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第二章 3.圆周运动的实例分析
题型1 水平转盘上物体的圆周运动 题型2 倾斜转盘(斜面体)上物体的圆周运动
题型3 物体被系在绳上做圆锥摆运动 题型4 物体在圆锥面上做圆周运动
题型5 车辆在道路上的转弯问题 题型6 火车的轨道转弯问题
题型7 绳球类模型及其临界条件 题型8 杆球类模型及其临界条件
题型9 物体在圆形竖直轨道内的圆周运动 题型10 物体在环形竖直轨道内的圆周运动
题型11 拱桥和凹桥类模型分析 题型12 近心与离心运动的意义与原因
题型13 判断近心或离线运动的轨迹 题型14 离心运动的应用和防止
题型15 圆周运动与平抛运动相结合的问题
▉题型1 水平转盘上物体的圆周运动
【知识点的认识】
1.当物体在水平转盘上做圆周运动时，由于转速的变化，物体受到的向心力也会发生变化，经常考查临界与极值问题。
2.可能得情况如下图：
1．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动．开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法不正确的是（　　）
A．当ω 时，A、B相对于转盘会滑动
B．当ω 时，绳子一定有弹力
C．ω在ω范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．ω在0＜ω范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
2．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块a和B放在转盘上且木块a、B与转盘中心在同一条直线上，两木块用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动．开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止转动，角速度缓慢增大，以下说法不正确的是（　　）
A．当ω时，A、B会相对于转盘滑动
B．当ω时，绳子一定有弹力
C．ω在0＜ω范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
D．ω在ω范围内增大时，B所受摩擦力变大
（多选）3．如图所示，A、B两个材料相同的物体放在水平旋转的圆盘上，A的质量为m，B的质量为2m，B离轴距离为R，A离轴距离为2R，两物体始终相对盘静止，则（　　）
A．A与B的线速度大小之比为2：1
B．A与B的角速度之比为1：1
C．A与B的向心加速度大小之比为1：1
D．在转盘转速增加时，A比B先开始滑动
（多选）4．如图所示，两个质量均为m的小木块A和B（可视为质点）放在水平圆盘上，A与转轴OO′的距离为l，B与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（　　）
A．B一定比A先开始滑动
B．A，B所受的摩擦力始终相等
C．ω是B开始滑动的临界角速度
D．ω时，A所受摩擦力大小为kmg
▉题型2 倾斜转盘(斜面体)上物体的圆周运动
【知识点的认识】
本考点旨在针对物体在斜面上做圆周运动的情况，可能是随着转盘做匀速圆周运动，也可能是在轻绳的牵引下做变速圆周运动。
5．如图所示，在与水平地面夹角为θ＝30°的光滑斜面。上有一半径为R＝0.1m的光滑圆轨道，一质量为m＝0.2kg的小球在圆轨道内沿轨道做圆周运动，g＝10m/s2，下列说法中正确的是（　　）
A．小球能通过圆轨道最高点的最小速度为0
B．小球能通过圆轨道最高点的最小速度为1m/s
C．小球以2m/s的速度通过圆轨道最低点时对轨道的压力为8N
D．小球通过圆轨道最低点和最高点时对圆轨道的压力之差为6N
6．如图所示，长为L＝0.8m的细绳一端连接一质量为5kg的小球，另一端系在固定点O，将小球拉到A点并使细绳水平，给小球一竖直向下的初速度，小球开始绕固定端O点做圆周运动，运动至O点正下方B点时绳子刚好断了，之后做平抛运动，绳子能承受的最大拉力为450N．在B点右侧平地上固定一个倾角为37°的斜面CD，小球做平抛运动至斜面的最高点C时的速度方向恰好沿斜面方向，然后沿滑梯CD滑至D点，小球与斜面间动摩擦因数为0.5，CD长度为s＝11m。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力影响，重力加速度g取10m/s2．求：
（1）小球刚运动到B点时的速度大小；
（2）BC两点间的高度差；
（3）小球从B点运动到D点的时间。
7．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合，转台以一定角速度ω0匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，且受到的摩擦力恰好为零，它和O点的连线与OO'之间的夹角θ为60°。重力加速度大小为g.
（1）求转台角速度ω0；
（2）若转速ω变为（1+k）ω0，且0＜k 1，小物块没有与罐壁发生相对滑动，求小物块受到的摩擦力大小和方向。
▉题型3 物体被系在绳上做圆锥摆运动
【知识点的认识】
1.本考点旨在针对物体被系在绳上做圆锥摆运动的情况，如下图：
2.模型分析：在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小物体，绳子上端固定，设法使小物体在水平圆周上以大小恒定的速度旋转，细绳所掠过的路径为圆锥表面，这就是圆锥摆。
如图所示，小球在水平面内做圆周运动的圆心是О，做圆周运动的半径是Lsinθ，小球所需的向心力实际是绳子拉力FT与重力mg的合力，并有F合＝mg tanθ＝mω2Lsinθ，由此式可得cosθ。
（多选）8．如图所示，一不可伸长的轻质细绳，绳子的长度为l，绳的另一端连接一质量为m的小球，另一端固定在天花板上，小球可看作质点，现让小球以不同的角速度ω绕竖直轴做匀速圆周运动，小球离A点的竖直高度为h，细绳的拉力大小为F，重力加速度为g，下列图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
▉题型4 物体在圆锥面上做圆周运动
【知识点的认识】
1.本考点旨在针对物体在圆锥面上做圆周运动的情况。
2.常见的情况如下图：
（多选）9．一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面，圆锥筒固定，有质量不相等的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则（　　）
A．A球的角速度必小于B球的角速度
B．A球的线速度必大于B球的线速度
C．A球的运动周期必大于B球的运动周期
D．A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
（多选）10．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质量相同的两个小球A和B贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，A的运动半径较大，则（　　）
A．A球的角速度必小于B球的角速度
B．A球的线速度必小于B球的线速度
C．A球运动的周期必大于B球运动的周期
D．A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
▉题型5 车辆在道路上的转弯问题
【知识点的认识】
汽车转弯问题模型如下
模型分析：一般来说转弯处的地面是倾斜的，当汽车以某一适当速度经过弯道时，由汽车自重与斜面的支持力的合力提供向心力；小于这一速度时，地面会对汽车产生向内侧的摩擦力；大于这一速度时，地面会对汽车产生向外侧的摩擦力。如果转弯速度过大，侧向摩擦力过大，可能会造成汽车翻转等事故。
11．如图所示为某赛车比赛中的精彩瞬间。赛车正在倾斜轨道上转弯，假设赛车运动的轨道平面始终在水平面内，赛车的速度为v，倾斜轨道与水平方向夹角为θ，赛车转弯的半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．时，赛车有沿倾斜轨道向上运动的趋势
B．时，赛车刚好没有沿倾斜轨道向上或向下运动的趋势
C．时，赛车沿倾斜轨道向下会受到摩擦力作用
D．时，赛车沿倾斜轨道向下会受到摩擦力作用
12．摩托车正沿圆弧弯道以不变的速率行驶，则它（　　）
A．受到重力、支持力和向心力的作用
B．所受的地面作用力恰好与重力平衡
C．所受的合力可能不变
D．所受的合力始终变化
13．F1赛事中，某车手在一个弯道上高速行驶时突然出现赛车后轮脱落，遗憾地退出了比赛。关于后轮脱落后短时间内的运动情况，下列说法正确的是（　　）
A．仍然沿着赛车行驶的弯道运动
B．沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动
C．沿着与弯道垂直的方向做直线运动
D．上述情况都有可能
14．如图所示为摩托车比赛中运动员在水平路面上急转弯的情景，运动员在通过弯道时如果控制不当会发生侧滑而摔离正常比赛路线，将运动员与摩托车看作一个整体，下列说法正确的是（　　）
A．发生侧滑是因为运动员受到离心力的作用
B．为了避免转弯时发生侧滑，运动员应加速离开弯道
C．发生侧滑是因为运动员受到的合力小于所需的向心力
D．运动员转弯所需的向心力由地面对车轮的支持力与重力的合力提供
（多选）15．山崖边的公路常常称为最危险公路，一辆汽车欲安全通过此弯道公路，下列说法正确的是（　　）
A．若汽车以恒定的角速度转弯，选择内圈较为安全
B．若汽车以恒定的线速度大小转弯，选择外圈较为安全
C．汽车在转弯时受到重力、支持力和摩擦力作用
D．汽车在转弯时受到重力、支持力作用
（多选）16．公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处下列说法错误的是（　　）
A．路面外侧高内侧低
B．车速虽然低于vc，但只要不低于某一限度，车辆便不会向内侧滑动
C．车速只要高于vc，车辆便会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
（多选）17．公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处，（　　）
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
D．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
（多选）18．如图所示，某公路急转弯处是一段圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处（　　）
A．路面外侧高、内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速高于vc，但只要不超出某一限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
19．在用高级沥青铺设的高速公路上，对汽车的设计限速是30m/s．汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．（g＝10m/s2）
（1）如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
（2）如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够安全通过（不起飞）圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？
（3）如果弯道的路面设计为倾斜（外高内低），弯道半径为120m，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度是多少？
20．一同学骑自行车在水平公路上以5m/s的恒定速率转弯，已知人和车的总质量m＝80kg，转弯的路径近似看成一段圆弧，圆弧半径R＝20m，求：
（1）人和车作为一个整体转弯时需要的向心力；
（2）若车胎和路面间的动摩擦因数μ＝0.5，为安全转弯，车速不能超过多少．（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2）
▉题型6 火车的轨道转弯问题
【知识点的认识】
火车转弯模型如下
与公路弯道类似，铁轨弯道处，也通过一定的设计，展现出一定的坡度。当火车以某一适当速度通过时，恰好有火车自身重力与铁轨的支持力的合力提供向心力。当小于这一速度时，铁轨会对火车产生向外的压力，即火车会挤压内轨。当大于这一速度时。铁轨会对火车产生向内的挤压。即挤压外轨。
21．如图，铁路转弯处外轨应略高于内轨，火车必须按规定的速度行驶，则转弯时（　　）
A．火车所需向心力沿水平方向指向弯道内侧
B．弯道半径越大，火车所需向心力越大
C．火车的速度若小于规定速度，轮缘挤压外轨
D．当火车以规定速度通过此弯路时，火车所受重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
（多选）22．在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，当火车以特定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压。若此时火车的速度大小为v，两轨所在面的倾角为θ，则下列说法正确的是（　　）
A．该弯道的半径为（g为重力加速度的大小）
B．火车以大小为v的速度转弯时，火车受到的合力为零
C．若火车上的乘客增多，则特定的转弯速度将增大
D．若火车速率大于v，则外轨将受到轮缘的挤压
（多选）23．在某转弯处，规定火车行驶的速率为v0，则下列说法中正确的是（　　）
A．当火车以速率v0行驶时，火车的重力与支持力的合力方向一定沿水平方向
B．当火车的速率v＞v0时，火车对外轨有向外的侧向压力
C．当火车的速率v＞v0时，火车对内轨有向内的挤压力
D．当火车的速率v＜v0时，火车对内轨有向内侧的压力
▉题型7 绳球类模型及其临界条件
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
24．拱桥指的是在竖直平面内以拱作为主要承重构件的桥梁，采用拱形设计的桥梁较平直桥梁而言，有助于汽车匀速通过桥面时（　　）
A．增加汽车对桥面的压力
B．减少汽车对桥面的压力
C．减少汽车所受的向心力
D．减少汽车所受的合力
25．如图所示，长度为L＝2.5m的轻质细杆OA的A端有一质量为m＝2.0kg的小球，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是5.0m/s，重力加速度g取10m/s2，则此时小球对细杆OA的作用力为（　　）
A．20.0N的拉力 B．零
C．20.0N的压力 D．40.0N的压力
