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浙教版数学八年级下册 4.2 平行四边形及其性质 三阶训练
一、选择题
1．（2025八下·广州期中）如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE：EF：FB为(　　)
A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DCE=∠BEC，
∵CE是∠DCB的平分线，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠CEB=∠BCE，
∴BC=BE=4，
∵F是AB的中点，AB=6，
∴FB=3，
∴EF=BE﹣FB=1，
∴AE=AB﹣EF﹣FB=2，
∴AE：EF：FB=2：1：3，
故答案为B．
【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及线段中点的性质。利用平行四边形对边平行的性质，可得，因此，结合CE是平分线的定义，能推出，进而得到，根据等角对等边可确定；再根据F是AB中点且，求出，接着通过线段的差求出，，最后计算得出。
2．（2025八下·柳州期中）如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，，
∵的中点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得，，，，继而利用勾股定理得，结合已知，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，，，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
3．（2025八下·永康期末）如图，在□ABCD中，E，F分别是AD和BC的中点，P是AB上的一个动点，从点A运动到点B。在点P的运动过程中，APED与APFC的面积之和（　　）
A．不变 B．变小
C．变大 D．先变大再变小
【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AD和BC的中点，
∴，，
∴
∵，
∴
∴，
∴△PED与△PFC的面积之和不变，
故答案为：A.
【分析】由三角形的面积公式得到，而，即可得到，即可得到答案.
4．（2025八下·饶平期末） 平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点B的坐标为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行线的性质；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】
解：过点B作BF⊥OA，交x轴于点F，如下图：
∵四边形ABCO是平行四边形
∴AB∥OC，AB=CO=
∴∠BAF=∠OAC=45°
∵BF⊥OA
∴∠BFA=90°
∴∠ABF=45°
∴∠ABF=∠BAF
∴AF=BF=3
∵OA=
∴OF=OA+AF=+3
∴点B的坐标为（+3，3）
故答案为：C
【分析】
本题考查坐标与图形性质，平行线的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，熟知平行四边形的性质是解题关键.
过点B作BF⊥OA，交x轴于点F，根据平行四边形的性质：对边平行且相等可知：AB∥OC，AB=CO=，根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等可知：∠BAF=∠OAC=45°，根据垂直的定义可知：∠BFA=90°，再根据直角三角形的性质：两锐角互余可知：∠ABF=45°等量代换得：∠ABF=∠BAF，根据等腰三角形的性质：等角对等边可知：AF=BF=3，最后根据线段的和差运算可知：OF=OA+AF=+3，由此可得出点B的坐标为(+3，3)，由此可得出答案.
5．（2025八下·宝安月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（0，3），D（1，0），点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F：②分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G；③作射线DG，交边AB于点H：则点H的坐标为（　　）
A．（-3，3） B．（，3） C．（3，3） D．（-1，3）
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解： ∵A（0，3），D（1，0），
∴OA=3，OD=1，
∵∠AOD=90°，
∴AD=，
∵四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，
∴AB∥x轴，
由作图得DH平分∠ADC，
∴∠ADH=∠CDH，
∵AB∥CD，
∴∠AHD=∠CDH，
∴∠ADH=∠AHD，
∴AH=AD=
∵AH∥x轴，
∴H（，3），
故答案为：B.
【分析】根据角平分线和AB∥DC，可推出AD=AH，利用勾股定理求出AD的长度，从而表示H坐标.
6．（2025八下·天台期末） 如图，在中，对角线AC，BD交于点O，点E为OD上一点，若，，且，，则的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ABCD为平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵OA：OB=3：4，OE：ED=3：1
∴OA=OE
∴OA=OE=OC
∴AE⊥EC
∴
∵OE：ED=3：1
∴
∴
故答案为：B .
【分析】由比例知OA=OE=OC即知△AEC为直角三角形，求出△AEC的面积可得△ACD的面积，即可得平行四边形ABCD的面积.
