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九年级数学
注意事项:
1.你拿到的试卷满分为 150分,考试时间为120分钟.
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.
3.请务必在“答题卷”上答题,在“试题卷”上答题是无效的.
4.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
每小题都给出A,B,C,D四个选项,其中只有一个是符合题目要求的.
1.-20的相反数是
A.-20 B.20 C.- D.
2.中国数字经济正迅速发展,成为全球经济发展的新引擎,据统计2023年我国数字经济规模已达561000亿元,数据“561000亿”用科学记数法表示正确的是
A.5.61×105 B.5.61×106 C.5.61×1012 D.5.61×1013
3.将一副三角板按照如图所示的方式摆放,其中AD∥BC,F在AD上,则∠ACF的度数为
A.15° B.10°
C.20° D.25°
4.下列计算正确的是
A.a2+a3=a5 B.(-a2)3=-a6
C.(-2a)3=-6a3 D.a2·a3=a6
5.不等式组的最小整数解是
A.-1 B.1 C.2 D.0
6.下图是一个几何体的三视图,根据图中标注的数据,可求得这个几何体的体积为
A.48π
B.36π
C.24π
D.32π
7.如图,点A、B、C、D在☉O上,点A、C在直径同侧,若∠D=30°,AB=AC,则∠BAC的大小为
A.90° B.100°
C.120° D.135°
8.酱香拿铁咖啡为了促进消费,在一箱6瓶的酱香拿铁咖啡中设置2瓶有奖,在该瓶的瓶盖内印有“奖”字,明明买了一箱,连续打开2瓶均未能中奖,如果在剩下的咖啡中任意拿出2瓶,那么他拿出的2瓶都中奖的概率是
A. B. C. D.
9.如图,C是以AB为直径的半圆O的中点,P是直径AB上的动点,连接BC,PC,将射线PC绕点P顺时针旋转45°,交BC于点D,设AP=x,CD=y,则y与x之间的函数关系图象大致是
10.如图,在△ABC中,AB=BC,D为AB上一点,E为CD上一点,且∠DCB+∠EAB=90°,∠DEB=∠ABC,若CE=2,BE=3,则线段BC的长为
A. B.
C.4 D.5
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.因式分解:x2-4=　　　　.
12.已知x-=5,则3-x2+x的值为　　　　.
13.一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=的图象交于A(1,4),B(4,1)两点,则当y1>y2时,x的取值范围是　　　　.
14.如图,正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB分别交于点M,N.
(1)AN=　　　　.
(2)△MND的面积是　　　　.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.先化简,再求值:÷1+,其中a=-2.
16.某乡镇为了建设美丽乡村,改善人民的居住环境.计划购买银杏和香樟两种树木作为行道树,两种树苗共种植6000棵.经调查,这批树苗的成活率为93%,若银杏和香樟两种树苗的成活率分别为90%和95%,求购买银杏树苗的数量.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形.
(1)若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称,画出△A1B1C1.
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△AB2C2.
18.下列每个图形都是由一些黑点和一些白点按一定的规律组成的.
(1)根据规律,第4个图中有　　　　个白点,第n个图形中,白点和黑点共有　　　　(用含n的式子表示,n为正整数)个.
(2)有没有可能黑点比白点少2025个 如果有,求出此时n的值;如果没有,请说明理由.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,太阳光线AD与水平地面所成的夹角为37°,学校旗杆AB在水平地面上的影长BC为4米,在倾斜角为37°的斜坡上的影长CD为2米,求旗杆AB的高度.(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
20.如图,AC是☉O的直径,BC是☉O的切线,E为☉O上一点,AE的延长线交CB于点B,F为的中点,OF的延长线交CB于点D,连接EC交OD于点G.
(1)求证:CD=BD.
(2)若AC=12,CD=8,求GF的长.
六、(本题满分12分)
21.青少年不仅要学习好,还要关注时事热点,关心国家的现状和未来.某校为提高学生对时事热点的关注度,特举办了一场“中国事,我知道”的问卷测试.从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩(满分10分,6分及以上为合格,9分及以上为优秀)进行整理、描述和分析,部分信息如下:
七、八年级学生测试成绩频数分布表
5 6 7 8 9 10
七年级 3 1 7 3 4 2
八年级 2 4 4 5 2 3
分析数据,得到以下统计量
年级 平均数 中位数 众数 不合格率
七年级 a 7 7 15%
八年级 7.5 7.5 b c
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表格中a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　.