26．如图所示，有一质量为2kg的小球从圆弧轨道的B点滚入，当运动到E点时，小球的速度大小为4m/s，速度方向与竖直方向的夹角为37°，取重力加速度大小g＝10m/s2，已知圆弧半径R＝3m，sin37°＝0.6，小球与轨道间的动摩擦因数μ＝0.75，则在E点时轨道对小球的作用力大小为（　　）
A． B． C． D．
27．如图所示，轻质细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，细杆长1m，小球质量为1kg，现使小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过轨道最低点A的速度为vA＝7m/s，通过轨道最高点B的速度为vB＝3m/s，g取10m/s2，则小球通过最低点和最高点时，细杆对小球的作用力（小球可视为质点）为（　　）
A．在A处为推力，方向竖直向下，大小为59N
B．在A处为拉力，方向竖直向上，大小为59N
C．在B处为推力，方向竖直向下，大小为1N
D．在B处为拉力，方向竖直向下，大小为1N
28．如图所示，水平桌面上放了一个小型的模拟摩天轮模型，将一个小物块置于该模型上某个吊篮内，随模型一起在竖直平面内沿顺时针匀速转动，二者在转动过程中保持相对静止（　　）
A．物块在d处受到吊篮的作用力一定指向圆心
B．整个运动过程中桌面对模拟摩天轮模型的摩擦力始终为零
C．物块在a处可能处于完全失重状态
D．物块在b处的摩擦力可能为零
（多选）29．如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，下列正确的说法是（　　）
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力有可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为零
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球的重力
（多选）30．“水流星”是中国传统民间杂技艺术，如图所示，杂技演员手拿绳子的中点让两水桶在竖直平面内做圆周运动，绳子长度为2L，水桶可看作质点，则下列说法正确的是（　　）
A．水桶通过最高点时的速度可以为0
B．水桶刚好通过最高点时的速度是
C．水桶通过最高点时，水对桶底的压力可以为0
D．水桶通过最低点时，绳子对水桶的拉力可以与水和桶所受总重力相等
31．一质量为0.5kg的小球，用长为0.4m细绳拴住，在竖直平面内做圆周运动（g取10m/s2），求：
（1）若过最高点时的速度为4m/s，此时小球角速度多大？
（2）若过最高点时绳的拉力刚好为零，此时小球速度大小？
（3）若过最低点时的速度为6m/s，此时绳的拉力大小？
32．如图所示为风靡小朋友界的风火轮赛车竞速轨道的部分示意图。
一质量为m＝0.5kg的赛车（可视为质点）从A处出发，驶过半径为R1＝0.1m的凸形桥的顶端B时，赛车对轨道向下的压力等于其重力的一半，经CD段直线加速后从D点以速度vD＝3m/s进入半径为R2＝0.2m的竖直圆轨道，并以vE＝0.4m/s的速度驶过圆轨道的最高点E，g取10m/s2。试计算：
（1）赛车在B点时的速度大小；
（2）赛车经过D点时的向心加速度大小；
（3）赛车经过E点时对轨道的弹力。
33．如图所示，AB为竖直光滑圆弧的直径，其半径R＝0.9m，A端沿水平方向。水平轨道BC与半径r＝0.5m的光滑圆弧轨道CDE相接于C点，D为圆轨道的最低点，圆弧轨道CD、DE对应的圆心角θ＝37°。圆弧和倾斜传送带EF相切于E点，EF的长度为l＝10m。一质量为M＝1kg的物块（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，再经过E点，随后滑上传送带EF。已知物块经过E点时速度大小与经过C点时速度大小相等，物块与传送带EF间的动摩擦因数μ＝0.75，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）物块从A点飞出的速度大小vA和在A点受到的压力大小FA；
（2）物块到达C点时的速度大小vC及对C点的压力大小FC；
（3）若传送带顺时针运转的速率为v＝4m/s，求物块从E端到F端所用的时间。
34．如图所示一辆总质量为m＝1600kg的汽车，静止在一座半径为R＝40m的圆弧形拱桥顶部。（g取10m/s2）求：
（1）此时拱桥对汽车的支持力是多大？
（2）如果汽车此时正以速度为36km/h前进，则拱桥对汽车的支持力是多大？
（3）汽车以多大速度通过拱桥顶部时，汽车对拱桥的压力恰好为零？
▉题型8 杆球类模型及其临界条件
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
35．如图所示，一根轻杆两端各系一个质量均为m的小球A和B，某人拿着轻杆的中点O，使两小球绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动。重力加速度大小为g。关于小球A、B的运动，下列说法正确的是（　　）
A．小球B在最高点时，杆对其作用力的方向一定竖直向下
B．杆竖直时，OA和OB对小球作用力的大小之差为3mg
C．杆竖直时，人对O点的作用力一定为2mg
D．在运动过程中，杆对两小球的作用力大小不可能相等
36．有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　）
A．如图甲，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨和轮缘间会有挤压作用
B．如图乙，“水流星”表演中，过最高点时水没有从杯中流出，水对杯底压力可以为零
C．如图丙，小球竖直面内做圆周运动，过最高点的速度至少等于
D．如图丁，A、B两小球在同一水平面做圆锥摆运动，则A比B的角速度大
37．如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，细杆长0.5m，小球质量为3.0kg，现给小球一初速度使它做圆周运动，若小球通过轨道最低点a处的速度为va＝4m/s，通过轨道最高点b处的速度为vb＝2m/s，取g＝10m/s2，则小球通过最低点和最高点时对细杆作用力的情况是（　　）
A．a处为拉力，方向竖直向上，大小为126N
B．a处为拉力，方向竖直向下，大小为24N
C．b处为拉力，方向竖直向下，大小为6N
D．b处为压力，方向竖直向下，大小为6N
38．质量为1kg的小球固定在长为0.9m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动。（g＝10m/s2）求：
（1）当小球在最高点的速度为多大时，杆对球的作用力为零？
（2）当小球在最高点的速度为6m/s时，杆对球的作用力。
▉题型9 物体在圆形竖直轨道内的圆周运动
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
39．如图所示，摩天轮悬挂座舱，乘客随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。则下列叙述正确的是（　　）
A．乘客的速度始终恒定
B．乘客的加速度始终恒定
C．座椅对乘客的作用力始终指向圆心
D．在最低点时，乘客对座椅的压力大于重力，处于超重状态
40．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的半圆形轨道，最高点为P点．现让一小滑块（可视为质点）从水平地面上向半圆形轨道运动，下列关于小滑块运动情况的分析，正确的是（　　）
A．若vp＝0，小滑块恰能通过P点，且离开P点后做自由落体运动
B．若vP＝0，小滑块能通过P点，且离开P点后做平抛运动
C．若vP，小滑块恰能到达P点，且离开p点后做自由落体运动
D．若vP，小滑块恰能到达P点，且离开P点后做平抛运动．
41．如图所示，从A点以某一水平初速度抛出质量m＝2kg的小物块（可视为质点），当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入圆心角∠BOC＝37°的固定光滑圆弧轨道BC，经水平粗糙轨道CD后通过一个光滑圆形轨道。已知A点相对C的竖直高度为H＝0.65m，圆弧BC的半径R＝1m。水平轨道CD的长度为x，物块与水平轨道间动摩擦因数μ＝0.1（取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8求：
（1）物块过B点时的速度大小；
（2）若x＝2m，则物块到达D点的动能是多大；
（3）要使物块能通过光滑圆形轨道最高点，R1的范围。
42．光滑水平面AB与竖直面内的圆形导轨在B点连接，导轨半径R＝0.5m，一个质量m＝2kg的小球在A处压缩一轻质弹簧，弹簧与小球不拴接。用手挡住小球不动，此时弹簧弹性势能EP＝36J，如图所示。放手后小球向右运动脱离弹簧，沿圆形轨道向上运动恰能通过最高点C，g取10m/s2．求：
（1）小球脱离弹簧时的速度大小；
（2）小球从B到C克服阻力做的功；
（3）小球离开C点后落回水平面的位置到B点的距离x。
▉题型10 物体在环形竖直轨道内的圆周运动
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
43．如图所示，半径为L的圆管轨道（圆管内径远小于轨道半径）竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球（小球直径略小于管内径）可沿管转动，设小球经过最高点P时的速度为v，则（　　）
A．v的最小值为
B．v若增大，轨道对球的弹力也增大
C．当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小
D．当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大
（多选）44．如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（　　）
A．小球能够通过最高点时的最小速度为0
B．小球能够通过最高点时的最小速度为
C．如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道的外壁有作用力
D．如果小球在最低点时的速度大小为，则小球对管道的作用力为5mg
▉题型11 拱桥和凹桥类模型分析
【知识点的认识】
1.模型的构建
如下图所示，汽车分别经过凸形桥和凹形桥，设汽车的质量为m，桥面圆弧半径为r，汽车经过桥面最高点或最低点的速度为v。
2.模型分析
45．有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　）
A．汽车以恒定速率通过拱桥的最高点时处于平衡状态
B．滑块随水平圆盘一起匀速转动，滑块有沿轨迹半径向外的相对运动趋势
C．同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A位置小球所受筒壁的支持力要大于在B位置时的支持力
D．火车转弯超过规定速度行驶时，内侧轨道对内轮缘会有挤压作用
46．如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为10m/s时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度应为（g＝10m/s2）（　　）
A．15m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s
47．当汽车通过拱桥顶点的速度为10m/s时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度应为（　　）
A．15m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s
48．下列有关生活中圆周运动实例分析中说法正确的是（　　）
A．甲图中，汽车通过拱桥最高点时，速度不能超过
B．乙图中，杂技演员表演“水流星”，在通过最低处时，水与桶之间可以没有作用力
C．丙图中，当火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
D．丁图中，洗衣机脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，水沿切线方向甩出
（多选）49．有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　）
A．如图a，汽车通过拱桥的最高点处于超重状态
B．如图b所示是一圆锥摆，增大θ，但保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度不变
C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位先后分别做匀速圆周运动，则在A位置小球所受筒壁的支持力要大于在B位置时的支持力
D．如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对外轮缘会有挤压作用
50．当汽车通过拱桥顶点的速度为6m/s时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，对桥顶的压力为零，则汽车通过桥顶的速度应为　 。
51．一辆质量为2000kg的小轿车，驶过半径R＝20m的一段圆弧形桥面，重力加速度g＝10m/s2．求：
（1）若桥面为凹形，汽车以20m/s的速度通过桥面最低点时，桥面对车的支持力大小是多大？
（2）若桥面为凸形，汽车以10m/s的速度通过桥面最高点时，桥面对车的支持力大小是多大？
（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？
52．有一个质量为800kg的小汽车驶上圆弧半径为40m的拱桥，重力加速度g取10m/s2。
（1）汽车到达桥顶时速度为10m/s，桥对汽车的支持力是多大？
（2）汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥面没有压力？
（3）假如拱桥的半径增大到与地球半径R＝6400km一样，当汽车的速度不断地增大就会在桥上腾空形成绕地球做圆周运动的卫星，求使汽车成为卫星的最小速度。
▉题型12 近心与离心运动的意义与原因
【知识点的认识】
1．离心运动
（1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
（2）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。
（3）受力特点：
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力。如图所示：
2．近心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F＞mrω2，物体渐渐向圆心靠近。如图所示：