7．（2025八下·宁波期中）如图，在中，以和为斜边分别向内作等腰和等腰，延长和分别交和于点和，直线分别交和于点和.若四边形是正方形，的面积为，下列哪条线段的长度不能用来表示（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设AH=2a， HG=b，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵△BCE和△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠AGD =∠BEC = 90°，
∠ADG =∠BCE =∠GAD =45°，
∴CE=AG，
∵四边形EFGH是正方形，
∠FHG=∠HFG=45°=∠AHI=∠CFJ，
∴△AHI和△CFJ都是等腰直角三角形，CF= AH =2a， ∠DIF =90°，
∵2a+b=AG，
∴平行四边形ABCD的面积
故答案为：A.
【分析】设AH =2a，HG=b， 由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可求FJ，FH，HI的长， 由等腰直角三角形的性质可求AD的长，即可求解.
8．（2025八下·射洪期中）如图，在中，、相交于点，若，，与的周长差为（　　）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵△OAD的周长=OA+AD+OD，△AOB的周长=OA+AB+BO，
∴△AOD与△AOB的周长差为OA+AD+OD-(OA+AB+BO)=AD-AB，
∵AB=8cm，AD=10cm，
∴△AOD与△AOB的周长差为：10-8=2cm，
故答案为：C．
【分析】
本题主要考查平行四边形的性质和三角形周长的计算，熟知平行四边形的性质是解题关键.根据平行四边形的性质：对角线互相平分可知：OB=OD，再根据三角形的周长计算公式=三边之和，代入数据可得：△OAD的周长=OA+AD+OD，△AOB的周长=OA+AB+BO；通过对两个三角形周长表达式作差，利用平行四边形性质进行化简，进而求出周长差，代入数据即可得出答案.
9．（2025八下·杭州期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接，，
四边形是平行四边形，
的面积的面积，
四边形是平行四边形，
，
，
，
的面积的面积，
，
四边形是平行四边形，
的面积的面积，
的面积的面积，
∵四边形面积为，
的面积为，
故选：B．
【分析】
连接，，根据平行四边形的性质可得，再利用平行四边形的性质可得作，从而可得，进而可得=，然后再根据作，可证四边形是平行四边形，从而可得，进而可得．
10．（2025八下·宁波期末） 如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，，的平分线交BC于点E，连结OE.若，则下列结论：①；②；③，正确的有（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°+30°=90°
∴∠ACB=90°-60°=30°，
∴，故①结论正确；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，
∵∠ACB=∠CAE，
∴OE⊥AC，故②结论正确；
∵BD平分AC，
∴BD不能平分AE，
∴∠OBC≠30°，即∠OBC≠∠ACB
∴OB≠OC，故③结论错误；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的性质求出∠BAE，得到∠BAC=90°，得到∠ACB=30°，根据含30°角的直角三角形的性质得到；根据等腰三角形的性质得到OE⊥AC；根据题意得出∠OBC≠30°，得到OB≠OC.
二、填空题
11．（2025八下·瑞安期中） 如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DO⊥CE于Q，则DQ：DP=　 　.
【答案】或：
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
根据三角形的面积和平行四边形的面积得：，
即，
∴AF×DP=CE×DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵∠DAB=60°，
∴∠CBN=∠DAB=60°，
∴∠BFN=∠MCB=30°，
∵AB=6，BC=4，AE：EB=1：2，F是BC的中点，
∴BF=2，BE=4，BN=1，BM=2，
由勾股定理得：，，
，
，
∴
∴
故答案为：或：.
【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出，求出AF×DP=CE×DQ，根据勾股定理得到，，代入求出即可.
12．已知直线y=2x+4 与x轴，y轴分别交于点A，B，y轴上一点C 的坐标为(0，2)，P 是平面直角坐标系中的任意一点.若以点 P，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点 P 的坐标为　 　.
【答案】(-2，-2)或(-2，2)或(2，6)
【知识点】平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：直线y=2x+4，当y=0时，x=-2，当x=0时，y=4；
B(0，4)，
，
∵点C的坐标为(0，2)，
当AC为对角线时，点P的坐标为((-2，-2)；
当AB为对角线时，点P的坐标为((-2，2)；
当BC为对角线时，点P的坐标为(2，6).
