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2025-2026学年九年级下学期3月综评数学试题
考试时间：120分钟 满分：120分
第一部分 选择题（共30分）
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．π
2．将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，可得到的立体图形是（　　）
A． B．\ C． D．
3．下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C．a3 a2＝a6 D．（2a2）3＝8a6
4．已知方程x2+x+□+1＝0．在□中添加个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是（　　）
A．1 B．﹣2 C．0 D．
5．某地区上半年每月的平均气温依次是5℃，8℃，12℃，18℃，24℃，30℃，为了表示气温变化的情况，可以把上述数据绘制成（　　）
A．条形统计图 B．折线统计图
C．扇形统计图
6．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣3x向上平移3个单位长度后得到直线l：y＝kx+b，对于直线l，下列判断正确的是（　　）
A．点（﹣1，0）在直线l上
B．直线l不经过第四象限
C．直线l与y轴交于点（3，0）
D．当2≤x≤4时，y的最大值为﹣3
7．若函数的图象在每个象限内y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞2 D．m＜2
8．如图，菱形ABCD的面积为6，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为（　　）
A．3 B．3.5 C．5 D．5.5
9．如图，菱形ABCD的周长为16，∠DAB＝60°，E为AD的中点，M为AC上任意一点，则DM+EM的最小值为（　　）
A． B． C．4 D．
10．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（x1，y1），B（x2，y2），C（t，n），D（2﹣t，n）四点，且﹣3＜x1＜﹣1，若存在正数m，使得当m＜x2＜m+1时，总有y1≠y2成立，则正数m的取值范围是（　　）
A．0＜m≤5 B．2＜m≤5
C．0＜m≤2或m≥5 D．0＜m≤3或m≥5
第二部分 非选择题（共90分）
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．如图，直线a、b所成的夹角跑到画板外面了．已知∠1＝71°，∠2＝78°，则直线a、b的夹角的度数为　 　 ．
12．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，△ADE的面积是2，则△ABC的面积是 　 　 ．
13．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ．
14．如图，在△ABC中，AC＝BC，OC平分∠ACB，OD⊥BC于点D，BD＝CD，点F在CD上，连接OF，∠COF＝45°，延长DO交AC于E，AE＝2DF，下列结论中：（1）∠DEC＝2∠DOF；（2）CE＝2CF；（3）；（4）若DF＝2，则．以上结论正确的序号　 　 ．
15．若直线y＝x+m与二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象交于A、B两点，且线段，则m＝　 　 ．
16．如图，B、C是线段AD上两点，AB、BC、CD分别是⊙O1、⊙O2、⊙O3的直径，这三个圆的半径都等于10，设AG切⊙O3于G，且交⊙O2于E、F，则弦EF的长为 　 　 ．
三．解答题（本大题共9.小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．
18．（4分）如图，在△ABC和△BAD中，BC与AD交于点O，∠1＝∠2，请你再添加—个条件：　 　 ，使得△ABC≌△BAD，并说明理由．
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
20．（6分）在学校举行的一次广播操比赛中，八年级三个班的各项得分（单位：分）如表．
班别 服装统一 动作整齐 动作标准
八（1）班 80 84 85
八（2）班 97 78 80
八（3）班 90 77 85
（1）根据表中信息，三个班得分的平均数分别是 　 　 、　 　 、　 　 ．
（2）如果服装统一、动作整齐、动作准确三方面的重要性分别占20%，30%，50%，求这三个班的成绩排名顺序．
（3）在（2）的条件下，你对三个班级中排名最后的班级有何建议？
21．（8分）已知一次函数y1＝2x+m的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，1）．
（1）求m，k的值；
（2）求B点坐标；
（3）当x＞2时，结合图象比较y1与y2的大小．
22．（10分）某水果店老板用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的重量是第一次购进水果的重量的1.5倍，设第一次购进水果的重量为x千克．