注意：物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出。
53．有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　）
A．如图a，洗衣机脱水过程中，吸附在衣服上的水所受合力小于所需向心力
B．如图b，所示是一圆锥摆，增大θ，但保持圆锥的高不变，则圆锥摆的角速度减小
C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球的角速度及所受筒壁的支持力大小相等
D．如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
▉题型13 判断近心或离线运动的轨迹
【知识点的认识】
1．离心运动
（1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
（2）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。
（3）受力特点：
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力。如图所示：
2．近心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F＞mrω2，物体渐渐向圆心靠近。如图所示：
注意：物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出。
54．如图，光滑水平面上，小球在拉力F作用下，沿逆时针做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法错误的是（　　）
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pc做近心运动
D．不管拉力是变大还是变小，小球都将沿轨迹Pa运动
55．如图所示一个小球在力F作用下以速度v做匀速圆周运动，若从某时刻起小球的运动情况发生了变化，对于引起小球沿a、b、c三种轨迹运动的原因说法正确的是（　　）
A．沿a轨迹运动，可能是F减小了一些
B．沿b轨迹运动，一定是v减小了
C．沿c轨迹运动，可能是v减小了
D．沿b轨迹运动，一定是F减小了
56．在光滑水平桌面上；用细线系一个小球，球在桌面上做匀速圆周运动，当系球的线突然断掉，关于球的运动，下述说法正确的是（　　）
A．向圆心运动
B．背离圆心沿半径向外运动
C．做半径逐渐变大的曲线运动
D．沿圆的切线方向做匀速运动
57．如图，光滑的水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。小球到达P点时若F突然 　 　 （选填“变大”或“变小”），则小球将沿轨迹Pc运动；到P点时若撤去F，则小球将沿轨迹 　 （选填“Pa”、“Pb”或“Pc”）运动。
▉题型14 离心运动的应用和防止
【知识点的认识】
离心现象在生活中非常普遍，要对其加以合理的利用和防护。
1.应用举例：
（1）洗衣机脱水：洗衣机利用离心运动将附着在衣物上的水分甩掉，通过高速旋转使衣物上的水分受到离心力作用，从而被甩出，实现脱水效果。
（2）棉花糖机：棉花糖机利用离心运动将熔化的糖汁甩出，形成丝状，冷却后形成棉花糖，这也是离心运动的一个应用。
（3）离心干燥器：离心干燥器利用高速旋转的网笼使湿物料受到离心力作用，从而将水分甩出，达到干燥的目的。
（4）离心机：在某些情况下，如甩体温计的水银柱回玻璃泡内，也是利用离心运动原理实现的。
2.防止举例：
（1）水平公路转弯限速：在水平公路上转弯时，如果速度过大，车辆会因为所需的向心力超过车轮与地面间的最大静摩擦力而做离心运动，容易造成事故。因此，需要限制速度以防止离心运动带来的危害。
（2）高速转动的砂轮防护：高速转动的砂轮如果转速过高，其内部的分子间相互作用力不足以提供所需的向心力时，砂轮会破裂。因此，需要控制砂轮的转速，并使用防护罩来防止砂轮破裂造成的伤害。
这些应用和防止措施展示了离心运动在实际生活中的重要作用，既可以利用其原理服务于日常生活，又需要注意控制条件以避免其带来的潜在风险。
58．图为洗衣机的脱水筒的示意图，洗衣机脱水时衣物在水桶的内壁上，利用离心运动把附着在衣物上的水分甩掉，关于该过程，下列说法正确的是（　　）
A．提高脱水筒的转速，脱水效果更好
B．脱水筒转得越快，衣服与桶壁间的弹力越小
C．衣服受重力、弹力、摩擦力、向心力4个力的作用
D．衣服上的水滴，受衣服的附着力大于所需的向心力时，做离心运动
（多选）59．如图，在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上，有一件湿衣服随圆桶一起转动而未滑动，则（　　）
A．衣服随脱水筒做圆周运动的向心力由衣服的重力提供
B．水会从脱水筒甩出是因为水滴受到向心力很大的缘故
C．加快脱水筒转动角速度，衣服对桶壁的压力也增大
D．加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
▉题型15 圆周运动与平抛运动相结合的问题
【知识点的认识】
本考点旨在针对圆周运动与平抛运动相结合的问题。
60．如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心、R1和R2为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．若h1＝h2，则v1：v2＝R2：R1
B．若v1＝v2，则h1：h2：
C．若ω1＝ω2，v1＝v2，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D．若ω1＝ω2，v1＝v2，喷水嘴各转动一周，则落入外圈每个花盆水量较多第二章 3.圆周运动的实例分析
题型1 水平转盘上物体的圆周运动 题型2 倾斜转盘(斜面体)上物体的圆周运动
题型3 物体被系在绳上做圆锥摆运动 题型4 物体在圆锥面上做圆周运动
题型5 车辆在道路上的转弯问题 题型6 火车的轨道转弯问题
题型7 绳球类模型及其临界条件 题型8 杆球类模型及其临界条件
题型9 物体在圆形竖直轨道内的圆周运动 题型10 物体在环形竖直轨道内的圆周运动
题型11 拱桥和凹桥类模型分析 题型12 近心与离心运动的意义与原因
题型13 判断近心或离线运动的轨迹 题型14 离心运动的应用和防止
题型15 圆周运动与平抛运动相结合的问题
▉题型1 水平转盘上物体的圆周运动
【知识点的认识】
1.当物体在水平转盘上做圆周运动时，由于转速的变化，物体受到的向心力也会发生变化，经常考查临界与极值问题。
2.可能得情况如下图：
1．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动．开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法不正确的是（　　）
A．当ω 时，A、B相对于转盘会滑动
B．当ω 时，绳子一定有弹力
C．ω在ω范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．ω在0＜ω范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
【答案】C
【解答】解：A、当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘会滑动，对A有：kmg﹣T＝mLω2，对B有：T+kmg＝m 2Lω2，解得ω，
当ω时，A、B相对于转盘会滑动。故A正确。
B、当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力，kmg＝m 2Lω2，
解得ω1，知ω时，绳子具有弹力。故B正确。
C、角速度0＜ω，B所受的摩擦力变大，ω在ω范围内增大时，B所受摩擦力不变。故C错误。
D、当ω在0＜ω，范围内增大时，A所受摩擦力一直增大。故D正确。
本题选错误的
故选：C。
2．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块a和B放在转盘上且木块a、B与转盘中心在同一条直线上，两木块用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动．开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止转动，角速度缓慢增大，以下说法不正确的是（　　）
A．当ω时，A、B会相对于转盘滑动
B．当ω时，绳子一定有弹力
C．ω在0＜ω范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
D．ω在ω范围内增大时，B所受摩擦力变大
【答案】D
【解答】解：A、当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘会滑动，对A有：kmg﹣T＝mLω2，对B有：T+kmg＝m 2Lω2，解得ω，当ω时，A、B相对于转盘会滑动。故A正确。
B、当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力，kmg＝m 2Lω2，
解得ω1时，知ω时，绳子一定有弹力。故B正确。
C、当ω在0＜ω范围内增大时，A所需要的向心力增大，则A所受摩擦力一直增大。故C正确。
D、当角速度满足0＜ω时，B所受的摩擦力变大，ω在ω范围内增大时，B所受摩擦力不变。故D错误。
本题选不正确的，故选：D
（多选）3．如图所示，A、B两个材料相同的物体放在水平旋转的圆盘上，A的质量为m，B的质量为2m，B离轴距离为R，A离轴距离为2R，两物体始终相对盘静止，则（　　）
A．A与B的线速度大小之比为2：1
B．A与B的角速度之比为1：1
C．A与B的向心加速度大小之比为1：1
D．在转盘转速增加时，A比B先开始滑动
【答案】ABD
【解答】解：AB、A与B两物体始终相对盘静止，则A与B的角速度相同，均等于圆盘的角速度，则有
ωA：ωB＝1：1
根据v＝ωr可得，vA：vB＝rA：rB＝2R：R＝2：1，故AB正确；
C、根据a＝ω2r可得，aA：aB＝rA：rB＝2R：R＝2：1，故C错误；
D、根据静摩擦力提供向心力可得
f＝ma
可得A与B所受摩擦力大小相等
最大静摩擦力为
fm＝μmg
A的质量小，最大静摩擦力小，所以在转盘转速增加时，A与B所受摩擦力都增大，A静摩擦力先达到最大值，则A比B先滑动，故D正确。
故选：ABD。
（多选）4．如图所示，两个质量均为m的小木块A和B（可视为质点）放在水平圆盘上，A与转轴OO′的距离为l，B与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（　　）
A．B一定比A先开始滑动
B．A，B所受的摩擦力始终相等
C．ω是B开始滑动的临界角速度
D．ω时，A所受摩擦力大小为kmg
【答案】AC
【解答】解：A、根据kmg＝mrω2知，物块发生滑动的临界角速度，木块B转动的半径较大，则临界角速度较小，可知B先发生滑动，故A正确。
B、都未滑动前，靠静摩擦力提供向心力，根据f＝mrω2知，木块B转动的半径较大，则B所受的摩擦力较大，故B错误。
C、B的临界角速度，故C正确。
D、A的临界角速度为，ω时，A没有发生滑动，A所受摩擦力大小为：f＝mrω2kmg．故D错误。
故选：AC。
▉题型2 倾斜转盘(斜面体)上物体的圆周运动
【知识点的认识】
本考点旨在针对物体在斜面上做圆周运动的情况，可能是随着转盘做匀速圆周运动，也可能是在轻绳的牵引下做变速圆周运动。
5．如图所示，在与水平地面夹角为θ＝30°的光滑斜面。上有一半径为R＝0.1m的光滑圆轨道，一质量为m＝0.2kg的小球在圆轨道内沿轨道做圆周运动，g＝10m/s2，下列说法中正确的是（　　）
A．小球能通过圆轨道最高点的最小速度为0
B．小球能通过圆轨道最高点的最小速度为1m/s
C．小球以2m/s的速度通过圆轨道最低点时对轨道的压力为8N
D．小球通过圆轨道最低点和最高点时对圆轨道的压力之差为6N
【答案】D
【解答】解：AB．小球做圆周运动，在最高点重力沿斜面分量和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有
当N＝0时，小球有最小速度，解得
故AB错误；
C．小球以2m/s的速度通过圆轨道最低点时，重力沿斜面分量和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有
解得
N'＝9N
根据牛顿第三定律，球对轨道的压力大小为9N，故C错误；
D．结合上述，小球做圆周运动，在最高点有
小球通过圆轨道最低点时有
从最高点到最低点，根据动能定理有
解得
N'﹣N＝6N
故D正确。
故选：D。
6．如图所示，长为L＝0.8m的细绳一端连接一质量为5kg的小球，另一端系在固定点O，将小球拉到A点并使细绳水平，给小球一竖直向下的初速度，小球开始绕固定端O点做圆周运动，运动至O点正下方B点时绳子刚好断了，之后做平抛运动，绳子能承受的最大拉力为450N．在B点右侧平地上固定一个倾角为37°的斜面CD，小球做平抛运动至斜面的最高点C时的速度方向恰好沿斜面方向，然后沿滑梯CD滑至D点，小球与斜面间动摩擦因数为0.5，CD长度为s＝11m。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力影响，重力加速度g取10m/s2．求：
（1）小球刚运动到B点时的速度大小；
（2）BC两点间的高度差；
（3）小球从B点运动到D点的时间。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设小球在B点的速度为v，在B点时小球所受的拉力最大为：F＝450N
由牛顿第二定律得：
F﹣mg＝m
联立解得：v＝8m/s
（2）据题得：小球到达C点时竖直分速度为：
vy＝vtan37°＝8m/s＝6m/s
平抛时间为：ts＝0.6s
B、C两点间的高度差为：hm＝1.8m
（3）小球在CD上做匀加速运动，其加速度为：
ag（sin37°﹣μcos37°）＝10×（0.6﹣0.5×0.8）m/s2＝2m/s2；
C点速度为：vCm/s＝10m/s
根据位移—时间关系知：s＝vCt′at′2。
解得：t′＝1s
所以小球从B点运动到D点的时间为：T＝t+t′＝1.6s
答：（1）小球刚运动到B点时的速度大小是8m/s；
（2）BC两点间的高度差是1.8m；
（3）小球从B点运动到D点的时间是1.6s。
7．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合，转台以一定角速度ω0匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，且受到的摩擦力恰好为零，它和O点的连线与OO'之间的夹角θ为60°。重力加速度大小为g.