(2)若该校七、八年级各有500名学生参加此次测试,请估算两个年级学生测试成绩达到优秀(9分及以上)的人数.
(3)结合上表中的统计量,判断哪个年级的学生成绩较好,并说明理由.(至少从两个角度说明推断的合理性)
七、(本题满分12分)
22.如图,在菱形ABCD中,E为CD的中点,点F在CB的延长线上,∠EAF=∠BAD,EF交AB于点G,H为GE上一点,且∠AHF=∠D.
(1)求证:AE2=HE·EF.
(2)若∠D=60°,EF·HE=27.
①求BG的长;
②连接CH,求证:CH⊥EF.
八、(本题满分14分)
23.在平面直角坐标系中,一次函数y=x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=ax2+bx+c经过A,B(1,0),C三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)当m-2≤x≤m+1时,y先随x的增大而增大,后随x的增大而减小,求m的取值范围.
(3)P为抛物线上一动点,在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形且A,B,Q三点不共线 若存在,求出△ABQ的面积;若不存在,说明理由.
参考答案
1.B　2.D　3.A　4.B　5.D　6.C　7.C　8.D
9.B　提示:如图,连接AC.
∵AB是直径,∴∠ACB=90°.
∵C是半圆O的中点,∴CA=CB,∴∠CAB=∠CBA=45°,
∵∠CPB=∠CAP+∠PCA=∠CPD+∠DPB,∠CPD=∠CAP=45°,
∴∠ACP=∠BPD,∴△ACP∽△BPD,∴=,
设BC的定值为a(a>0),则AC=BC=a,AB=a,BP=a-x,
∴=,∴BD=,
∴y=CD=BC-BD=a-=x2-x+a.
∵>0,∴y与x之间的函数关系图象为开口向上的抛物线.
∵(-)2-4××a=-2<0,∴抛物线与x轴没有交点,图象如选项B所示.
10.A　提示:∵∠DEB=∠DCB+∠EBC,∠DEB=∠ABC=∠ABE+∠EBC,
∴∠ABE=∠DCB,
又∵∠DCB+∠EAB=90°,
∴∠ABE+∠EAB=90°,
∴∠AEB=90°,
过点B作BF⊥CD于点F,
∴∠BFC=90°,
在Rt△AEB与Rt△BFC中,
∴Rt△AEB≌Rt△BFC(AAS),
∴CF=BE=3,EF=CF-CE=3-2=,
BF2=BE2-EF2=24,
BC===.
故选A.
11.(x+2)(x-2)　12.　13.x<0或114.(1)　(2)
提示:(1)易知△BFN∽△DAN,∴===,由此得AN=2NF,∴AN=AF=.
(2)连接DF,在Rt△ABF中,∵cos∠BAF==.由题意可知△ADE≌△BAF,∴∠AED=∠AFB,∠AME=180°-∠BAF-∠AED=180°-∠BAF-∠AFB=90°,
AM=AE·cos∠BAF=,MN=AN-AM=AF-AM=,==.
又∵S△AFD=×2×2=2,∴S△MND=×2=.
15.解:原式=÷
=× 4分
=. 6分
当a=-2时,原式==-. 8分
16.解:设购买银杏树苗x棵.
由题意,得x+(6000-x)=×6000, 4分
解得x=2400.
答:购买了银杏树苗2400棵. 8分
17.解:(1)如图,△A1B1C1为所求. 4分
(2)如图,△AB2C2为所求. 8分
18.解:(1)16;n2+2n-1. 4分
(2)有可能. 5分
由题意,得n2=2n-1+2025,
解得n1=46,n2=-44.
∵n是正整数,
∴n=46,
∴黑点比白点有可能少2025个. 8分
19.解:如图,作DE⊥BC,DF⊥AB,垂足分别为点E,点F.
∵在Rt△CDE中,CD=2米,
∴DE=CD·sin∠DCE=2×sin 37°≈2×0.6=1.2(米), 2分
EC=CD·cos∠DCE=2×cos 37°≈2×0.8=1.6(米), 4分
∴DF=EC+CB=1.6+4=5.6(米),BF=DE=1.2(米), 6分
由题意知,∠ADF=37°,
在Rt△ADF中,∵tan∠ADF=,∴tan 37°=, 8分
∴AF≈5.6×0.75=4.2(米),
∴AB=AF+BF=4.2+1.2=5.4(米).