（1）用含x的式子表示：第一次购进水果的单价为 　 　 元/千克，第二次购进水果的重量为 　 　 千克；
（2）该水果店老板两次购进水果各多少千克？
23．（10分）综合与实践
某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程：
如图1，△ABC和△ADE是共顶点的等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．
问题初探
（1）如图2，当点D在直线BC上时，
①求证：AC⊥CE．
②推断：CE与BD的比值．
问题深入
（2）当点D不在直线BC上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图1说明理由．
问题解决
（3）如图3，点O是正方形ABCD的中心，点E在直线BC上运动，连接OE，过点E作EF⊥OE，且EF＝OE，连接OF，CF．
①正方形ABCD的边BC上是否存在一点M，使恒成立？若存在，直接写出点M的位置；若不存在，说明理由．
②连接DF，若正方形ABCD的边长为4，设EB＝x，DF＝y，当x为何值时，y的值最小，最小值为多少？
24．（12分）综合与实践
为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练，以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线y＝a（x﹣6）2+29的一部分．
（1）求a的值．
（2）若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？
（3）若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂GH的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为α，且tanα＝2，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？
（提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移）
25．（12分）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
（1）操作判断：
在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部的点M处，把纸片展平，过M作EF∥BC交AB、CD、BP于点E、F、N，连接PM并延长交CD于点Q，连接BQ，如图①，当E为AB中点时，△PMN是 　 　 三角形．
（2）迁移探究：
如图②，若BE＝5，且ME MF＝10，求正方形ABCD的边长．
（3）拓展应用：
如图③，若（n＞1），直接写出的值为 　 　 ．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D B B D A A B C
二．填空题
11．31°．
12．12.5．
13．x≥2且x≠3．
14．（1）（2）．
15．2．
16．16．
三．解答题
17．解：，
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
18．解：判定两个三角形全等的方法，
∴添加条件例举：AD＝BC，∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA等，
故答案为：AD＝BC（答案不唯一）．
19．解：


＝2（3+x），
当时，
原式．
20．解：（1）八（1）班的平均分为：83（分），
八（2）班的平均分为：85（分），
八（3）班的平均分为：84（分），
故答案为：83，85，84；
（2）八（1）班的加权成绩＝80×20%+84×30%+85×50%＝83.7（分），
八（2）班的加权成绩＝97×20%+78×30%+80×50%＝82.8（分），
八（3）班的加权成绩＝90×20%+77×30%+85×50%＝83.6（分），
∵83.7＞83.6＞82.8，
∴八（1）班获得第一名，八（3）班获得第二名，八（2）班获得第三名；
（3）加强动作标准方面的训练，才是提高成绩的基础．
21．解：（1）把点A的坐标（2，1）分别代入y1＝2x+m与，得1＝2×2+m，，
∴m＝﹣3，k＝2；
（2）∵m＝﹣3，k＝2，
∴y1＝2x﹣3，，
令y1＝y2，即，
解得或2，
此时，，
∴；
（3）∵m＝﹣3，k＝2，
∴在第一象限内，y1随x的增大而增大，y随x的增大而减小，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A点，
∴当x＝2时，y1＝y2，
∴当x＞2时，y1＞y2．
22．解：（1）根据题意得：第一次购进水果的单价为元/千克，
第二次购进水果的重量为1.5x千克．
故答案为：，1.5x；
（2）根据题意得：2，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×120＝180（千克）．
答：该水果店老板第一次购进这种水果120千克，第二次购进这种水果180千克．
23．解：（1）①证明：如图2，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴AB＝CB，AD＝ED，
∴ACAB，AEAD，
∴，