（1）求转台角速度ω0；
（2）若转速ω变为（1+k）ω0，且0＜k 1，小物块没有与罐壁发生相对滑动，求小物块受到的摩擦力大小和方向。
【答案】（1）转台角速度为；
（2）小物块受到的摩擦力大小为，方向沿罐壁切线向下。
【解答】解：（1）对小物块受力分析，由向心力公式得：mgtanθ＝mrω02
又：r＝Rsinθ
联立解之得：ω0
（2）当ω＝（1+k）ω0时，对物块受力分析，建立如图坐标系
x轴：Nsinθ+fcosθ＝mω2Rsinθ.
y轴：Ncosθ﹣fsinθ﹣mg＝0
联立代入数据解之得：，方向沿罐壁切线向下
答：（1）转台角速度为；
（2）小物块受到的摩擦力大小为，方向沿罐壁切线向下。
▉题型3 物体被系在绳上做圆锥摆运动
【知识点的认识】
1.本考点旨在针对物体被系在绳上做圆锥摆运动的情况，如下图：
2.模型分析：在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小物体，绳子上端固定，设法使小物体在水平圆周上以大小恒定的速度旋转，细绳所掠过的路径为圆锥表面，这就是圆锥摆。
如图所示，小球在水平面内做圆周运动的圆心是О，做圆周运动的半径是Lsinθ，小球所需的向心力实际是绳子拉力FT与重力mg的合力，并有F合＝mg tanθ＝mω2Lsinθ，由此式可得cosθ。
（多选）8．如图所示，一不可伸长的轻质细绳，绳子的长度为l，绳的另一端连接一质量为m的小球，另一端固定在天花板上，小球可看作质点，现让小球以不同的角速度ω绕竖直轴做匀速圆周运动，小球离A点的竖直高度为h，细绳的拉力大小为F，重力加速度为g，下列图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解答】解：小球受力如图所示，
AB.根据牛顿第二定律mgtanθ＝mhtanθ ω2，解得ω2，得到，故A正确，B错误；
CD.根据牛顿第二定律又有Fsinθ＝mlsinθω2，得绳子的拉力F＝mlω2，故C正确，D错误。
故选：AC。
▉题型4 物体在圆锥面上做圆周运动
【知识点的认识】
1.本考点旨在针对物体在圆锥面上做圆周运动的情况。
2.常见的情况如下图：
（多选）9．一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面，圆锥筒固定，有质量不相等的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则（　　）
A．A球的角速度必小于B球的角速度
B．A球的线速度必大于B球的线速度
C．A球的运动周期必大于B球的运动周期
D．A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
【答案】ABC
【解答】解：AB、对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，如图：
根据牛顿第二定律，有：
F＝mgtanθ＝m
解得：
v。
由于A球的转动半径较大，A线速度较大，
而ω，由于A球的转动半径较大，则A的角速度较小。故AB正确。
C、周期T2π，因为A的半径较大，则周期较大。故C正确。
D、筒对小球的支持力N，与轨道半径无关，两小球质量不相等，则由牛顿第三定律得知，A、B两小球对筒的压力不相等，大小无法比较，故D错误。
故选：ABC。
（多选）10．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质量相同的两个小球A和B贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，A的运动半径较大，则（　　）
A．A球的角速度必小于B球的角速度
B．A球的线速度必小于B球的线速度
C．A球运动的周期必大于B球运动的周期
D．A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
【答案】AC
【解答】解：以小球为研究对象，对小球受力分析，小球受力如图所示：
由牛顿第二定律得：mgtanθ＝m
解得：v，则ω，T2π，
由图示可知，对于AB两个球来说，重力加速度g与角θ相同，
A、A的转动半径大，B的半径小，因此，A的角速度小于B的角速度，故A正确；
B、A的线速度大于B的线速度，故B错误；
C、A的周期大于B的周期，故C正确；
D、由受力分析图可知，球受到的支持力FN，由于两球的质量m与角度θ相同，则桶壁对AB两球的支持力相等，由牛顿第三定律可知，两球对桶壁的压力相等，故D错误；
故选：AC。
▉题型5 车辆在道路上的转弯问题
【知识点的认识】
汽车转弯问题模型如下
模型分析：一般来说转弯处的地面是倾斜的，当汽车以某一适当速度经过弯道时，由汽车自重与斜面的支持力的合力提供向心力；小于这一速度时，地面会对汽车产生向内侧的摩擦力；大于这一速度时，地面会对汽车产生向外侧的摩擦力。如果转弯速度过大，侧向摩擦力过大，可能会造成汽车翻转等事故。
11．如图所示为某赛车比赛中的精彩瞬间。赛车正在倾斜轨道上转弯，假设赛车运动的轨道平面始终在水平面内，赛车的速度为v，倾斜轨道与水平方向夹角为θ，赛车转弯的半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．时，赛车有沿倾斜轨道向上运动的趋势
B．时，赛车刚好没有沿倾斜轨道向上或向下运动的趋势
C．时，赛车沿倾斜轨道向下会受到摩擦力作用
D．时，赛车沿倾斜轨道向下会受到摩擦力作用
【答案】C
【解答】解：AB、赛车在只受重力和支持力的情况下，根据牛顿第二定律得
解得，此时赛车刚好没有沿倾斜轨道向上或向下运动的趋势，故AB错误；
CD、时，赛车需要更大的向心力，赛车有沿倾斜轨道向上运动的趋势，受到的摩擦力沿倾斜轨道向下；，故赛车需要较小的向心力，需要摩擦力沿倾斜轨道向上，故C正确，D错误。
故选：C。
12．摩托车正沿圆弧弯道以不变的速率行驶，则它（　　）
A．受到重力、支持力和向心力的作用
B．所受的地面作用力恰好与重力平衡
C．所受的合力可能不变
D．所受的合力始终变化
【答案】D
【解答】解：A、摩托车受到重力、支持力和摩擦力的作用，向心力是它的合力，故A错误；
B、它所受的地面作用力与重力的合力提供向心力，两者不平衡，所受的地面支持力恰好与重力平衡，故B错误；
CD、摩托车正沿圆弧弯道以不变的速率行驶，做的是匀速圆周运动，合力充当向心力，合力方向始终指向圆心，大小不变，方向时刻改变，所以它所受的合力始终变化，故C错误，D正确。
故选：D。
13．F1赛事中，某车手在一个弯道上高速行驶时突然出现赛车后轮脱落，遗憾地退出了比赛。关于后轮脱落后短时间内的运动情况，下列说法正确的是（　　）
A．仍然沿着赛车行驶的弯道运动
B．沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动
C．沿着与弯道垂直的方向做直线运动
D．上述情况都有可能
【答案】B
【解答】解：后轮未脱离赛车时，具有向前的速度，脱离赛车后，由于惯性，后轮保持原来向前的速度继续前进，所以沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道，故B正确，ACD错误。
故选：B。
14．如图所示为摩托车比赛中运动员在水平路面上急转弯的情景，运动员在通过弯道时如果控制不当会发生侧滑而摔离正常比赛路线，将运动员与摩托车看作一个整体，下列说法正确的是（　　）
A．发生侧滑是因为运动员受到离心力的作用
B．为了避免转弯时发生侧滑，运动员应加速离开弯道
C．发生侧滑是因为运动员受到的合力小于所需的向心力
D．运动员转弯所需的向心力由地面对车轮的支持力与重力的合力提供
【答案】C
【解答】解：AC、发生侧滑原因是赛道对运动员的摩擦力小于需要的向心力，不是因为运动员受到的合力方向背离圆心，故A错误，C正确；
B、做圆周运动的物体在半径相等的情况下，速度越大需要的向心力越大，发生侧滑是因为运动员的速度过大，所需要的向心力过大，所以为了避免转弯时发生侧滑，运动员应适当减小速度。故B错误；
D、运动员转弯所需的向心力由地面对车轮的支持力与重力、以及地面对摩托车的摩擦力的合力提供，故D错误；
故选：C。
（多选）15．山崖边的公路常常称为最危险公路，一辆汽车欲安全通过此弯道公路，下列说法正确的是（　　）
A．若汽车以恒定的角速度转弯，选择内圈较为安全
B．若汽车以恒定的线速度大小转弯，选择外圈较为安全
C．汽车在转弯时受到重力、支持力和摩擦力作用
D．汽车在转弯时受到重力、支持力作用
【答案】ABC
【解答】解：CD、汽车做的是匀速圆周运动，故是侧向静摩擦力提供向心力，物体受到的重力和支持力平衡，故C正确，D错误；
A、如果汽车以恒定的角速度转弯，根据Fn＝mω2r，在内圈时转弯半径小，故在内圈时向心力小，故静摩擦力小，不容易打滑，安全，故A正确；
B、若汽车以恒定的线速度大小转弯，根据Fn＝m，在外圈是转弯半径大，故在外圈时向心力小，故静摩擦力小，不容易打滑，安全，故B正确；
故选：ABC。
（多选）16．公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处下列说法错误的是（　　）
A．路面外侧高内侧低
B．车速虽然低于vc，但只要不低于某一限度，车辆便不会向内侧滑动
C．车速只要高于vc，车辆便会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
【答案】CD
【解答】解：A、汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明没有受到径向的静摩擦力，路面应建成外高内低，此时重力和支持力的合力指向内侧，可以提供圆周运动向心力。故A正确。
B、车速低于vc，可由静摩擦力提供向心力，车辆不会侧滑，故B正确。
C、车速高于vc，所需的向心力增大，汽车有向外侧滑的趋势，故C错误。
D、当路面结冰时，与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，路面的倾角不变，则vc的值不变。故D错误。
本题选择错误选项；
故选：CD。
（多选）17．公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处，（　　）
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
D．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
【答案】AD
【解答】解：A、路面应建成外高内低，此时重力和支持力的合力指向内侧，可以提供圆周运动向心力。故A正确。
B、车速低于vc，所需的向心力减小，此时摩擦力可以指向外侧，减小提供的力，车辆不会向内侧滑动。故B错误。
C、当路面结冰时，与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，则vc的值不变。故C错误。
D、当速度为vc时，静摩擦力为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，速度高于vc时，摩擦力指向内侧，只有速度不超出最高限度，车辆不会侧滑。故D正确。
故选：AD。
（多选）18．如图所示，某公路急转弯处是一段圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处（　　）
A．路面外侧高、内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速高于vc，但只要不超出某一限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
【答案】AC
【解答】解：A、路面应建成外高内低，此时重力和支持力的合力指向内侧，可以提供圆周运动向心力。故A正确。
B、车速低于vc，所需的向心力减小，此时摩擦力可以指向外侧，减小提供的力，车辆不会向内侧滑动。故B错误。
C、当速度为vc时，静摩擦力为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，速度高于vc时，摩擦力指向内侧，只有速度不超出最高限度，车辆不会侧滑。故C正确。