综上所述：以P、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，则点P的坐标为((-2，-2)或(-2，2)或(2，6).
故答案为：(-2，-2)或(-2，2)或(2，6).
【分析】由一次函数的解析式求出点A和B的坐标，得出OA、OB、BC， 分别求出以AC、AB、BC为对角线时点P的坐标即可.
13．（2025八下·舟山期末） 如图，在中，作点关于的对称点，连结交于点，连结，若是等腰直角三角形，则　 　；与的面积之比是　 　．
【答案】；
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：延长EA交BC于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAC=∠ACB，
∵点B关于AC的对称点是E
∴∠ACB=∠ACE，
∴∠FAC=∠FCA，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=∠AFE=∠FAC+∠FCA=45°，
∴∠ACF=22.5°，FA=FC，
∴∠ACB=22.5°，
∵∠CBA=∠CEA=45°
∴∠D=∠ABC=45°，
∵∠AFE=∠DFC=45°，
∴CF=CD，∠FCD=90°，
设AB=CD=CF=m，
∵∠EAF=∠AHC=90°，
∴∠AHB=90°，
∴∠ABH=∠BAH=45°，
∴，
∴
故答案为：22.5°；.
【分析】延长EA交BC于点H.证明∠FAC=∠FCA=∠ACB=22.5°，设AB=CD=CF=m，利用三角形面积公式可得结论.
14．（2025八下·中山期末）如图，在□ABCD中，AB=4，BC=6，点E为直线BC上一动点，连接AE，DE，若∠ABC=45°，则AE+DE的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】 【解答】解：作点A关于直线BC的对称点A'，连接AA'，交AC于点H，连接DA'，交BC于点E，此时AE+DE的长度最小，
∵点A和点A'关于BC对称，
∴AE=A'E，AH⊥BC，
∴AE+DE=A'E+DE=A'D
∵∠ABC=45°，AB=4，
∴AH=，
∴AA'=，
∵∠A'AD=90°，
∴A'D=.
即 AE+DE的最小值为 ：.
故答案为：.
【分析】作点A关于直线BC的对称点A'，连接AA'，交AC于点H，连接DA'，交BC于点E，此时AE+DE的长度最小，且根据对称性质得出最小值为线段AA'的长度，然后根据勾股定理求出AA'的长度即可。
15．（2025八下·成都期末）如图，□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，BM，CM分别平分∠ABC，∠BCD，连接OM，若OM=1，AD=AB，则□ABCD的周长为　 　.
【答案】20
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：延长CM交AB于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC和BD相交于点O，
∴BC=AD，CD=AB，CD//AB，CO=AO，
∴∠DCN=∠BNM，
∵BM，CM分别平分∠ABC，∠BCD，
∴∠CBM=∠NBM，∠DCN=∠BCM
∴∠BCM=∠BNM，
在△BCM和△BNM中，
∴△BCM △BNM(AAS)，
∴CM=NM，BC=BN，
∴BN=AD，
∵OM=1，
∴AN=2OM=2，
∵AB-BN=AN，
∴AB-AD=2，
∵，
∴，
∴CD=AB=6，
∴BC=AD=4，
∴AB+BC+CD+AD=2AB+2AD=2×6+2×4=20，
∴的周长为20，
故答案为：20.
【分析】延长CM交AB于点N，由平行四边形的性质得CD//AB，CO=AO，则∠DCN=∠BNM，由BM，CM分别平分∠ABC，∠BCD，得∠CBM=∠NBM，∠DCN=∠BCM，可证明△BCM △BNM，进而即可求得答案.
16．（2025八下·诸暨期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=BD，∠BAD=45°，AD=4，过点B作BE⊥AD于点E，点F为BC上一动点，连接EF，取EF中点G，连接AG，BG，DG，若△BDG面积为△ABG面积的，则BF的长度是　 　.
