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江门市 2026 年高考模拟考试 数 学
满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 做选择题时, 必须用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时, 必须用黑色字迹钢笔或签字笔, 将答案写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
5. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知 (其中 是虚数单位),则 的共轭复数为
A. B. C. D.
2. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
3. 已知双曲线 的两个焦点分别是 与 ,焦距为 是双曲线上的一点,且 ，则
A. 1 B. 8 C. 9 D. 11
4. 某班级图书角有 5 种课外书, 甲、乙两名同学从 5 种课外书中各自选 2 种, 则两人选的课外书没有相同种类的选法有
A. 20 种 B. 30 种 C. 40 种 D. 60 种
5. 设 是定义在 上且周期为 2 的奇函数,当 时, ,则
A. -1 B. 1 C. 2 D. 3
6. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度, 余弦距离是检测相似度的常用方法. 假设二维空间中有两个点 为坐标原点,定义余弦相似度为 (其中 为向量 的夹角),余弦距离为 . 已知 ,若 的余弦距离为 ,则
A. B. C. D.
7. 已知正方体 的棱长为3，点 是正方形 内(含边界)的一个动点，且满足 ，则点 的轨迹长为
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,若 ,则 的大小关系不可能是
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 从某小区抽取 100 户居民用户进行月用电量调查,发现他们的用电量都在 之间, 进行适当分组后 (每组为左闭右开的区间), 画出如图所示的频率分布直方图.
根据此频率分布直方图, 则
A.
B. 估计该小区居民用户月用电量的下四分位数约为
C. 估计该小区有一半左右的居民用户,其月用电量介于 至 之间
D. 当该小区的月用电标准定在 时,该小区大约 80% 的居民用户用电量不受影响
10. 在 中,角 的对边分别为 ,且 , 则
A.
B. 当 时,
C. 当 时, 面积的最大值为 1
D. 当 为锐角三角形时, 的取值范围是
11. 设抛物线 的焦点为 ,过点 的直线交抛物线 于 两点，点 为线段 中点，若与 平行的直线与抛物线 相切于点 ,则
A. 是直角三角形 B. 点 的轨迹方程为
C. 与 轴平行 D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 在 的展开式中,常数项是_____. (用数字作答)
13. 在 中, 是 边的中点, 是 边上的点,且 ，则向量 与向量 的夹角的余弦值为_____.
14. 已知一个圆锥的底面半径为 3,侧面积为 . 若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体(圆锥表面厚度忽略不计)，则该正方体体积的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本题 13 分)
已知数列 的首项 ,前 项和为 ,且满足 .
(1)求证:数列 为等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
16. (本题 15 分)
如图，在三棱柱 中， ， ， ， 平面 平面 .
(1)求证: ；
(2)若 ，直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的平面角的余弦值.
17. (本题 15 分)
某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从 A、B、C 三类问题中各抽取一个问题回答, A、B、C 类问题回答正确的得分依次是 2 分、3 分、5 分, 回答错误得 0 分. 已知甲同学能正确回答 A、B、C 类问题的概率依次为 ,乙同学能正确回答 A、B、C 类问题的概率都为 ,总分最高的选手获胜,且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关.
(1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率;
(2)记 为甲同学的总得分，求 的分布列及期望；
(3)已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于 5 分的概率.
18. (本题 17 分)
已知椭圆 的长轴长为 4,离心率为 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆 的左右顶点分别为 是直线 上一点，直线 分别交椭圆于点 两点，连接 交 轴于点 .
(i) 当 最大时,求点 的坐标;
(ii) 若 ,求 的取值范围.
19. (本题 17 分)
帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法. 已知函数 在 处的 阶帕德近似定义为: , 且满足 . 其中 . 已知 在 处的 阶帕德近似为 .
(1)求 的值；
(2)若对于任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；
(3)已知 是函数 的三个不同的零点，且 ， 求实数 的取值范围,并证明 . 内部资料 注意保存
江门市 2026 年高考模拟考试答案 数 学
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B B C C D
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 BCD AD ACD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
题号 12 13 14
答案 15 8
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 的首项 ,前 项和为 ,且满足 .
(1)求证:数列 为等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
(1)由 ，①
当 时， ，由 ，解得 ， .1 分
当 时, ,② 2 分
①-②得: ，即 ， 3 分
从而 4 分
又因为 ,且 也满足上式, 所以数列 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. .5 分
6 分
(2)由(1)得 ,则 , 从而 , 7 分
所以 ,
, 8 分
令 ,①
则 ,② .9 分
①-②得: ， 10 分
所以 , 11 分
又 , 12 分
所以 . 13 分
16. 如图,在三棱柱 中， ，平面 平面 .
(1)求证: ；
(2)若 ，直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的平面角的余弦值.