答:旗杆的高约为5.4米. 10分
20.解:(1)证明:∵AC为☉O的直径,
∴OA=OC,∠AEC=90°.
∵F为的中点,∴OF⊥CE,
∴OF∥AB,
∴CD=BD. 5分
(2)∵BC为☉O的切线,AC为☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵AC=12,CD=8,
∴OC=6,∴OD=10.
∵F为的中点,
∴OD⊥CG,∴∠OCG+∠COG=∠CDO+∠COG,
∴∠OCG=∠CDO,
∴sin∠OCG=sin∠CDO,
∴=,∴=,
∴OG=,∴GF=OF-OG=6-=. 10分
21.解:(1)7.5;8;10%. 3分
(2)由表格可知七、八年级学生测试成绩达到优秀的分别有6人、5人,
∴500×+500×=275(人),
∴七、八年级学生测试成绩达到优秀的约有275人. 8分
(3)八年级学生的成绩较好. 9分
理由:∵七、八年级学生测试成绩的平均数相等,八年级学生测试成绩的中位数大于七年级学生测试成绩的中位数,八年级学生测试成绩的众数大于七年级学生测试成绩的众数,八年级学生测试成绩的不合格率小于七年级学生测试成绩的不合格率,∴八年级学生测试成绩较好. 12分
22.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠D+∠BAD=180°.
∵∠AHF=∠D,∠EAF=∠BAD,
∴∠EAF=∠AHE.
∵∠AEH=∠FEA,∴△AHE∽△FAE,
∴=,∴AE2=HE·EF. 4分
(2)①∵∠D=60°,E为CD的中点,
∴AE⊥CD,∴∠EAD=30°.
∵EF·HE=27,
∴AE2=27,∴AE=3,∴DE=CE=3,AD=6.
∵∠ABC=∠D=60°,∠BAF=∠DAE=30°,
∴∠AFB=30°,∴FB=AB=BC.
∵BG∥CE,∴BG=CE=. 8分
②证明:如图,连接AC交EF于点O,
可知∠EAH=∠AFE,∠EAC=∠AFB=30°,
∴∠HAC=∠CFO.
∵∠AOH=∠FOC,△AHO∽△FCO,
∴=,∴=.
∵∠AOF=∠COH,∴△AOF∽△HOC,∴∠CHF=∠OAF.
∵∠BAD=120°,∴∠CAB=60°,∴∠OAF=90°,
∴∠CHF=90°,即CH⊥EF. 12分
23.解:(1)令x=0,得y=4,∴点C的坐标为(0,4).
令y=0,得x=-3,∴点A的坐标为(-3,0). 2分
∵抛物线y=ax2+bx+c经过A,B(1,0),C三点,
∴解得
∴抛物线的解析式为y=-x2-x+4. 4分
(2)∵A(-3,0),B(1,0),
∴抛物线的对称轴为直线x=-1.
∵a=-<0,
∴在对称轴左侧,y随x的增大而增大,在对称轴右侧,y随x的增大而减小.
∵当m-2≤x≤m+1时,y先随x的增大而增大,后随x的增大而减小,
∴解得-2(3)存在点Q.设Pp,-p2-p+4,Q(-1,q).
①当AC为平行四边形的边时,
若四边形APQC是平行四边形,如图1所示.
图1
∵A(-3,0),C(0,4),
∴-3-1=0+p,∴p=-4,
∴P-4,-,
∴-+4=0+q,∴q=-,
∴点Q的坐标为-1,-.
又∵AB=4,∴此时△ABQ的面积为×4×=. 10分
若四边形AQPC是平行四边形,如图2所示.
图2
∵A(-3,0),C(0,4),
∴-3+p=0-1,∴p=2,
∴P2,-,
∴-+0=4+q,∴q=-,
∴点Q的坐标为-1,-.
又∵AB=4,∴此时△ABQ的面积为×4×=. 12分
②当AC为平行四边形的对角线时,如图3所示.
∵A(-3,0),C(0,4),
图3
∴-3+0=p-1,∴p=-2,
∴P(-2,4),
∴4+0=4+q,∴q=0,
∴点Q的坐标为(-1,0),
∴此时A,B,Q三点共线,不符合题意.
综上所述,存在符合题意的点Q,且△ABQ的面积为 或 . 14分

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