【答案】或
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=BD，BE⊥AD，AD=4，
∴AE=DE=AD=2.（"三线合一"）
又∵∠BAD=45°，∠AEB=90°，
∴BE=AE=2.
设点A到BG的距离为h1，点D到BG的距离为h2，
∵G是EF的中点，
∴S△ABG=BG×h1，S△BDG=BG×h2.
又∵S△BDG=S△ABG，
∴BG×h2=BG×h1，即h2=h1.
又∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BE⊥AD，
∴BE⊥BC，
∴h1+h2=BE=2.
∴h1=，h2=.
∵G是EF的中点，
∴S△ABG=(S△ABE+S△ABF)，S△BDG=(S△BDE+S△BDF)，
又S△ABE=×AE×BE=×2×2=2，S△BDE=×DE×BE=×2×2=2，
S△ABF=×BF×BE=×BF× 2=2=BF，S△BDF=×BF×BE=×BF× 2=BF，
∴S△ABG=(2+BF)，S△BDG=(2-BF).
又∵S△BDG=S△ABG，
∴( 2-BF)=×( 2+BF)，解得BF=.
同理，假设点A到BG的距离h1是点D到BG的距离h2的（即h1=h2），解得BF=.
故答案为：或.
【分析】先根据等腰三角形 “三线合一” 的性质和结合等腰直角三角形，求出AE、DE、BE的长度；再根据三角形的面积公式，分析△ABG与△BDG的面积关系（第一种情况：h2=h1），再结合已知条件S△BDG=S△ABG，求出BF的长为；最后同理求出BF的长为；综上，即可得出答案.
三、解答题
17．在一次数学探究活动中，小王用两条直线把 ABCD 分割成四部分，使含有一对对顶角的两个图形全等.
（1）根据小王的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有　 　组；
（2）请你在图的平行四边形中画出三组满足小王分割方法的直线；
（3）由上述操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律
【答案】（1）无数
（2）解：答案不唯一，如图.
（3）解：这两条直线都经过平行四边形的对角线的交点
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】（1）解： 根据小王的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有无数组，
故答案为：无数.
【分析】(1) 根据平行四边形的中心对称性解答即可；
(2) 分别连接四个平行四边形的对角线AC、BD，记对角线交点为O，得出第一个图中AC和BD两条直线是符合题意的，故其余三个平行四边形中分别作经过对角线交点O的任意两条直线EF、GH，解答即可；
(3) 结合(2)的答案，分析做出的两条直线的特点，找到它们的共同点即可使问题得解.
18．（2025八下·深圳期中）如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．轴与直线交于点D．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）点P在直线上，且的面积为，
①求出点P的坐标；
②点Q为平面内一点，当点P在直线下方时，以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合要求的点Q坐标．
【答案】（1）解：对于，令，则，令，解得，
故点、的坐标分别为、；
（2）解：①∵点C与点A关于y轴对称，，
∴，
设直线交轴于点，
设，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入，则，
∴，
则的面积，
即，
解得：或，
∴点的坐标为或；
②或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）②由（1）（2）知，，，，设点，
∵点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴①Ⅰ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点，
Ⅱ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点；
Ⅲ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴，
综上所述，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点坐标为或或．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征分别令x=0，y=0代入解析式即可求出答案.
（2）①根据关于y轴对称的点的坐标特征可得，设直线交轴于点，设，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，P坐标代入解析式可得直线的解析式为，根据y轴上点的坐标特征可得，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
②由（1）（2）知，，，，设点，根据平行四边形性质分情况讨论：以为对角线，、以为对角线，以为对角线，根据线段中点坐标公式建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：对于，令，则，令，解得，
故点、的坐标分别为、；
（2）解：①∵点C与点A关于y轴对称，，
∴，
设直线交轴于点，
设，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入，则，
∴，
则的面积，
即，
解得：或，
∴点的坐标为或；
②由（1）（2）知，，，，设点，
∵点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴①Ⅰ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点，
Ⅱ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点；
Ⅲ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴，
综上所述，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点坐标为或或．
1 / 1浙教版数学八年级下册 4.2 平行四边形及其性质 三阶训练
一、选择题
1．（2025八下·广州期中）如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE：EF：FB为(　　)
A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
2．（2025八下·柳州期中）如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·永康期末）如图，在□ABCD中，E，F分别是AD和BC的中点，P是AB上的一个动点，从点A运动到点B。在点P的运动过程中，APED与APFC的面积之和（　　）
A．不变 B．变小
C．变大 D．先变大再变小
4．（2025八下·饶平期末） 平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点B的坐标为（　　）.