(1)因为在 中, , 由余弦定理得:
, 1 分所以 ， 2 分
所以 ,故 , 3 分又因为平面 平面 ,
平面 平面 平面 , .4 分
所以 平面 , .5 分
又 平面 ,所以 . .6 分
(2)解法一:过 作 ，垂足为 ，
因为平面 平面 ,
平面 平面 平面 ,
所以 平面 , .7 分
直线 是直线 在平面 上的投影,
所以 是直线 与平面 所成的角,即 . 8 分
由(1)知 ，又 ，
连接 ,则 是等边三角形,
取 的中点 ,连接 ,
则 ， 10 分
由( 1 )知 ， ，
所以 平面 ,所以 , 11 分
所以 是二面角 的平面角, 12 分
由( 1 )知 平面 ，所以 ，
又 ,
所以 , 14 分
所以二面角 的平面角的余弦值为 . 15 分
解法二: 过 作 ,垂足为 ,
因为平面 平面 ,
平面 平面 平面 ,
所以 平面 , 7 分
则直线 是直线 在平面 上的投影,
所以 是直线 与平面 所成的角,且 , 8 分
则 , .9 分
由( 1 )可知 ，即 是 的中点.
取 的中点 ,连接 ,则 .
以 为原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 10 分
所以 .
设平面 的法向量为 ,
则 ,
取 ,则 ,
所以 是平面 的一个法向量. 12 分
取平面 的法向量为 , 13 分
则 , 14 分
所以二面角 的平面角的余弦值为 . 15 分
17. 某学校组织学科创新能力知识竞赛，参数选手随机从 、 、 三类问题中各抽取一个问题回答，A、 B、C 类问题回答正确的得分依次是 2 分、3 分、5 分，回答错误得 0 分. 已知甲同学能正确回答A、B、C
类问题的概率依次为 ,乙同学能正确回答 类问题的概率都为 ,总分最高的选手获胜, 且甲乙能正确回答问题的概率与顺序无关.
(1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率;
(2)记 为甲同学的总得分，求 的分布列及期望；
(3)已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于 5 分的概率.
(1)设事件 D 表示乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确，
3 分
(2) 可能的取值有0,2,3,5,7,8,10, 4 分
,
,
(对 2 个正确给 1 分)
8 分
所以 的分布列为:
0 2 3 5 7 8 10
1 24 7 24 6 24
. 10 分
(3)记 为乙同学的总得分， 可能的取值有0,2,3,5,7,8,10，则
11 分
12 分
设事件 表示乙获胜,事件 表示甲的总分不低于 5 分,
法一: , 13 分
14 分
15 分
法二: 13 分
14 分
15 分
18. 已知椭圆 的长轴长为 4,离心率为 .
(1)求椭圆的标准方程;
( 2 )椭圆 的左右顶点 是直线 上一点，直线 分别交椭圆于点 两点，连接 交 轴于点 .
(i) 当 最大时,求点 的坐标;
(ii) 若 ,求 的取值范围.
(1) 由题意可得, ,即 , 1 分
又 ,得 , 2 分
又 ,得 , 3 分
所以椭圆 的标准方程为 . 4 分
(2)(i)设点 ，直线 的倾斜角分别为 ，
得 , .5 分
当 时, ,此时 , 6 分
当 时, ,
则有 ,
当且仅当 时,等号成立, .7 分
当 时, ,
则有 ,
当且仅当 时,等号成立 (也可以由对称性得结论) 8 分
综上所述,当且仅当 时, 有最大值,即 有最大值 ,
所以当点 的坐标是 或 有最大值 . 9 分
(ii) 法一: 设点 ,当 是两个三角形不存在,所以 ,
直线 的方程分别为 , 10 分
联立方程得 ,消去 得 ,
解得 或 ,即点 , 11 分
联立方程得 ,消去 得 ,
解得 或 ,即点 , 12 分
直线 的方程为 , 13 分
化简得 ,所以直线 过定点 . 14 分
又 ,
, 15 分
若 ,得 ,
化简得 , 16 分
由 ,则 ,则 . 17 分
法二: 当直线 与 轴重合时,显然不满足题意.
设直线 为 ,点 是直线 与 轴的交点,
联立方程组 ,消去 得 ,
所以有 , 10 分
直线 的方程为 ,直线 的方程为 , 11 分
联立方程得 ,解得 ,
又 ,
所以点 的横坐标为 , 12 分
代入 得
, 13 分
解得 ,即点 , 14 分
由于 , 15 分若 ,即 ,由图可知 异号,即 ,
所以有 ,
化简得 . 16 分
该方程有解,即 ,则 . 17 分
19.帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法. 已知函数 在 处的 阶帕德近似定义为: ,且满足 , . 其中 , . 已知 在 处的 阶帕德近似为 .
(1)求 的值；
(2)若对于任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；
(3)已知 是函数 的三个不同的零点，且 ，求实数 的取值范围,并证明 .
