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2026 届高三学情调研(一) 数 学
(时量: 120 分钟 满分: 150 分)
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 设全集 ,集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知 是虚数单位,若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 平面向量 满足 ，且向量 的夹角为 ，则 ( )
A. 1 B. C. D. 2
4. 若点 既是 所连线段的中点,又是直线 与 的交点,则线段 的垂直平分线的方程是 ( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 的值域为 ,则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
6. 已知 ,则 ( )
A. -2 B. -1
C. D.
7. 在某道选词填空题中, 共有 3 个空格、 4 个备选单词, 其中每个空格只选一个备选单词且只有备选单词中的一个是正确的(备选单词中有一个是多余的). 若随机选择 3 个备选单词分别填入 3 个空格, 则 3 个空格全部选错的概率是 ( )
A. B. C. D.
8. 已知四面体 的每个顶点都在球 ( 为球心) 的球面上, 为等边三角形, ，且 ，则二面角 - - 的正切值为 ( )
A. B. 1 C. 2 D. 3
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若 ,则下列判断正确的是 ( )
A.
B. C. D.
10. 已知圆 ,抛物线 的焦点为 为 上一动点,当 运动到点 时, ,直线 与 相交于 两点,则 ( )
A.
B. 若 ,则直线 与圆 相切
C. 若 为 上一点,则 的最小值为 1
D. 存在直线 ，使得 ， 两点关于 对称
11. 已知定义在 上的函数 的导函数为 ,若对任意 ,都有 ,且 ,则 ( )
A. 为偶函数 B.
C. 的周期为 4 D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 在 的展开式中，含 的项的系数为_____.
13. 设等比数列 的各项均为正数,其前 项和为 ,若 ,则 _____.
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 作直线 垂直于双曲线的一条渐近线,直线 与双曲线的两条渐近线分别交于 两点,若 , 则双曲线 的离心率 为_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
在 中,角 所对的边分别为 .
(1)求 的值；
(2)若 是边 上一点， ， ，求 的周长.
16. (本小题满分 15 分)
如图,在边长为 4 的正三角形 中, 分别为边 的中点. 将 沿 翻折至 ,得到四棱锥 为 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若平面 平面 ,求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. (本小题满分 15 分)
某学校举办趣味投篮比赛,选手需要在距离罚球线 1 米、2 米、3 米的 三个位置分别投篮一次 (选手自行选择投篮顺序). 在 三个位置投篮命中分别可得 1 分、 2 分、 3 分,总分不低于 4 分就可以获得奖品. 已知甲在 三处的投篮命中率分别为 , ,且在这三处的投篮相互独立.
(1)求甲未获得奖品的概率；
(2)甲参加投篮训练，训练计划如下:在 处先投 个球，若这 个球都投进,则训练结束,否则额外在 处投 个球. 试问 为何值时,甲投篮次数的期望最大
18. (本小题满分 17 分)
在平面直角坐标系中,已知椭圆 的左、右焦点分别为 , ,过 的直线 交 于 两点. 当 的倾斜角为 时, .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2) 为线段 (不含端点)上任一点， 为坐标原点，射线 与 交于点 ，与直线 4 交于点 .
( i )若 ,求 的最小值;
(ii) 若 为线段 的中点,判断并证明点 与以 为直径的圆的位置关系.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 是 的导函数.
(1)当 ， 时，讨论 的单调性.
(2)是否存在 ， ，使得 为 的极值点 若存在，求 ， 满足的条件；若不存在， 请说明理由.
(3)若 为 最小的零点，证明:当 时， .
参考答案
1. B 全集 ，集合 ，所以 . 故选 B.
2. D 由题意知, ,则 ,故复数 在复平面内对应的点为 ,在第四象限,故选 D.
3. A 由 ,得 ,又 ,且向量 的夹角为 ，所以 ，解得 (负值舍)，故选 A.
4. D 直线 与直线 的方程相减,可得 ,
把点 代入,可得 ,所以 ,又 是线段 的中点,
所以线段 的垂直平分线的方程是 ,即 ,故选 D.
5. 因为 在 上单调递增, 在 上单调递增, 所以当 时, 单调递增,则 . 又函数 的值域为 , 所以当 ，函数 的值要取到 内的所有实数，所以 . 当 ,即 时,函数 在 上单调递增， 时， , 当 时, ,即 ,所以 ,即实数 的取值范围是 . 故选 B.
6. C . 故选 C.
7. A 假设 4 个单词分别是甲、乙、丙、丁，正确的顺序为甲乙丙.
第一类,选出的 3 个单词不包括丁,则符合要求的情况有乙丙甲,丙甲乙,共 2 种;
第二类,选出的 3 个单词包含丁,则从剩下的 3 个单词选两个有 种情况,不妨设选出的单词为甲,乙,则符合要求的情况有乙甲丁,丁甲乙,乙丁甲,共 3 种,则共有 (种).
则符合要求的情况共有 (种)，全部情况为 (种)，则 3 个空格全部选错的概率是 . 故选 A.
8. C 设 为 的中点,连接 ， . 因为 为等边三角形，所以 ,又 ,且 平面 ,所以 平面 . 又 平面 ,即 ,
由题意易知, ,又 ,所以 . 因为 2,所以 ,即 ,又 平面 ,所以 平面 ,而 平面 ,则平面 平面 .
又 ,则 ,故 为等腰直角三角形.