A． B． C． D．
5．（2025八下·宝安月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（0，3），D（1，0），点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F：②分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G；③作射线DG，交边AB于点H：则点H的坐标为（　　）
A．（-3，3） B．（，3） C．（3，3） D．（-1，3）
6．（2025八下·天台期末） 如图，在中，对角线AC，BD交于点O，点E为OD上一点，若，，且，，则的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．（2025八下·宁波期中）如图，在中，以和为斜边分别向内作等腰和等腰，延长和分别交和于点和，直线分别交和于点和.若四边形是正方形，的面积为，下列哪条线段的长度不能用来表示（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·射洪期中）如图，在中，、相交于点，若，，与的周长差为（　　）．
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2025八下·杭州期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·宁波期末） 如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，，的平分线交BC于点E，连结OE.若，则下列结论：①；②；③，正确的有（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题
11．（2025八下·瑞安期中） 如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DO⊥CE于Q，则DQ：DP=　 　.
12．已知直线y=2x+4 与x轴，y轴分别交于点A，B，y轴上一点C 的坐标为(0，2)，P 是平面直角坐标系中的任意一点.若以点 P，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点 P 的坐标为　 　.
13．（2025八下·舟山期末） 如图，在中，作点关于的对称点，连结交于点，连结，若是等腰直角三角形，则　 　；与的面积之比是　 　．
14．（2025八下·中山期末）如图，在□ABCD中，AB=4，BC=6，点E为直线BC上一动点，连接AE，DE，若∠ABC=45°，则AE+DE的最小值为　 　.
15．（2025八下·成都期末）如图，□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，BM，CM分别平分∠ABC，∠BCD，连接OM，若OM=1，AD=AB，则□ABCD的周长为　 　.
16．（2025八下·诸暨期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=BD，∠BAD=45°，AD=4，过点B作BE⊥AD于点E，点F为BC上一动点，连接EF，取EF中点G，连接AG，BG，DG，若△BDG面积为△ABG面积的，则BF的长度是　 　.
三、解答题
17．在一次数学探究活动中，小王用两条直线把 ABCD 分割成四部分，使含有一对对顶角的两个图形全等.
（1）根据小王的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有　 　组；
（2）请你在图的平行四边形中画出三组满足小王分割方法的直线；
（3）由上述操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律
18．（2025八下·深圳期中）如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．轴与直线交于点D．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）点P在直线上，且的面积为，
①求出点P的坐标；
②点Q为平面内一点，当点P在直线下方时，以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合要求的点Q坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DCE=∠BEC，
∵CE是∠DCB的平分线，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠CEB=∠BCE，
∴BC=BE=4，
∵F是AB的中点，AB=6，
∴FB=3，
∴EF=BE﹣FB=1，
∴AE=AB﹣EF﹣FB=2，
∴AE：EF：FB=2：1：3，
故答案为B．
【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及线段中点的性质。利用平行四边形对边平行的性质，可得，因此，结合CE是平分线的定义，能推出，进而得到，根据等角对等边可确定；再根据F是AB中点且，求出，接着通过线段的差求出，，最后计算得出。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，，
∵的中点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得，，，，继而利用勾股定理得，结合已知，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，，，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
3．【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AD和BC的中点，
∴，，
∴
∵，
∴
∴，
∴△PED与△PFC的面积之和不变，
故答案为：A.
【分析】由三角形的面积公式得到，而，即可得到，即可得到答案.