(1) , 1 分
所以 , .2 分
所以 , .3 分
,所以 , .4 分
(2)由(1)得: .
令 , .5 分
由于 ,所以若 恒成立,则 在 附近单调递增,即 ,
又 ,所以 ,则 . .6 分
下面证明充分性,即当 时,不等式 恒成立,
由于当 时, ,
所以若 ,则 恒成立, .7 分
若 时, ,
令 , .8 分
,所以 ,
则 在 单调递增,又 ,
所以 恒成立,即 在 上成立,
则有 成立,充分性得证, .9 分所以当 时,不等式 恒成立. 10 分
(3)由 ,设 11 分
令 ,
当 时, ,即 ,则 在 上单调递增,不满足题意,
当 时, ,即 ,
此时 恒成立, ,则 在 上单调递增,不满足题意,
当 时, 有两个零点 ,
其中 , 12 分令 ,
当 时, ,则 在 上单调递增,
当 时, ,则 在 上单调递减,
当 时, ,则 在 上单调递增,
由 ,所以 , 13 分
又 ,
即 在区间 内存在一个零点,在区间 上存在一个零点,
又 ,所以当 时, 有三个不同的零点 , .14 分
因为 ,所以 ,
法一: 由于 ,
可得 ,即 ,
由 可得 ,即 , .15 分
由(2)可知当 时, ,
则当 时,有 ,
由于 ,所以 , 16 分
化简得 ,即 ,
可化为 ,
即 ,
由 ,则有 ,原命题得证. 17 分
法二: 因为 ,所以 ,
由(2)可知, ,
,所以 ,
即 在区间 上单调递增,又 ,
当 时, ,即 ,
当 时, ,即 , 15 分
由此可得,当 时, ,
当 时, ,
所以 ,化简得 ,
,化简得 ,
所以 , 16 分
化简得 ,由于 ,
所以 ,得 ,
由 ,则有 ,原命题得证. 17 分
部分选填得答案过程如下:
8. 已知函数 ,若 ,则 的大小关系不可能是
A. B. C. D.
【答案】C
由题意令 ,即 ,得 ,
又 ,即 ,得 或 ,
令 ,则 ,
可化为 ,
是函数 的图象与直线 的交点横坐标,
如图所示,可得当 时,有 .
当 ,有 ,当 ,有 ,当 ,有 , 所以答案选 C.
10. 在 中,角 的对边分别为 ,且 , 则
A.
B. 当 时,
C. 当 时, 面积的最大值为 1
D. 当 为锐角三角形时, 的取值范围是
【答案】AD
对于 选项,由正弦定理, ,
代入条件得 ,由余弦定理, ,
又 ,故 . 故 A 正确;
对于 选项,将 代入 ,得 ,
由余弦定理, ,故 错误;
对于 选项,若 ,由基本不等式可得
的面积 ,
当且仅当 时取等号,故 面积的最大值为 . 错误;
对于 选项,解法一: 由 ,
得 ,
由 ,得 ,又 为锐角三角形,所以 ,
所以 ,所以 ,故 . D 正确.
解法二: 由 为锐角三角形且 ,得 ,且 ,
则 ,由余弦定理得 ,即 .
结合 ,化简得 . D 正确.
11. 设抛物线 的焦点为 ,过点 的直线交抛物线 于 两点,点 为线段 中点, 若与 平行的直线与抛物线 相切于点 ,则
A. 是直角三角形 B. 点 的轨迹方程为
C. 与 轴平行 D.
【答案】ACD
设过点 的直线的方程为 ,
联立方程组得 ,消去 得 ,
所以有 ,
又 ,
所以有 ,
,
选项 A: ,
,所以 ,即 是直角三角形, 正确.
选项 B: 由 的中点坐标 ,即 ,
所以线段 中点 的轨迹方程为 ,选项 B 错误.
选项 C: 设直线 与抛物线相切于点 ,
联立方程得 ,消去 得 ,
所以 ,解得 ,
代入上式可得 ,解得 ,即点 ,
由 ,则 与 轴平行,选项 正确.
选项 D: 则点 到直线 的距离 ,
点 到原点的距离为 ,所以
所以 ,
又因为 ,所以 ,选项 D 正确.
14. 已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π. 若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由转动的正方体(圆锥表面厚度忽略不计)，则该正方体体积的最大值为_____.
【答案】 8
要使圆锥内能放入自由转动的正方体的体积最大, 则该正方体的外接球恰好为该圆锥内能放入的最大的球.
设圆锥的底面半径为 ,母线长为 ,则圆锥侧面积为 ,
解得母线长 .
如图,在圆锥轴截面 中, ,则 ,
所以 ,
所以 ,
即正方体外接球半径为 .
设正方体的棱长为 ,则 ,
解得 ,所以正方体的体积为 .

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