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浙教版数学八年级下册 4.3 图形的旋转 三阶训练
一、选择题
1．（2024八下·黎川期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE ⊥DE ，则△BDC通过下列变换能与△ACE重合的是（　　）
A．绕点C逆时针旋转90度 B．沿AB的垂直平分线翻折
C．绕AB的中点M顺时针旋转90度 D．沿DE方向平移
2．（2024八下·揭西期末）如图，在折线段中，，，线段AB上有一点P，将线段AB分成两个部分，分别以B点和P点为旋转中心旋转BC，PA．当BC，BP，PA三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形时，BP的长是（　　）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或5或7
3．（2024八下·桥西期中）如图所示的向右翻滚，下列说法正确的有（　　）
1）①②是旋转；
2）①③是平移；
3）①④是平移；
4）②③是旋转．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4．（2024八下·保定期中）如图，在边长为的等边中，D为BC边的中点，E为直线AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°，得到线段CF，连接DF，则线段DF长的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．3
5．（2024八下·长安期中）把一副三角纸板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角纸板DCE绕点C顺时针旋转15°得到（如图乙），此时AB与交于点O，则线段的长为（　　）
A． B．5 C．4 D．
6．（2023八下·方城期末）如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点A的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024八下·铁西期中）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·内江期中）如图，已知直线上一点，C为y轴上一点，连接，线段绕点P顺时针旋转至线段，过点D作直线轴，垂足为B，直线与直线交于点A，且，连接，直线与直线交于点Q，则点Q的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·济南期中）如图，在中，，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，的长为（　　）
A． B．10 C． D．
10．（2024八下·兴宁期中）如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO'＝6+3．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③
二、填空题
11．（2025八下·深圳期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是　 　．
12．（2024八下·吉安期中）如图，O是等边三角形ABC内一点，，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接OD.若是等腰三角形，则的度数为　 　.
13．（2024八下·重庆市月考）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是　 　．
14．（2024八下·金华期中）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备厢开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），AC=BD，AF∥BE，∠BAF=60°，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B'，D'，E'的位置，气簧活塞杆CD随之伸长到CD'．已知直线BE⊥B'E'，垂足为K，CD'=5CD，BK=28+ ，那么AB的长为　 　cm，的长为　 　cm.
15．（2023八下·南宁期末）如图，在矩形中，，点M为边上的一个动点，线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的度数为　 　°．
三、解答题
16．（2025八下·长兴期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分，如图1，直线m经过□ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB=S四边形DEFC
（1）如图2，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分。
（2）8个大小相同的正方形如图3所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）.
17．（2025八下·龙岗期中）综合与实践
观察猜想：
（1）如图1，在和中，，，，点D在线段上，连接，．则和的数量关系是______，和的关系是______；
探索证明：
（2）如图2和图3，将绕点A顺时针和逆时针旋转，其他条件与（1）相同，（1）中的结论是否成立？若成立，请选择一种情况证明；若不成立，请说明理由．
拓展延伸：
（3）如图4，若图2中的点D落在线段上，其他条件不变，则此时线段、、的关系是______；
（4）如图5，是等腰直角三角形，，点D为外一点，且，连接．若，，则的长为______．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE ⊥DE ，
∴AB=AC，∠ADC=∠CEA=∠BCA=90°，
∵∠DCB+∠BCA+∠ECA=180°，
∴∠DBC+∠DCB=∠ECA+∠DCB=90°，
∴∠DBC=∠ECA，
∴，
∴BD=CE， CD=AE，
A、绕点C旋转后，CD与AE不重合，即△BDC与△ACE不重合，故选项A不符合题意；
B、△BDC与△ACE不关于A B的中垂线对称，则沿A B的中垂线翻折后BD与AE不重合，故选项B不符合题意；
C、因为△ABC是等腰直角三角形，所以CM⊥AB，所以绕中点M逆时针旋转90度，则△ACE与△BDC重合，故选项C符合题意；