4．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行线的性质；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】
解：过点B作BF⊥OA，交x轴于点F，如下图：
∵四边形ABCO是平行四边形
∴AB∥OC，AB=CO=
∴∠BAF=∠OAC=45°
∵BF⊥OA
∴∠BFA=90°
∴∠ABF=45°
∴∠ABF=∠BAF
∴AF=BF=3
∵OA=
∴OF=OA+AF=+3
∴点B的坐标为（+3，3）
故答案为：C
【分析】
本题考查坐标与图形性质，平行线的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，熟知平行四边形的性质是解题关键.
过点B作BF⊥OA，交x轴于点F，根据平行四边形的性质：对边平行且相等可知：AB∥OC，AB=CO=，根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等可知：∠BAF=∠OAC=45°，根据垂直的定义可知：∠BFA=90°，再根据直角三角形的性质：两锐角互余可知：∠ABF=45°等量代换得：∠ABF=∠BAF，根据等腰三角形的性质：等角对等边可知：AF=BF=3，最后根据线段的和差运算可知：OF=OA+AF=+3，由此可得出点B的坐标为(+3，3)，由此可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解： ∵A（0，3），D（1，0），
∴OA=3，OD=1，
∵∠AOD=90°，
∴AD=，
∵四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，
∴AB∥x轴，
由作图得DH平分∠ADC，
∴∠ADH=∠CDH，
∵AB∥CD，
∴∠AHD=∠CDH，
∴∠ADH=∠AHD，
∴AH=AD=
∵AH∥x轴，
∴H（，3），
故答案为：B.
【分析】根据角平分线和AB∥DC，可推出AD=AH，利用勾股定理求出AD的长度，从而表示H坐标.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ABCD为平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵OA：OB=3：4，OE：ED=3：1
∴OA=OE
∴OA=OE=OC
∴AE⊥EC
∴
∵OE：ED=3：1
∴
∴
故答案为：B .
【分析】由比例知OA=OE=OC即知△AEC为直角三角形，求出△AEC的面积可得△ACD的面积，即可得平行四边形ABCD的面积.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设AH=2a， HG=b，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵△BCE和△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠AGD =∠BEC = 90°，
∠ADG =∠BCE =∠GAD =45°，
∴CE=AG，
∵四边形EFGH是正方形，
∠FHG=∠HFG=45°=∠AHI=∠CFJ，
∴△AHI和△CFJ都是等腰直角三角形，CF= AH =2a， ∠DIF =90°，
∵2a+b=AG，
∴平行四边形ABCD的面积
故答案为：A.
【分析】设AH =2a，HG=b， 由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可求FJ，FH，HI的长， 由等腰直角三角形的性质可求AD的长，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵△OAD的周长=OA+AD+OD，△AOB的周长=OA+AB+BO，
∴△AOD与△AOB的周长差为OA+AD+OD-(OA+AB+BO)=AD-AB，
∵AB=8cm，AD=10cm，
∴△AOD与△AOB的周长差为：10-8=2cm，
故答案为：C．
【分析】
本题主要考查平行四边形的性质和三角形周长的计算，熟知平行四边形的性质是解题关键.根据平行四边形的性质：对角线互相平分可知：OB=OD，再根据三角形的周长计算公式=三边之和，代入数据可得：△OAD的周长=OA+AD+OD，△AOB的周长=OA+AB+BO；通过对两个三角形周长表达式作差，利用平行四边形性质进行化简，进而求出周长差，代入数据即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接，，
四边形是平行四边形，
的面积的面积，
四边形是平行四边形，
，
，
，
的面积的面积，
，
四边形是平行四边形，
的面积的面积，
的面积的面积，
∵四边形面积为，
的面积为，
故选：B．
【分析】
连接，，根据平行四边形的性质可得，再利用平行四边形的性质可得作，从而可得，进而可得=，然后再根据作，可证四边形是平行四边形，从而可得，进而可得．
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°+30°=90°
∴∠ACB=90°-60°=30°，
∴，故①结论正确；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，
∵∠ACB=∠CAE，
∴OE⊥AC，故②结论正确；
∵BD平分AC，
∴BD不能平分AE，
∴∠OBC≠30°，即∠OBC≠∠ACB
∴OB≠OC，故③结论错误；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的性质求出∠BAE，得到∠BAC=90°，得到∠ACB=30°，根据含30°角的直角三角形的性质得到；根据等腰三角形的性质得到OE⊥AC；根据题意得出∠OBC≠30°，得到OB≠OC.