D、当路面结冰时，与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，则vc的值不变。故D错误。
故选：AC。
19．在用高级沥青铺设的高速公路上，对汽车的设计限速是30m/s．汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．（g＝10m/s2）
（1）如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
（2）如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够安全通过（不起飞）圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？
（3）如果弯道的路面设计为倾斜（外高内低），弯道半径为120m，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）汽车在水平路面上拐弯，或视为汽车做匀速圆周运动，其向心力是车与路面间的最大静摩擦力，
有0.6mg＝m，由速度v＝30m/s，解得弯道半径r＝150m，
（2）汽车过拱桥，看作在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，有
为了保证安全，车对路面的压力N必须大于零．有mg，
代入数据解得R≥90m．
（3）设弯道倾斜角度为θ，汽车通过此弯道时向心力由重力及支持力的合力提供，有
，
解得tanθ；
故弯道路面的倾斜角度 θ＝37°．
答：（1）其弯道的最小半径是150m；
（2）这个圆弧拱桥的半径至少是90m；
（3）弯道路面的倾斜角度是37°．
20．一同学骑自行车在水平公路上以5m/s的恒定速率转弯，已知人和车的总质量m＝80kg，转弯的路径近似看成一段圆弧，圆弧半径R＝20m，求：
（1）人和车作为一个整体转弯时需要的向心力；
（2）若车胎和路面间的动摩擦因数μ＝0.5，为安全转弯，车速不能超过多少．（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）向心力为：Fn＝m80100N
（2）侧向静摩擦力提供向心力，故有：
μmg＝m
解得：vm10m/s
答：1）人和车作为一个整体转弯时需要的向心力为100N；
（2）若车胎和路面间的动摩擦因数μ＝0.5，为安全转弯，车速不能超过10m/s．
▉题型6 火车的轨道转弯问题
【知识点的认识】
火车转弯模型如下
与公路弯道类似，铁轨弯道处，也通过一定的设计，展现出一定的坡度。当火车以某一适当速度通过时，恰好有火车自身重力与铁轨的支持力的合力提供向心力。当小于这一速度时，铁轨会对火车产生向外的压力，即火车会挤压内轨。当大于这一速度时。铁轨会对火车产生向内的挤压。即挤压外轨。
21．如图，铁路转弯处外轨应略高于内轨，火车必须按规定的速度行驶，则转弯时（　　）
A．火车所需向心力沿水平方向指向弯道内侧
B．弯道半径越大，火车所需向心力越大
C．火车的速度若小于规定速度，轮缘挤压外轨
D．当火车以规定速度通过此弯路时，火车所受重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
【答案】A
【解答】解：火车转弯做匀速圆周运动，合力指向圆心，受力如图
由向心力公式得：F向＝mmgtanθ，则
A、火车所需向心力沿水平方向指向弯道内侧，故A正确；
B、m、v一定时，r越大，F向越小，故B错误；
C、若火车运行速度小于此速度，则火车要做近心运动，会对轨道内侧造成挤压，故C错误；
D、当火车以规定速度通过此弯路时，火车所受重力、轨道面支持力的合力提供向心力，故D错误。
故选：A。
（多选）22．在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，当火车以特定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压。若此时火车的速度大小为v，两轨所在面的倾角为θ，则下列说法正确的是（　　）
A．该弯道的半径为（g为重力加速度的大小）
B．火车以大小为v的速度转弯时，火车受到的合力为零
C．若火车上的乘客增多，则特定的转弯速度将增大
D．若火车速率大于v，则外轨将受到轮缘的挤压
【答案】AD
【解答】解：A、火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mgtanθ＝m，解得：r，故A正确；
B、若火车以大小为v的速度转弯时，此时刚好满足重力与支持力的合力提供向心力，火车受到的合力不为零，故B错误；
C、根据牛顿第二定律：mgtanθ＝m，解得：v，与火车上的乘客无关，所以速度不变，故C错误；
D、当火车的速率大于v时，重力和支持力的合力不够提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故D正确；
故选：AD。
（多选）23．在某转弯处，规定火车行驶的速率为v0，则下列说法中正确的是（　　）
A．当火车以速率v0行驶时，火车的重力与支持力的合力方向一定沿水平方向
B．当火车的速率v＞v0时，火车对外轨有向外的侧向压力
C．当火车的速率v＞v0时，火车对内轨有向内的挤压力
D．当火车的速率v＜v0时，火车对内轨有向内侧的压力
【答案】ABD
【解答】解：A、火车以规定速度通过转弯处时，火车所受的重力及轨道面的支持力这两个力的合力如图
合力沿水平方向。故A正确。
B、当火车速度大于v0时，火车所受的重力及轨道面的支持力提供的向心力小于所需要的向心力，则不足的部分由外轨轮缘向内的侧压力来提供，则车轮轮缘会挤压外轨。故B正确，C错误。
D、当火车速度小于v0时，火车所受的重力及轨道面的支持力提供的向心力大于所需要的向心力，则多余的力由内轨向外挤压来平衡，则车轮轮缘会挤压内轨。故D正确。
故选：ABD。
▉题型7 绳球类模型及其临界条件
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
24．拱桥指的是在竖直平面内以拱作为主要承重构件的桥梁，采用拱形设计的桥梁较平直桥梁而言，有助于汽车匀速通过桥面时（　　）
A．增加汽车对桥面的压力
B．减少汽车对桥面的压力
C．减少汽车所受的向心力
D．减少汽车所受的合力
【答案】B
【解答】解：汽车匀速通过直桥面时，受合力为零，即
FN＝mg
汽车匀速通拱桥时，则合力等于向心力，即
mg﹣FN1＝m
则
FN1＜FN＝mg
根据牛顿第三定律，汽车对桥面的作用力为FN1′，方向与FN1方向相反。
故选：B。
25．如图所示，长度为L＝2.5m的轻质细杆OA的A端有一质量为m＝2.0kg的小球，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是5.0m/s，重力加速度g取10m/s2，则此时小球对细杆OA的作用力为（　　）
A．20.0N的拉力 B．零
C．20.0N的压力 D．40.0N的压力
【答案】B
【解答】解：在最高点，设杆子对小球的作用力向下，根据牛顿第二定律得：
mg+F＝m
解得：F＝0，
根据牛顿第三定律可知，小球对细杆OA的作用力为零，故B正确，ACD错误。
故选：B。
26．如图所示，有一质量为2kg的小球从圆弧轨道的B点滚入，当运动到E点时，小球的速度大小为4m/s，速度方向与竖直方向的夹角为37°，取重力加速度大小g＝10m/s2，已知圆弧半径R＝3m，sin37°＝0.6，小球与轨道间的动摩擦因数μ＝0.75，则在E点时轨道对小球的作用力大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：对小球受力分析如图所示
则有
又f＝μN
轨道对小球的作用力为
代入数据，解得
BCD错误，A正确。
故选：A。
27．如图所示，轻质细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，细杆长1m，小球质量为1kg，现使小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过轨道最低点A的速度为vA＝7m/s，通过轨道最高点B的速度为vB＝3m/s，g取10m/s2，则小球通过最低点和最高点时，细杆对小球的作用力（小球可视为质点）为（　　）
A．在A处为推力，方向竖直向下，大小为59N
B．在A处为拉力，方向竖直向上，大小为59N
C．在B处为推力，方向竖直向下，大小为1N
D．在B处为拉力，方向竖直向下，大小为1N
【答案】B
【解答】解：AB、在最低点，杆子一定表现为拉力，有：F﹣mg＝m，则：F＝mg+m1×10N+1N＝59N，方向向上，故A错误，B正确；
CD、在最高点，根据牛顿第二定律有：F+mg＝m，变形得：F＝mmgN﹣1×10N＝﹣1N，所以杆子表现为支持力，方向向上，大小为1N，故CD错误。
故选：B。
28．如图所示，水平桌面上放了一个小型的模拟摩天轮模型，将一个小物块置于该模型上某个吊篮内，随模型一起在竖直平面内沿顺时针匀速转动，二者在转动过程中保持相对静止（　　）
A．物块在d处受到吊篮的作用力一定指向圆心
B．整个运动过程中桌面对模拟摩天轮模型的摩擦力始终为零
C．物块在a处可能处于完全失重状态
D．物块在b处的摩擦力可能为零
【答案】C
【解答】解：AD、物体在b、d处受到重力、支持力、指向圆心的摩擦力，故吊篮对物体的作用力为重力和摩擦力的合力，故吊篮对物体的作用不指向圆心，并且摩擦力不为零，故AD错误；
B、在d处对摩天轮受力分析，有重力、地面的支持力、物体对吊篮水平向左的摩擦力，摩天轮要保持平衡，则需要受到地面的摩擦力，故B错误；
C、a处对物体受力分析，由重力和支持力的合力提供向心力，有G+F支＝m，根据牛顿第三定律可知，F压＝F支＝G﹣m，则当v时，F压＝0，故C正确。
故选：C。
（多选）29．如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，下列正确的说法是（　　）
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力有可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为零
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球的重力
【答案】BD
【解答】解：A、由公式F+mg＝m知只有速度v时，小球在圆周最高点时所受的向心力为重力，A错误；
B、速度v时，小球在圆周最高点时绳子的拉力为零，B正确；
C、若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为，C错误；
D、由公式F﹣mg＝m知小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球的重力，D正确；
故选：BD。
（多选）30．“水流星”是中国传统民间杂技艺术，如图所示，杂技演员手拿绳子的中点让两水桶在竖直平面内做圆周运动，绳子长度为2L，水桶可看作质点，则下列说法正确的是（　　）
A．水桶通过最高点时的速度可以为0
B．水桶刚好通过最高点时的速度是
C．水桶通过最高点时，水对桶底的压力可以为0
D．水桶通过最低点时，绳子对水桶的拉力可以与水和桶所受总重力相等
【答案】BC
【解答】解：ABC.设一个水桶及水的总质量为m，对水桶及水组成的整体，在最高点时由牛顿第二定律有：
mg+T＝m，要使水桶通过最高点，则T≥0
T＝0时，水桶刚好过最高点，此时v最小，解得：v，即水桶通过最高点的速度v′
对一个桶里面的水由牛顿第二定律得：FN+m′g＝m′，FN＝0时，v
根据牛顿第三定律可知此时水对桶底的压力为零，故A错误，BC正确；
水桶通过最低点时，对一个水桶以及里面的水组成的整体由牛顿第二定律有：
T′﹣mg＝m
绳子拉力T′＝mg+m，因为最低点时，v＞0，故绳子拉力T′＞mg，故D错误；
故选：BC。
31．一质量为0.5kg的小球，用长为0.4m细绳拴住，在竖直平面内做圆周运动（g取10m/s2），求：
