴交于M点，
∴PN=2x1+n，MQ=-（2x2+n），AN=1+x1，AM=1+x2，
∴tan∠PAN=，tan∠MAQ=，
∴tan∠PAN-tan∠MAQ
=-
=
=
=0，
∴tan∠PAN=tan∠MAQ，
∴∠PAN=∠MAQ，
∴AB平分∠PAQ；
（3）∵n=2b，
∴y=2x+2b，
由（2）可求AP的直线解析式为y=x+，
直线AQ的解析式为y=x+，
∴C（0，），D（0，），
∴OC=||，OD=||，
联立x2+bx+c=2x+2b，
∴x2+（b-2）x+c-2b=0，
∴x1+x2=2-b，x1 x2=c-2b，
∴OC OD
=| |
=||
=||，
∵A（-1，0）在y=x2+bx+c上，
∴1-b+c=0，
∴c=b-1，
∴OC OD=2，
∴OC OD为定值．
25.【答案】①∠ABC=45°；； ②证明过程见详解；
的最大值是．
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