11．【答案】或：
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
根据三角形的面积和平行四边形的面积得：，
即，
∴AF×DP=CE×DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵∠DAB=60°，
∴∠CBN=∠DAB=60°，
∴∠BFN=∠MCB=30°，
∵AB=6，BC=4，AE：EB=1：2，F是BC的中点，
∴BF=2，BE=4，BN=1，BM=2，
由勾股定理得：，，
，
，
∴
∴
故答案为：或：.
【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出，求出AF×DP=CE×DQ，根据勾股定理得到，，代入求出即可.
12．【答案】(-2，-2)或(-2，2)或(2，6)
【知识点】平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：直线y=2x+4，当y=0时，x=-2，当x=0时，y=4；
B(0，4)，
，
∵点C的坐标为(0，2)，
当AC为对角线时，点P的坐标为((-2，-2)；
当AB为对角线时，点P的坐标为((-2，2)；
当BC为对角线时，点P的坐标为(2，6).
综上所述：以P、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，则点P的坐标为((-2，-2)或(-2，2)或(2，6).
故答案为：(-2，-2)或(-2，2)或(2，6).
【分析】由一次函数的解析式求出点A和B的坐标，得出OA、OB、BC， 分别求出以AC、AB、BC为对角线时点P的坐标即可.
13．【答案】；
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：延长EA交BC于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAC=∠ACB，
∵点B关于AC的对称点是E
∴∠ACB=∠ACE，
∴∠FAC=∠FCA，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=∠AFE=∠FAC+∠FCA=45°，
∴∠ACF=22.5°，FA=FC，
∴∠ACB=22.5°，
∵∠CBA=∠CEA=45°
∴∠D=∠ABC=45°，
∵∠AFE=∠DFC=45°，
∴CF=CD，∠FCD=90°，
设AB=CD=CF=m，
∵∠EAF=∠AHC=90°，
∴∠AHB=90°，
∴∠ABH=∠BAH=45°，
∴，
∴
故答案为：22.5°；.
【分析】延长EA交BC于点H.证明∠FAC=∠FCA=∠ACB=22.5°，设AB=CD=CF=m，利用三角形面积公式可得结论.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】 【解答】解：作点A关于直线BC的对称点A'，连接AA'，交AC于点H，连接DA'，交BC于点E，此时AE+DE的长度最小，
∵点A和点A'关于BC对称，
∴AE=A'E，AH⊥BC，
∴AE+DE=A'E+DE=A'D
∵∠ABC=45°，AB=4，
∴AH=，
∴AA'=，
∵∠A'AD=90°，
∴A'D=.
即 AE+DE的最小值为 ：.
故答案为：.
【分析】作点A关于直线BC的对称点A'，连接AA'，交AC于点H，连接DA'，交BC于点E，此时AE+DE的长度最小，且根据对称性质得出最小值为线段AA'的长度，然后根据勾股定理求出AA'的长度即可。
15．【答案】20
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：延长CM交AB于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC和BD相交于点O，
∴BC=AD，CD=AB，CD//AB，CO=AO，
∴∠DCN=∠BNM，
∵BM，CM分别平分∠ABC，∠BCD，
∴∠CBM=∠NBM，∠DCN=∠BCM
∴∠BCM=∠BNM，
在△BCM和△BNM中，
∴△BCM △BNM(AAS)，
∴CM=NM，BC=BN，
∴BN=AD，
∵OM=1，
∴AN=2OM=2，
∵AB-BN=AN，
∴AB-AD=2，
∵，
∴，
∴CD=AB=6，
∴BC=AD=4，
∴AB+BC+CD+AD=2AB+2AD=2×6+2×4=20，
∴的周长为20，
故答案为：20.
