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2025-2026学年福建省泉州市惠安县第一教研联盟九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知四条线段a，3，，4是成比例线段，则a的值为( )
A. 4 B. 3 C. D. 或
4.如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F，如果DE：：2，，那么BC的长等于( )
A. 6
B. 9
C. 10
D. 25
5.用配方法解方程，则配方结果正确的是( )
A. B. C. D.
6.某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 无法确定
8.如图，设AB是已知线段，经过点B作，使，连接DA，在DA上截取；在AB上截取点C就是线段AB的黄金分割点.已知线段AB的长为80cm则线段AC的长为
A. B. C. D.
9.如图，在 ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，，，则GF的长为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
10.如图，一个三阶魔方由27个棱长为1的正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了
A. 54
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________.
12.已知，且，则x的值为______.
13.已知一元二次方程的两根为m，n，则______.
14.如图，已知矩形ABCD∽矩形DEFC，点D，C分别在线段AE，BF上，若，，则线段CF的长为 .
15.小灵为了测量操场边上一棵树的高度，她在树AB前方20米E点处放置一面小镜子，然后她沿BE方向继续往前走8米到D点处，转身刚好在镜子里看到树梢，小灵眼睛距地面米，根据这些信息请你算出树的高度是 米.
16.如图，已知BD，CE分别是的内角平分线，过A点作；，垂足分别为F，G，连结FG，若，，，则FG的长等于 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
计算：
18.本小题8分
解方程：
；
19.本小题8分
先化简，再求值：，其中
20.本小题8分
如图，已知等腰三角形ADC，，B是线段DC上的一点，连接AB，且有
求证：∽；
若，，求AD的值.
21.本小题8分
如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为、、
画出关于x轴对称的；
以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且位似比为2，并求出的面积．
22.本小题10分
实验基地有一长为10米的墙MN，研究小组想利用墙MN和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门.
小徐按图1的方案围成矩形种植园为墙MN的一部分，当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边AB的长.
小祝按照图2的方案围成矩形种植园墙MN为边AD的一部分，能否围成面积为的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由.
23.本小题10分
已知关于x的一元二次方程
求证：此一元二次方程总有实数根；
设此方程的两个实数根分别为，，若为整数，求整数k的值.
24.本小题12分
若三个实数x，y，z满足，且，则有：
例如：请解决下列问题：
求的值．
设…，求S的整数部分．
已知，且，当取得最小值时，求x的取值范围．
25.本小题14分
综合运用
如图，中，，点E在AB的下方，，CE平分，在线段CE上取点F，使，设
如图1，当时，求证：≌
如图2，当时，判断EB、EC、EA之间的数量关系并说明理由.
如图3，现以AB所在的直线为x轴，AB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，A、C两点的坐标分别为，实数若为常数且，求面积S关于n的函数表达式.
参考答案
一、选择题
1.C
2.B
3.B
4.A
5.D
6.C
7.A
8.C
9.C
10.C
二、填空题
11.且
12.4
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解：原式
18.解：，
，
或，
，；
，
，
，
，
，
，
19.解：原式
，
当时，原式
20.证明：，
，
又，
，
又，
∽；
解：∽，
，
，，
，
，

21.解：如图所示，就是所求三角形.
如图所示，就是所求三角形．
，，，与位似，且位似比为2，
，，，

22.解：设AB的长为x米，
则，
解得：，
，
，
舍去，
答：矩形种植园一边AB的长15米．
解：设AB的长为x米，
则 ，化简得，
，
不能围成，
答：不能围成面积为的矩形种植园．
23.解：证明：
无论k为何实数，总有；即：，
一元二次方程总有实数根．
解：，，
，
为整数，且k为整数．
，，
或2或6或
又，
或4或
24.解：；
…
…
…
…
，
故整数部分为2020；
由题意得，
，
又，
原式，
因为取最小值，
所以，而，
因此，，
答：x的取值范围为
25.，，
是等边三角形，
，，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，，
，
≌；
理由：过点C作于M，
，，
、，
，
，
，
，
等腰与等腰的底角相等，
∽，
，
，
，
又，
，
∽，
，
，
，
；
依题意得：，，
，
，
，
等腰与等腰的底角相等，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
由题意可知：，，
，
，
，
过点C作于H，
，
∽，
，
即，
，
，
即S关于n的函数表达式为

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