∵∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAE＝∠DEA＝45°，
∴∠CAE＝∠BAD＝45°﹣∠BAE，
∴△CAE∽△BAD，
∵点D在直线BC上，
∴∠ABD＝90°﹣∠ABC＝90°，
∴∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴AC⊥CE．
②的值为，
理由：∵△CAE∽△BAD，
∴，
∴的值为．
（2）（1）①中的结论不成立，（1）②中的结论成立，
理由：如图1，∵AB＝CB，AD＝ED，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴ACAB，AEAD，∠BAC＝∠DAE＝45°，
∴，∠BAD＝∠CAE＝45°﹣∠CAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵点D不在直线BC上，
∴∠ABD≠90°，
∴∠ACE≠90°，
∴AC与CE不垂直，
∴（1）①中的结论不成立；
∵△CAE∽△BAD，
∴，
∴的值为，
∴（1）②中的结论成立．
（3）①存在，点M是BC的中点，
理由：如图3，连接OB、OC，作OM⊥BC于点M，则∠OME＝∠OMC＝90°，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴OB＝OC，∠BOC360°＝90°，
∴CM＝BM，
∴OM＝CM＝BMBC，
∴OCOM，∠MOC＝∠MCO＝45°，
∵EF⊥OE，且EF＝OE，
∴∠OEF＝90°，
∴OFOE，∠EOF＝∠EFO＝45°，
∴，∠EOM＝∠FOC＝45°﹣∠FOM，
∴△EOM∽△FOC，
∴，
∴MECF，
∴边BC上存在使MECF恒成立的点M，点M为BC的中点．
②如图3，∵△EOM∽△FOC，
∴∠OME＝∠OCF＝90°，
∴点F在经过点C且与OC垂直的直线上运动，
作DP⊥FC交FC的延长线于点P，则∠P＝90°，
∵∠OCP＝∠BCD＝90°，BC＝CD＝4，EB＝x，DF＝y，
∴∠PCD＝∠OCB＝90°﹣∠OCD＝45°，
∴sin45°，
∴DPCD4＝2，
∵DF≥DP，
∴DF≥2，
∴当点P与点F重合时，DF的值最小，此时y取得最小值2，
如图4，点P与点F重合，连接OB，
∵∠OCD＝90°﹣∠OCB＝45°，∠PCD＝45°，
∴∠OCP＝90°，
∵cos45°，
∴OC＝PC4＝2，
∴点E与点C重合，
∴EB＝BC＝4，即x＝4，
∴当点E在点B的右侧，且x＝4时，y的值最小，最小值为2．
24．解：（1）由题意可得：y＝a（x﹣6）2+29中得，
4＝a（16﹣6）2+29，
∴；
（2）不能，
∵
∴
∵该楼距离地面21米处出现一个起火点，
∴y＝21代入抛物线中，
得：，
∴（x﹣6）2＝32
∴，
∴，
∴消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点；
（3）tanα＝2，
设伸长伸缩臂后将出水口向左平移t米，再向上平移2t米．
则，
当x＝0时，y＝36，即，
解得：t1＝4，t2＝16，
当t＝4时，2t＝8，伸缩臂长为米，
∵，符合题意．
当t＝16时，2t＝32，伸缩臂长为米，
∵10，不符合题意，舍去．
故伸缩臂应伸长米．
25．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
根据折叠的性质可得，∠APB＝∠MPB，∠A＝∠BMP＝90°，
∵EF∥BC，
∴EF∥AD，
∴∠APN＝∠PNM，
∴∠MPN＝∠PNM，
∴MN＝MP，
∵E为AB的中点，EN∥AP，
∴N为BP的中点，PNBP，
∴MN，
∴PN＝MN＝MP，
△PMN为等边三角形；
故答案为：等边；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠C＝90°，
根据折叠的性质可得，AB＝BM，∠A＝∠BMP＝90°，
∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°，
∵BQ＝BQ，
∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL），
∴MQ＝CQ，
∵EF∥BC，
∴四边形EBCF为矩形，
∴BE＝CF＝5，BC＝EF，∠MFQ＝∠BEM＝90°，
∴∠FMQ+∠FQM＝90°，
∵∠BMQ＝90°，
∴∠FMQ+∠EMB＝90°，
∴∠FQM＝∠EMB，
∴△MFQ∽△BEM，
∴，
∴BE FQ＝MF EM，
∵ME MF＝10，
∴BE FQ＝10，
∴5FQ＝10，即FQ＝2，
∴CQ＝CF﹣FQ＝5﹣2＝3，
∴MQ＝CQ＝3，
在Rt△MFQ中，MF，
∴ME2，
∴EF＝ME+MF，
∴BC＝EF，即正方形ABCD的边长为；
（3）设MN＝a，
∵若，
∴BC＝n MN＝na，
∴PA＝PM＝MN＝a，PD＝（n﹣1）a，
设CQ＝x，则DQ＝na﹣x，
∵S四边形ABMP+S四边形BCQM+S△PDQ＝S正方形ABCD，
∴2S△ABP+2S△BCQ+S△PDQ＝S正方形ABCD，
∴（na）2，
整理得：na+nx+x＝n2a，
∴x，
∴CQ，
∴．
故答案为：．

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