（1）若过最高点时的速度为4m/s，此时小球角速度多大？
（2）若过最高点时绳的拉力刚好为零，此时小球速度大小？
（3）若过最低点时的速度为6m/s，此时绳的拉力大小？
【答案】（1）若过最高点时的速度为4m/s，此时小球角速度大小是10rad/s；
（2）若过最高点时绳的拉力刚好为零，此时小球速度大小是2m/s；
（3）若过最低点时的速度为6m/s，此时绳的拉力大小是50N。
【解答】解：（1）当小球在最高点速度为4m/s时，
小球角速度ωrad/s＝10rad/s，
（2）过最高点时绳的拉力刚好为零，重力提供圆周运动的向心力。根据牛顿第二定律得：
mg，
v0m/s＝2m/s，
（3）当过最低点时的速度为6m/s时，重力和细线拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
F1﹣mg
F1mgN+0.5×10N＝50N。
答：（1）若过最高点时的速度为4m/s，此时小球角速度大小是10rad/s；
（2）若过最高点时绳的拉力刚好为零，此时小球速度大小是2m/s；
（3）若过最低点时的速度为6m/s，此时绳的拉力大小是50N。
32．如图所示为风靡小朋友界的风火轮赛车竞速轨道的部分示意图。
一质量为m＝0.5kg的赛车（可视为质点）从A处出发，驶过半径为R1＝0.1m的凸形桥的顶端B时，赛车对轨道向下的压力等于其重力的一半，经CD段直线加速后从D点以速度vD＝3m/s进入半径为R2＝0.2m的竖直圆轨道，并以vE＝0.4m/s的速度驶过圆轨道的最高点E，g取10m/s2。试计算：
（1）赛车在B点时的速度大小；
（2）赛车经过D点时的向心加速度大小；
（3）赛车经过E点时对轨道的弹力。
【答案】（1）赛车在B点时的速度大小为m/s；
（2）赛车经过D点时的向心加速度大小为45m/s2；
（3）赛车经过E点时对轨道的弹力大小为4.6N，方向竖直向下。
【解答】解：（1）在B点处，根据牛顿第二定律得：
其中
解得：
（2）在D点处，根据向心力公式得：
解得：
（3）在E点处，根据牛顿第二定律得：
解得：FNE＝4.6N
根据牛顿第三定律知：赛车经过E点时对轨道的弹力为 FNE＝4.6N，
方向是竖直向下
答：（1）赛车在B点时的速度大小为m/s；
（2）赛车经过D点时的向心加速度大小为45m/s2；
（3）赛车经过E点时对轨道的弹力大小为4.6N，方向竖直向下。
33．如图所示，AB为竖直光滑圆弧的直径，其半径R＝0.9m，A端沿水平方向。水平轨道BC与半径r＝0.5m的光滑圆弧轨道CDE相接于C点，D为圆轨道的最低点，圆弧轨道CD、DE对应的圆心角θ＝37°。圆弧和倾斜传送带EF相切于E点，EF的长度为l＝10m。一质量为M＝1kg的物块（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，再经过E点，随后滑上传送带EF。已知物块经过E点时速度大小与经过C点时速度大小相等，物块与传送带EF间的动摩擦因数μ＝0.75，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）物块从A点飞出的速度大小vA和在A点受到的压力大小FA；
（2）物块到达C点时的速度大小vC及对C点的压力大小FC；
（3）若传送带顺时针运转的速率为v＝4m/s，求物块从E端到F端所用的时间。
【答案】（1）物块从A点飞出的速度大小为8m/s，在A点受到的压力大小为；
（2）物块到达C点时的速度大小为10m/s，对C点的压力大小208N；
（3）物块从E端到F端所用的时间为2.125s。
【解答】解：（1）物块在C处的速度分解如图，
在竖直方向做自由落体运动：
水平方向做匀速直线运动：
联立代入数据求得：v0＝8m/s
在A处受力如图，
由牛顿第二定律得：
代入数据得：
（2）物块在C处速度：
小球在C点的受力分析如图，
由牛顿第二定律得：
代入数据得：FN＝208N
根据牛顿第三定律知物块对C处的压力大小为：FNC＝FN＝208N
（3）物块的速度从vC减到v1的过程，受力如图，
根据牛顿第二定律有：μMgcosθ+Mgsinθ＝Ma1
解得：
当与传送带其速时用时：
通过的位移为：
物块的速度减到v1之后，受力如图，
根据牛顿第二定律有：Mgsinθ﹣μMgcosθ＝Ma2
解得：a2＝0
物块此后与传送带一起匀速至F，用时：
则物块从E到F所用的时间为：t＝t1+t2＝0.5s+1.625s＝2.125s
答：（1）物块从A点飞出的速度大小为8m/s，在A点受到的压力大小为；
（2）物块到达C点时的速度大小为10m/s，对C点的压力大小208N；
（3）物块从E端到F端所用的时间为2.125s。
34．如图所示一辆总质量为m＝1600kg的汽车，静止在一座半径为R＝40m的圆弧形拱桥顶部。（g取10m/s2）求：
（1）此时拱桥对汽车的支持力是多大？
（2）如果汽车此时正以速度为36km/h前进，则拱桥对汽车的支持力是多大？
（3）汽车以多大速度通过拱桥顶部时，汽车对拱桥的压力恰好为零？
【答案】（1）此时拱桥对汽车的支持力是16000N；
（2）如果汽车此时正以速度为36km/h前进，则拱桥对汽车的支持力是12000N；
（3）汽车以20m/s的速度通过拱桥顶部时，汽车对拱桥的压力恰好为零。
【解答】解：（1）汽车静止在拱桥顶部，由平衡条件可知FN＝mg＝1600×10＝16000N
（2）36km/h＝10m/s
汽车以速度为36km/h经拱桥顶部时，由牛顿第二定律可得
解得
（3）汽车重力恰好等于向心力，则有
代入数据解得
答：（1）此时拱桥对汽车的支持力是16000N；
（2）如果汽车此时正以速度为36km/h前进，则拱桥对汽车的支持力是12000N；
（3）汽车以20m/s的速度通过拱桥顶部时，汽车对拱桥的压力恰好为零。
▉题型8 杆球类模型及其临界条件
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
35．如图所示，一根轻杆两端各系一个质量均为m的小球A和B，某人拿着轻杆的中点O，使两小球绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动。重力加速度大小为g。关于小球A、B的运动，下列说法正确的是（　　）
A．小球B在最高点时，杆对其作用力的方向一定竖直向下
B．杆竖直时，OA和OB对小球作用力的大小之差为3mg
C．杆竖直时，人对O点的作用力一定为2mg
D．在运动过程中，杆对两小球的作用力大小不可能相等
【答案】C
【解答】解：A．当小球B在最高点恰好重力提供向心力时
解得
①当时，重力不足以提供向心力，则有杆对小球B竖直向下的作用力。
②当时，重力大于需要的向心力，杆对小球B有竖直向上的作用力。故A错误；
BC．若小球A、B分别在最低点和最高点时，对小球A
解得
杆对小球的方向竖直向上，小球对杆方向竖直向下。
①当时，对小球B
解得
此时杆对小球B的力方向竖直向下，小球对杆的力竖直向上。
OA和OB对小球作用力的大小之差
对杆受力分析，人对O点的作用力
方向竖直向上
②当时，对小球B
解得
此时杆对小球B的力方向竖直向上，小球对杆的力竖直向下。
OA和OB对小球作用力的大小之差
对杆受力分析，人对O点的作用力
方向竖直向上，故B错误，C正确；
D．当两小球运动到水平方向时，小球既受重力作用，又受杆对小球的弹力，且弹力的分力提供向心力，杆对小球的力的大小均为
，由于两小球的重力和向心力大小均相等，所以杆对两小球的作用力大小也相等。故D错误。
故选：C。
36．有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　）
A．如图甲，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨和轮缘间会有挤压作用
B．如图乙，“水流星”表演中，过最高点时水没有从杯中流出，水对杯底压力可以为零
C．如图丙，小球竖直面内做圆周运动，过最高点的速度至少等于
D．如图丁，A、B两小球在同一水平面做圆锥摆运动，则A比B的角速度大
【答案】B
【解答】解：A．火车转弯超过规定速度行驶时，需要更大的向心力，则外轨和轮缘间会有挤压作用，故A错误；
B．在最高点时，当只有重力提供向心力时，杯底对水的支持力为零，由牛顿第三定律得水对杯底压力为零，故B正确；
C．小球竖直面内做圆周运动，在最高点轻杆对小球可以提供支持力，则小球能通过最高点的临界速度为0，故C错误；
D．设两球与悬点的竖直高度为h，根据牛顿第二定律
mgtanθ＝mω2r
又有
联立得：
所以A、B两小球在同一水平面做圆锥摆运动，角速度相等，故D错误。
故选：B。
37．如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，细杆长0.5m，小球质量为3.0kg，现给小球一初速度使它做圆周运动，若小球通过轨道最低点a处的速度为va＝4m/s，通过轨道最高点b处的速度为vb＝2m/s，取g＝10m/s2，则小球通过最低点和最高点时对细杆作用力的情况是（　　）
A．a处为拉力，方向竖直向上，大小为126N
B．a处为拉力，方向竖直向下，大小为24N
C．b处为拉力，方向竖直向下，大小为6N
D．b处为压力，方向竖直向下，大小为6N
【答案】D
【解答】解：AB、在最低点，杆子一定表现为拉力，有：
F﹣mg＝m，
则：F＝mg+m30N+3.0N＝126N，方向向上
根据牛顿第三定律可知对杆的作用力向下，大小为126N，故AB错误；
CD、在最高点，有：mg+F＝m，
则：F＝mmg＝3N﹣30N＝﹣6N
所以杆子表现为支持力，方向向上，大小为6N，根据牛顿第三定律可知对杆的作用力向下，为压力，大小为6N，故C错误，D正确，
故选：D。
38．质量为1kg的小球固定在长为0.9m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动。（g＝10m/s2）求：
（1）当小球在最高点的速度为多大时，杆对球的作用力为零？
（2）当小球在最高点的速度为6m/s时，杆对球的作用力。
【答案】（1）当小球在最高点的速度为3m/s时，杆对球的作用力为零；
（2）当小球在最高点的速度为6m/s时，杆对球的作用力为30N。
【解答】解：（1）小球在竖直平面内做圆周运动，当小球在最高点杆对球的作用力为零时，重力提供了向心力，根据牛顿第二定律有：，
（2）当小球在最高点的速度为6m/s时，杆对球的作用力设为F，根据牛顿第二定律有：
，方向竖直向下。
答：（1）当小球在最高点的速度为3m/s时，杆对球的作用力为零；
（2）当小球在最高点的速度为6m/s时，杆对球的作用力为30N。
▉题型9 物体在圆形竖直轨道内的圆周运动
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
39．如图所示，摩天轮悬挂座舱，乘客随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。则下列叙述正确的是（　　）
A．乘客的速度始终恒定
B．乘客的加速度始终恒定
C．座椅对乘客的作用力始终指向圆心
D．在最低点时，乘客对座椅的压力大于重力，处于超重状态
【答案】D
【解答】解：A、乘客的速度大小始终不变，但方向时刻在变化，所以速度是变化的故A错误；
B、乘客做匀速圆周运动，加速度大小不变，方向始终指向圆心，所以加速度是变化的，故B错误；
C、座椅对乘客的作用力与重力的合力方向始终指向圆心，则座椅对乘客的作用力方向并不始终指向圆心，故C错误；
D、在最低点时，乘客所受的合力竖直向上，根据牛顿第二定律有
可得F＝mg+m，可知，座椅对乘客的支持力大于重力，且加速度指向圆心，处于超重状态。由牛顿第三定律可知，乘客对座椅的压力大于自身的重力，故D正确。
故选：D。
40．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的半圆形轨道，最高点为P点．现让一小滑块（可视为质点）从水平地面上向半圆形轨道运动，下列关于小滑块运动情况的分析，正确的是（　　）
A．若vp＝0，小滑块恰能通过P点，且离开P点后做自由落体运动