综上,四面体 的球心 为 的中心,即在线段 靠近 的三等分点处.
过点 作 交 于点 ,连接 ,易知 即为二面角 的平面角.
在 Rt 中, ,可求得 ,又 , 所以 ,故选 C.
9. 因为 ,所以 ,故 A 正确;
由 可得 ,故 正确;
由 可得 ,故 错误;
因为 ,故 D 错误.
故选 AB.
10. ABD 因为当 运动到点 时, ,所以 ,故 A 正确；
抛物线 ，其焦点 ，圆 的圆心 ，半径为 ,
设 ,则 ,解得 ,则 , ,
故直线 的方程为 ,因为圆心 到直线 的距离为
所以直线 与圆 相切,故 正确;
由上可知, ,即 的最小值为 4,所以 的最小值为 ,故 错误;
假设存在直线 使得 两点关于 对称,
设直线 ,由 消去 得, ,
则 ,解得 ,又 , 则 ,解得 ,符合题意,故 D 正确.
故选 ABD.
11. BCD 根据题意 ,且 , 令 ,则 ,故 ,
故 为奇函数，故 A 错误；
由 为奇函数可得 ,令 ,则 ,
则 ,故 ,
即 ,因此 ,故 B 正确;
由 ,得 ,
又 ,所以 ,
故 ,
故 的周期 ,故 正确;
令 ,则 ,即 .
令 ,则 ,
则 ,
故 ,故 正确.
故选 BCD.
12.2 因为 展开式的通项公式为 ,
所以 展开式中,含 的项的系数为 .
13. 31 由题意,设等比数列的公比为 ,则 , 即 ,所以 ,所以 .
又 ,所以 . 所以 .
14. 如图,由题意可知 ,则 ,设 ,则 ,于是tan
即 ,则 ,解得离心率 .
15.(1) 由题设知 ,即 ,即 .
因为 ,
所以 ,
即 ,所以 , 3 分又 ,
所以 或 ,所以 (舍) 或 , 因为 ,所以 ,则 . 6 分
(2)方法一:设 ，则 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
在 中,由余弦定理可得 ,
由 ,可得 , 9 分在 中,由余弦定理可得 ,
联立解得 ,所以 的周长为 . 13 分
方法二: 设 ,则 ,即 ,
故 ,故 ,
所以 ,可得 , 9 分在 中,由余弦定理可得 ,
联立解得 ,所以 的周长为 . 13 分
16.(1)证明: 取 的中点 ,连接 .
易知 ,且 ,又 ,且 ,故 ,且 ,
则四边形 为平行四边形,则 .
又 平面 平面 ,故 平面 . 6 分
(2)取 的中点 的中点 ，连接 ，则 . 又平面 平面 ,且交线为 ,故 平面 ,
此时, 两两垂直,以 为原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 分则 ,
由 为 的中点,得 ,
则 . 10 分
设平面 的法向量 ,
则 即 取 ,则 . 12 分
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 , 14 分所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
17.(1) 甲三次投篮都命中的概率为 , 2 分
甲三次投篮只命中两次且总分不低于 4 分的概率为
4 分
所以甲未获得奖品的概率为 . 6 分
(2)设甲的投篮次数为 ，则 的分布列为
8 分
则 , 10 分令 ,则 ,
所以 ,其中 随 的增大而减小.
12 分
当 时, ,
当 时, ,
所以 ,
故当 时,甲投篮次数的期望最大. 15 分
18.(1)因为 ，所以 ，
由题得 .
联立 解得
所以椭圆 的标准方程为 . 4 分
(2)当直线 的斜率为 0 时,不合题意. 5 分
当直线 的斜率不为 0 时,设 ,直线 的方程为 .
( i ) 由 得 ,
所以
所以 ,
所以 . 8 分
因为 ,所以直线 的方程为 ,
代入 的标准方程中得 ，所以 ， 9 分
所以
当且仅当 ,即 时等号成立,此时 的最小值为 .
所以 的最小值为 . 11 分
(ii) 点 在以 为直径的圆外,理由如下:
因为 为 的中点,所以 ,
又 ,所以 ,
所以 ,所以直线 的方程为 , 14 分
令 ,得 ,由 可知 ,
所以
所以 为锐角,所以点 在以 为直径的圆外. 17 分
19.(1) 当 时, ,则 ,
记 ,则 ,当 时, ,所以 在 上单调递增,所以 ,
则 ,即 在 上单调递增. 4 分
(2)不存在 ， ，使得 为 的极值点. 理由如下:
当 时， 无意义；
当 时，若 为 的极值点，
则 ,即 ,即 , 6 分
所以 .
又 ,
令 ,则 ,
所以当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增.
所以 ,所以 恒成立,
所以 单调递增,故 不是极值点,
综上所述，不存在 ， ，使得 为 的极值点. 9 分
(3)证明:当 时， ，则 ,所以 .
要证: 当 时, ,
当 时, ,又 ,令 ,则 1,当 时, ,所以 在 上单调递增,
所以 ,所以 .
又 , 11 分
令 ,则 ,当 时, ,所以 在 上单调递减,又 ,
则存在 ,使得 ,则 在 上单调递增,在 上单调递减，且 ，
故 . 13 分
只要证: ,
.
记 ,只需证: .
由于 ,
当 时, ,则 在 上单调递减,
于是只需证: ,
又 ,命题得证. 17 分

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