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21.3.2 菱形
课时1 菱形的性质
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
思考 如图①，我们知道当平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形. 如图②，如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变，仅改变边的长度，让它有一组邻边相等，如图所示，这个特殊的平行四边形叫什么呢？
图①
图②
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
菱形也是常见的几何图形.有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架等都有菱形的形象.你还能举出一些例子吗
探究1 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.但由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢
四边形 平行四边形 菱形
边
角
对角线
对边平行且相等
对边平行，四条边都相等
对角相等
对角相等
对角线互相平分
对角线互相垂直且平分
你能证明这些猜想吗？
每一条对角线平分一组对角
猜想1：菱形的四条边都相等.
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，
求证：AB = BC = CD =AD.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC(平行四边形的对边相等)
又∵AB=AD，
∴AB = BC = CD =AD.
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，点O是BD的中点，
∴AO⊥BD，即AC⊥BD.
已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.
求证： (1)AC⊥BD； (2)AC平分∠BAD和∠BCD， BD平分∠ABC和∠ADC.
猜想2：菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角.
已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.
求证： (1)AC⊥BD； (2)AC平分∠BAD和∠BCD， BD平分∠ABC和∠ADC.
猜想2：菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角.
证明：(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，BO=DO，
又∵AO=AO，∴△AOB△AOD(SSS)，
∴∠BAO=∠DAO，同理可证∠BCO=∠DCO，
即AC平分∠BAD和∠BCD，
同理可证：BD平分∠ABC和∠ADC.
菱形的四条边都相等.
矩形的特有性质1：
数学语言：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，
∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB.
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
矩形的特有性质2：
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 在剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形（如图）.
观察上面的操作，你知道其中的道理吗？菱形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴.
菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
探究2 比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等三角形. 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积？
F
M
N
E
G
A
B
C
D
O
探究2 比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等三角形. 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积？
过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
A
B
C
D
E
O
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢？尝试归纳你的发现.
A
B
C
D
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD
O
归纳：菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD. 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
解：设AC，BD相交于点O.
∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC= ×60°=30°.
在Rt△ABO中，AO= AB= ×20=10，
BO===10.
∴花坛的两条小路长 AC=2AO=20 m，BD=2BO=20≈34.64(m).
花坛的面积S菱形ABCD=4×S△ABO = 4×AO·BO=200≈346.4(m2).
你还有其他求花坛面积的方法吗？
已知菱形的两对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长和面积.
解：如图，∵四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，AO=AC=4，BO=BD=3，
在Rt△AOB中，AB===5，
∴C菱形ABCD=4AB=4×5=20，
S菱形ABCD=AC·BD=×6×8=24.
菱形及其性质 定义 的平行四边形叫作菱形.
性质 边 菱形的 ；
角 菱形的 ；
对角线 菱形的 ，
并且 .
相关性质 菱形的面积等于 .
有一组邻边相等
四条边都相等
对角相等
两条对角线互相垂直且平分
每一条对角线平分一组对角
对角线乘积的一半
1.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=5．若∠ABD=30°，则AC的长是（ ）
A．4 B．5
C．6 D．10
B
2.如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（ ）
A．2 B．6 3
C．2 D．6 6
D
3.如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A． B．6
C． D．12
A
4.如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm.
求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积.
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AED=90°，DE=BD=×10=5(cm).
∴AE===12(cm).
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
(2)菱形ABCD的面积为BD·AC=×10×24=120(cm2).

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