B．若vP＝0，小滑块能通过P点，且离开P点后做平抛运动
C．若vP，小滑块恰能到达P点，且离开p点后做自由落体运动
D．若vP，小滑块恰能到达P点，且离开P点后做平抛运动．
【答案】D
【解答】解：滑块恰好通过最高点P时，由重力完全提供向心力，有 mg＝m
可得：vP；滑块离开P点后做平抛运动。
若vP，由于重力大于滑块所需要的向心力，故滑块将做“向心”运动；则滑块在到达P点前离开轨道，无法达到最高点；故ABC错误，D正确。
故选：D。
41．如图所示，从A点以某一水平初速度抛出质量m＝2kg的小物块（可视为质点），当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入圆心角∠BOC＝37°的固定光滑圆弧轨道BC，经水平粗糙轨道CD后通过一个光滑圆形轨道。已知A点相对C的竖直高度为H＝0.65m，圆弧BC的半径R＝1m。水平轨道CD的长度为x，物块与水平轨道间动摩擦因数μ＝0.1（取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8求：
（1）物块过B点时的速度大小；
（2）若x＝2m，则物块到达D点的动能是多大；
（3）要使物块能通过光滑圆形轨道最高点，R1的范围。
【答案】（1）物块过B点时的速度大小5m/s；
（2）若x＝2m，则物块到达D点的动能是25J；
（3）要使物块能通过光滑圆形轨道最高点，R1的范围0＜R1≤0.5m。
【解答】解：（1）物体从A到B做平抛运动，竖直方向有
代入数据解得vy＝3m/s
当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入，则有
代入数据解得vB＝5m/s
（2）从B到D，根据动能定理有
代入数据解得物块到达D点的动能是EkD＝25J
（3）要使物块能通过光滑圆形轨道最高点，根据动能定理有
代入数据解得R1的范围为0＜R1≤0.5m
答：（1）物块过B点时的速度大小5m/s；
（2）若x＝2m，则物块到达D点的动能是25J；
（3）要使物块能通过光滑圆形轨道最高点，R1的范围0＜R1≤0.5m。
42．光滑水平面AB与竖直面内的圆形导轨在B点连接，导轨半径R＝0.5m，一个质量m＝2kg的小球在A处压缩一轻质弹簧，弹簧与小球不拴接。用手挡住小球不动，此时弹簧弹性势能EP＝36J，如图所示。放手后小球向右运动脱离弹簧，沿圆形轨道向上运动恰能通过最高点C，g取10m/s2．求：
（1）小球脱离弹簧时的速度大小；
（2）小球从B到C克服阻力做的功；
（3）小球离开C点后落回水平面的位置到B点的距离x。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据机械能守恒定律
Epmv12①
v1＝6m/s ②
（2）由动能定理得﹣mg 2R﹣Wfmv22mv12③
小球恰能通过最高点，故mg＝m ④
由②③④得Wf＝11 J
（3）由mg＝m
2R
x＝v2t
得x＝1m
答：（1）小球脱离弹簧时的速度大小为6m/s；
（2）小球从B到C克服阻力做的功为11J；
（3）小球离开C点后落回水平面的位置到B点的距离x为1m。
▉题型10 物体在环形竖直轨道内的圆周运动
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
43．如图所示，半径为L的圆管轨道（圆管内径远小于轨道半径）竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球（小球直径略小于管内径）可沿管转动，设小球经过最高点P时的速度为v，则（　　）
A．v的最小值为
B．v若增大，轨道对球的弹力也增大
C．当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小
D．当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大
【答案】D
【解答】解：A、由于在最高点P管子能支撑小球，所以速度的最小值为零，故A错误。
BCD、小球经过最高点P时，当v时，根据牛顿第二定律得知：管壁对小球没有作用；
当v由逐渐减小时，下管壁对小球有支持力，根据牛顿第二定律得：
mg﹣N＝m，
得：N＝mg﹣m，v增大，轨道对球的弹力N减小，v减小，轨道对球的弹力N增大；
当v由逐渐增大时，根据牛顿第二定律得：
mg+N＝m，
得：N＝mmg，v增大，轨道对球的弹力N增大；故BC错误，D正确。
故选：D。
（多选）44．如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（　　）
A．小球能够通过最高点时的最小速度为0
B．小球能够通过最高点时的最小速度为
C．如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道的外壁有作用力
D．如果小球在最低点时的速度大小为，则小球对管道的作用力为5mg
【答案】AC
【解答】解：AB、小球在管道内做圆周运动，在最高点时管道能给小球竖直向上的支持力，则小球能够通过最高点的最小速度为零，故A正确，B错误；
C、当小球在最高点时的速度大小为2，根据牛顿第二定律得：mg+F'＝m，代入数据解得：FN＝3mg，方向竖直向下，根据牛顿第三定律可知，此时小球对管道的外壁有作用力，故C正确；
D、如果小球在最低点时的速度大小为，根据牛顿第二定律得：F﹣mg＝m，结合牛顿第三定律可知，小球通过最低点与管道间的弹力大小为6mg，故D错误；
故选：AC。
▉题型11 拱桥和凹桥类模型分析
【知识点的认识】
1.模型的构建
如下图所示，汽车分别经过凸形桥和凹形桥，设汽车的质量为m，桥面圆弧半径为r，汽车经过桥面最高点或最低点的速度为v。
2.模型分析
45．有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　）
A．汽车以恒定速率通过拱桥的最高点时处于平衡状态
B．滑块随水平圆盘一起匀速转动，滑块有沿轨迹半径向外的相对运动趋势
C．同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A位置小球所受筒壁的支持力要大于在B位置时的支持力
D．火车转弯超过规定速度行驶时，内侧轨道对内轮缘会有挤压作用
【答案】B
【解答】解：A、汽车过凸形桥最高点时，加速度向下，处于失重状态，故A错误；
B、滑块随水平圆盘一起匀速转动，滑块受到重力、支持力和指向圆心的静摩擦力作用，滑块有沿轨迹半径向外的相对运动趋势，故B正确；
C、小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动时受到重力与筒壁的支持力，合力提供向心力，受力如图：
可得N＝mgtanθ，可知在A位置小球所受筒壁的支持力等于在B位置时的支持力，故C错误；
D、火车转弯超过规定速度行驶时，外侧轨道对外轮缘会有挤压作用，故D错误。
故选：B。
46．如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为10m/s时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度应为（g＝10m/s2）（　　）
A．15m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s
【答案】B
【解答】解：根据牛顿第二定律得，，即
解得：r＝40m。
当摩擦力为零时，支持力为零，有：mg，解得．故B正确，A、C、D错误。
故选：B。
47．当汽车通过拱桥顶点的速度为10m/s时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度应为（　　）
A．15m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s
【答案】D
【解答】解：速度为5m/s时，车对桥顶的压力为车重的，对汽车受力分析：重力与支持力，运动分析：做圆周运动，由牛顿第二定律可得：
mg﹣N＝m
得：r＝90m，
当汽车不受摩擦力时，有：
mg＝m
由上可得：v0＝30m/s
故选：D。
48．下列有关生活中圆周运动实例分析中说法正确的是（　　）
A．甲图中，汽车通过拱桥最高点时，速度不能超过
B．乙图中，杂技演员表演“水流星”，在通过最低处时，水与桶之间可以没有作用力
C．丙图中，当火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
D．丁图中，洗衣机脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，水沿切线方向甩出
【答案】A
【解答】解：A．根据题意可知，甲图中当汽车通过拱桥最高点时，若汽车与拱桥间作用力为0，由牛顿第二定律得：
解得：
若速度超过，则汽车将飞离拱桥，故A正确；
B．乙图中，杂技演员表演“水流星”，在通过最低处时，设水与桶之间作用力为F，由牛顿第二定律得：
解得：
可知，水与桶之间不可能没有作用力，故B错误；
C．丙图中，当火车转弯超过规定速度行驶时，重力与支持力的合力不足以提供向心力，火车将做离心运动挤压外轨，则外轨提供指向圆心的作用力，外轨容易受损，故C错误；
D．丁图中，洗衣机脱水原理是水滴所受合力不足以提供水滴做圆周运动的向心力，发生离心运动，故D错误。
故选：A。
（多选）49．有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　）
A．如图a，汽车通过拱桥的最高点处于超重状态
B．如图b所示是一圆锥摆，增大θ，但保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度不变
C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位先后分别做匀速圆周运动，则在A位置小球所受筒壁的支持力要大于在B位置时的支持力
D．如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对外轮缘会有挤压作用
【答案】BD
【解答】解：A、汽车通过拱桥最高点，具有竖直向下的向心加速度，故汽车处于失重状态，故A错误；
B、设圆锥摆摆长为L，圆锥的高度为h，对小球，重力和拉力的合力提供向心力，根据向心力的表达式得：
mgtanθ＝mω2r＝mω2Lsinθ，解得：，与θ无关，故增大θ，但保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度不变，故B正确；
C、设支持力与竖直方向的夹角为θ，则支持力的大小N，两球质量相同，支持力相等，故C错误；
D、题图d中，火车转弯超过规定速度行驶时，所需的向心力增大，重力和轨道支持力的合力不足以提供向心力，此时还需要外轨对车轮的作用力提供一部分向心力，所以外轨和轮缘之间存在挤压作用，故D正确。
故选：BD。
50．当汽车通过拱桥顶点的速度为6m/s时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，对桥顶的压力为零，则汽车通过桥顶的速度应为　12m/s　 。
【答案】12m/s
【解答】解：根据牛顿第二定律得：mg﹣FN＝m，
即mg＝m
当支持力为零时，有：mg＝m，
解得：v′＝2v＝12m/s。
故答案为：12m/s
51．一辆质量为2000kg的小轿车，驶过半径R＝20m的一段圆弧形桥面，重力加速度g＝10m/s2．求：
（1）若桥面为凹形，汽车以20m/s的速度通过桥面最低点时，桥面对车的支持力大小是多大？
（2）若桥面为凸形，汽车以10m/s的速度通过桥面最高点时，桥面对车的支持力大小是多大？
（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在最低点，根据牛顿第二定律得，，
解得NN＝60000N．
（2）在最高点，根据牛顿第二定律得，，
NN＝10000N．
（3）当汽车对桥面压力为零，
解得v．
答：（1）桥面对车的支持力大小是60000N
（2）桥面对车的支持力大小是10000N