【分析】延长CM交AB于点N，由平行四边形的性质得CD//AB，CO=AO，则∠DCN=∠BNM，由BM，CM分别平分∠ABC，∠BCD，得∠CBM=∠NBM，∠DCN=∠BCM，可证明△BCM △BNM，进而即可求得答案.
16．【答案】或
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=BD，BE⊥AD，AD=4，
∴AE=DE=AD=2.（"三线合一"）
又∵∠BAD=45°，∠AEB=90°，
∴BE=AE=2.
设点A到BG的距离为h1，点D到BG的距离为h2，
∵G是EF的中点，
∴S△ABG=BG×h1，S△BDG=BG×h2.
又∵S△BDG=S△ABG，
∴BG×h2=BG×h1，即h2=h1.
又∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BE⊥AD，
∴BE⊥BC，
∴h1+h2=BE=2.
∴h1=，h2=.
∵G是EF的中点，
∴S△ABG=(S△ABE+S△ABF)，S△BDG=(S△BDE+S△BDF)，
又S△ABE=×AE×BE=×2×2=2，S△BDE=×DE×BE=×2×2=2，
S△ABF=×BF×BE=×BF× 2=2=BF，S△BDF=×BF×BE=×BF× 2=BF，
∴S△ABG=(2+BF)，S△BDG=(2-BF).
又∵S△BDG=S△ABG，
∴( 2-BF)=×( 2+BF)，解得BF=.
同理，假设点A到BG的距离h1是点D到BG的距离h2的（即h1=h2），解得BF=.
故答案为：或.
【分析】先根据等腰三角形 “三线合一” 的性质和结合等腰直角三角形，求出AE、DE、BE的长度；再根据三角形的面积公式，分析△ABG与△BDG的面积关系（第一种情况：h2=h1），再结合已知条件S△BDG=S△ABG，求出BF的长为；最后同理求出BF的长为；综上，即可得出答案.
17．【答案】（1）无数
（2）解：答案不唯一，如图.
（3）解：这两条直线都经过平行四边形的对角线的交点
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】（1）解： 根据小王的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有无数组，
故答案为：无数.
【分析】(1) 根据平行四边形的中心对称性解答即可；
(2) 分别连接四个平行四边形的对角线AC、BD，记对角线交点为O，得出第一个图中AC和BD两条直线是符合题意的，故其余三个平行四边形中分别作经过对角线交点O的任意两条直线EF、GH，解答即可；
(3) 结合(2)的答案，分析做出的两条直线的特点，找到它们的共同点即可使问题得解.
18．【答案】（1）解：对于，令，则，令，解得，
故点、的坐标分别为、；
（2）解：①∵点C与点A关于y轴对称，，
∴，
设直线交轴于点，
设，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入，则，
∴，
则的面积，
即，
解得：或，
∴点的坐标为或；
②或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）②由（1）（2）知，，，，设点，
∵点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴①Ⅰ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点，
Ⅱ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点；
Ⅲ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴，
综上所述，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点坐标为或或．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征分别令x=0，y=0代入解析式即可求出答案.
（2）①根据关于y轴对称的点的坐标特征可得，设直线交轴于点，设，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，P坐标代入解析式可得直线的解析式为，根据y轴上点的坐标特征可得，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
②由（1）（2）知，，，，设点，根据平行四边形性质分情况讨论：以为对角线，、以为对角线，以为对角线，根据线段中点坐标公式建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：对于，令，则，令，解得，
故点、的坐标分别为、；
（2）解：①∵点C与点A关于y轴对称，，
∴，
设直线交轴于点，
设，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入，则，
∴，
则的面积，
即，
解得：或，
∴点的坐标为或；
②由（1）（2）知，，，，设点，
∵点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴①Ⅰ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点，
Ⅱ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点；
Ⅲ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴，
综上所述，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点坐标为或或．
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