（3）汽车以14.1m/s速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力．
52．有一个质量为800kg的小汽车驶上圆弧半径为40m的拱桥，重力加速度g取10m/s2。
（1）汽车到达桥顶时速度为10m/s，桥对汽车的支持力是多大？
（2）汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥面没有压力？
（3）假如拱桥的半径增大到与地球半径R＝6400km一样，当汽车的速度不断地增大就会在桥上腾空形成绕地球做圆周运动的卫星，求使汽车成为卫星的最小速度。
【答案】（1）汽车到达桥顶时速度为10m/s，桥对汽车的支持力是6000N；
（2）汽车以20m/s的速度经过桥顶时恰好对桥面没有压力；
（3）使汽车成为卫星的最小速度为8km/s。
【解答】解：拱形桥的半径为：r＝40m，地球的半径为：R＝6400km＝6.4×106m。
（1）设桥对汽车的支持力大小为FN，在桥顶，根据牛顿第二定律可得：
解得：FN＝6000N；
（2）设汽车以速度v2经过桥顶时恰好对桥面没有压力，根据牛顿第二定律可得：
解得：v2＝20m/s
（3）设使汽车成为卫星的最小速度为v3，根据牛顿第二定律可得：，
解得：v3＝8000m/s＝8km/s。
答：（1）汽车到达桥顶时速度为10m/s，桥对汽车的支持力是6000N；
（2）汽车以20m/s的速度经过桥顶时恰好对桥面没有压力；
（3）使汽车成为卫星的最小速度为8km/s。
▉题型12 近心与离心运动的意义与原因
【知识点的认识】
1．离心运动
（1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
（2）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。
（3）受力特点：
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力。如图所示：
2．近心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F＞mrω2，物体渐渐向圆心靠近。如图所示：
注意：物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出。
53．有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　）
A．如图a，洗衣机脱水过程中，吸附在衣服上的水所受合力小于所需向心力
B．如图b，所示是一圆锥摆，增大θ，但保持圆锥的高不变，则圆锥摆的角速度减小
C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球的角速度及所受筒壁的支持力大小相等
D．如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
【答案】A
【解答】解：A．洗衣机脱水过程中，水做离心运动，则吸附在衣服上的水所受合力小于所需要的向心力，故A正确；
B．圆锥摆重力和拉力的合力充当向心力，则有
mgtanθ＝mω2r
r＝Lsinθ
解得
增大θ，但保持圆锥的高不变，则圆锥摆的角速度不变，故B错误；
C．小球的重力和支持力的合力充当向心力，重力不变；根据平行四边形定则，支持力相等，所以向心力也相等；根据向心力公式，由于转动半径不等，所以角速度不等，故C错误；
D．火车以规定速度行驶时，重力和支持力的合力完全提供向心力，车轮对内、外轨道均无挤压；当火车超过轨道速度行驶时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，火车有做离心运动的趋势，火车的外车轮对外轨有挤压作用，故D错误。
故选：A。
▉题型13 判断近心或离线运动的轨迹
【知识点的认识】
1．离心运动
（1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
（2）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。
（3）受力特点：
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力。如图所示：
2．近心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F＞mrω2，物体渐渐向圆心靠近。如图所示：
注意：物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出。
54．如图，光滑水平面上，小球在拉力F作用下，沿逆时针做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法错误的是（　　）
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pc做近心运动
D．不管拉力是变大还是变小，小球都将沿轨迹Pa运动
【答案】D
【解答】解：在水平面上，细绳的拉力提供小球所需的向心力，当拉力消失，小球所受合力为零，将沿切线方向做匀速直线运动；若拉力突然变小时，将沿Pb轨道做离心运动；若拉力突然变大时，将沿Pc轨道做近心运动，故ABC正确，D错误。
本题选错误的
故选：D。
55．如图所示一个小球在力F作用下以速度v做匀速圆周运动，若从某时刻起小球的运动情况发生了变化，对于引起小球沿a、b、c三种轨迹运动的原因说法正确的是（　　）
A．沿a轨迹运动，可能是F减小了一些
B．沿b轨迹运动，一定是v减小了
C．沿c轨迹运动，可能是v减小了
D．沿b轨迹运动，一定是F减小了
【答案】C
【解答】解：A、若力F突然消失，小球将沿轨迹a做直线运动，故A错误；
B、若速度v突然增大时，即提供的向心力小于所需的向心力时，小球可能将沿b轨迹做离心运动，故B错误；
C、若速度v突然减小时，即提供的向心力大于所需的向心力时，小球可能将沿c轨迹运动做向心运动，故C正确；
D、当力F减小时，即提供的向心力小于所需的向心力时，小球可能将沿b轨迹做离心运动，故D错误。
故选：C。
56．在光滑水平桌面上；用细线系一个小球，球在桌面上做匀速圆周运动，当系球的线突然断掉，关于球的运动，下述说法正确的是（　　）
A．向圆心运动
B．背离圆心沿半径向外运动
C．做半径逐渐变大的曲线运动
D．沿圆的切线方向做匀速运动
【答案】D
【解答】解：小球的速度方向沿切线方向；而当线断后，小球的向心力消失，此时小球合外力为零，则小球将沿切线方向飞出，而一直做匀速直线运动；
故选：D。
57．如图，光滑的水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。小球到达P点时若F突然 　变大　 （选填“变大”或“变小”），则小球将沿轨迹Pc运动；到P点时若撤去F，则小球将沿轨迹 　Pa　 （选填“Pa”、“Pb”或“Pc”）运动。
【答案】变大；Pa。
【解答】解：只有拉力突然变大，拉力大于此处的向心力，将做向心运动，因此小球可能沿轨迹Pc运动；
若在P点撤去拉力F，则小球将沿切线Pa飞出。
故答案为：变大；Pa。
▉题型14 离心运动的应用和防止
【知识点的认识】
离心现象在生活中非常普遍，要对其加以合理的利用和防护。
1.应用举例：
（1）洗衣机脱水：洗衣机利用离心运动将附着在衣物上的水分甩掉，通过高速旋转使衣物上的水分受到离心力作用，从而被甩出，实现脱水效果。
（2）棉花糖机：棉花糖机利用离心运动将熔化的糖汁甩出，形成丝状，冷却后形成棉花糖，这也是离心运动的一个应用。
（3）离心干燥器：离心干燥器利用高速旋转的网笼使湿物料受到离心力作用，从而将水分甩出，达到干燥的目的。
（4）离心机：在某些情况下，如甩体温计的水银柱回玻璃泡内，也是利用离心运动原理实现的。
2.防止举例：
（1）水平公路转弯限速：在水平公路上转弯时，如果速度过大，车辆会因为所需的向心力超过车轮与地面间的最大静摩擦力而做离心运动，容易造成事故。因此，需要限制速度以防止离心运动带来的危害。
（2）高速转动的砂轮防护：高速转动的砂轮如果转速过高，其内部的分子间相互作用力不足以提供所需的向心力时，砂轮会破裂。因此，需要控制砂轮的转速，并使用防护罩来防止砂轮破裂造成的伤害。
这些应用和防止措施展示了离心运动在实际生活中的重要作用，既可以利用其原理服务于日常生活，又需要注意控制条件以避免其带来的潜在风险。
58．图为洗衣机的脱水筒的示意图，洗衣机脱水时衣物在水桶的内壁上，利用离心运动把附着在衣物上的水分甩掉，关于该过程，下列说法正确的是（　　）
A．提高脱水筒的转速，脱水效果更好
B．脱水筒转得越快，衣服与桶壁间的弹力越小
C．衣服受重力、弹力、摩擦力、向心力4个力的作用
D．衣服上的水滴，受衣服的附着力大于所需的向心力时，做离心运动
【答案】A
【解答】解：A、由牛顿第二定律得：N＝mω2R，ω增大会使向心力增大，而转筒有洞，不能提供足够大的向心力，水滴就会被甩出去，增大向心力，会使更多水滴被甩出去，故A正确；
B、由于衣服在圆桶内壁上不掉下来，竖直方向上没有加速度，重力与静摩擦力二力平衡，靠弹力提供向心力，根据牛顿第二定律得：N＝mω2R，可得脱水筒转得越快，衣服与桶壁间的弹力越大，B错误；
C、衣服受到重力、桶壁的弹力和静摩擦力的作用，共3个力作用，向心力是效果力，不能在受力分析时，当作一个力去分析，故C错误；
D、衣服上的水滴，受衣服的附着力小于所需的向心力时，做离心运动，故D错误。
故选：A。
（多选）59．如图，在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上，有一件湿衣服随圆桶一起转动而未滑动，则（　　）
A．衣服随脱水筒做圆周运动的向心力由衣服的重力提供
B．水会从脱水筒甩出是因为水滴受到向心力很大的缘故
C．加快脱水筒转动角速度，衣服对桶壁的压力也增大
D．加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
【答案】CD
【解答】解：A、C、衣服受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力的作用，共3个力作用，由于衣服在圆筒内壁上不掉下来，竖直方向上没有加速度，重力与静摩擦力二力平衡，靠弹力提供向心力；随着圆桶转速的增加，弹力增加，故A错误，C正确；
B、D、对于水而言，衣服对水滴的附着力提供其做圆周运动的向心力，随着圆桶转速的增加，需要的向心力增加，当附着力不足以提供需要的向心力时，衣服上的水滴将做离心运动，加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好。故B错误，D正确；
故选：CD。
▉题型15 圆周运动与平抛运动相结合的问题
【知识点的认识】
本考点旨在针对圆周运动与平抛运动相结合的问题。
60．如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心、R1和R2为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．若h1＝h2，则v1：v2＝R2：R1
B．若v1＝v2，则h1：h2：
C．若ω1＝ω2，v1＝v2，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D．若ω1＝ω2，v1＝v2，喷水嘴各转动一周，则落入外圈每个花盆水量较多
【答案】B
【解答】解：AB．根据平抛运动的规律
在竖直方向上
在水平方向上R＝vt
解得
可知若h1＝h2则v1：v2＝R1：R2
若v1＝v2，则
故A错误，B正确；
CD．若ω1＝ω2，则喷水嘴各转动一周的时间相同，因v1＝v2，出水口的截面积相同，可知单位时间喷出水的质量相同，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，但因内圈上的花盆总数量较小，可知落入内圈的每个花盆的得到的水量就越多，故CD错误。
故选：B。

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