D、先沿DE方向平移△BDC，使点E与点D重合后，BD与AE不重合，故选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】
由一线三等角模型可证明，则BD=CE、CD=AE，即B、C是对应点，C、A是对应点、D、E是对应点；由于△ABC是等腰直角三角形，且M是斜边AB中点，则CM⊥AB且CM=BM=AM，即点B绕点M顺时针旋转90度可得到点C、点C绕点M顺时针旋转90度可得到点A，同理点D绕点M顺时针旋转90度可得到点E．
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵BC，BP，PA三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形，
∴当3为腰时，AB被分成3和7两部分，
∵3+3＜7，
故这种情况不存在，
当3为底时，AB被分成5和5两部分，
∵3+5＞5，
∴此时BP=5，
故答案为：B．
【分析】分3为腰和3为底，分别计算BP的长。
3．【答案】C
【知识点】图形的旋转；图形的平移
【解析】【解答】解：由题意得（1）（3）（4）说法正确；
（2）① ③需要要先旋转后平移，不属于平移，说法错误；
∴正确的有三种，
故答案为：C
【分析】根据平移、旋转的定义结合题意对（1）（2）（3）（4）判断即可求解。
4．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，连接，如下图：
由题意可得：，是的中点，
∵为等边三角形，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴点的轨迹为直线，
∴当时，有最小值，
此时，
∵是的中点，
∴，
故答案为：B
【分析】本题考查图形的旋转，等边三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定．将绕点逆时针旋转得到，连接，利用等边三角形的性质可证明，利用全等三角形的性质可证明：，，当时，有最小值，再由，据此可求出答案．
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，
∴∠DCE=60°，∠B=45°.
∵把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到，
∴
∴∠OCB=45°，∴∠COB=90°.
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AO=CO=BO=3cm.
∴
∴
故答案为：B.
【分析】先求出∠OCB=45°，可说明∠COB=90°，再利用勾股定理求得.
6．【答案】D
【知识点】点的坐标；两个图形成中心对称
【解析】【解答】解：设由于、关于点对称，
可知：，，
解得：，，
，
故选：D．
【分析】根据对称性质即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意，由旋转的性质，
可得，，，
无法证明，，故B和D不符合题意，
，故C不符合题意，
，故A符合题意，
故答案为：A．
【分析】
根据旋转的性质无法证明，，可判断B，D；根据， 得到，可判断C；根据，，，可判断D；逐一判断即可解答．
8．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】
解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，
∴，，
∴，
，
，，
在和中，
，
，，
，
∴设，，
，
，则，，即．
∵直线，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，则的坐标是，
设直线的解析式是，把代入得：，
即直线的解析式是，
解方程组得：，
∴的坐标是．
故答案为：A．
【分析】根据题意过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，求出，证，推出，，设，求出，得出，求出，得出的坐标，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐标，设直线的解析式是，把代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组即可求解．
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，延长交于点，
∵把绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】连接，延长交于点，根据旋转的性质得，从而证出是等边三角形，进而由等边三角形的性质得，，利用“SSS”证明，由全等三角形对应角相等得，接下来由“三线合一”的性质得，，于是根据含30°的直角三角形的性质、勾股定理求出AF、DF的值，从而得CF的值，进而利用勾股定理求出AC的值.
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图，
由题意可得，∠1+∠2=∠3+∠3=60°，
∠1+∠3，
又
可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到 ，故 ① 正确，符合题意；
是等边三角形，
故 ② 正确，符合题意；
在中，三边长为3，4，5，是一组勾股数，
是直角三角形，
故 ③ 正确，符合题意；
S四边形AOBO'故 ④ 正确，符合题意；
正确的有 ①②③ ，
故答案为：A.
【分析】连接，先证明结合得到 可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到 ，可判断① 正确，符合题意；根据是等边三角形，可判断 ② 正确，符合题意；在中，三边长为3，4，5，是一组勾股数，得到是直角三角形，可判断③ 正确，符合题意；由S四边形AOBO'，代入数据计算可判断 ④ 正确，符合题意；从而求解.
11．【答案】（1，-2）
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】
解：过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N
∴∠BMA=∠CNA=90°
∴∠BAM+∠ABM=90°
∵点A（-3，0）点B（-1，4）
∴OA=3；BM=4，OM=1
∴AM=-OA-OM=2
∵线段AB绕点A顺时针旋转90°
∴∠BAC=90°，AB=AC
∴∠BAM+∠NAC=90°
∴∠ABM=∠NAC
∴在Rt△ABM和Rt△NAC中
∴Rt△ABM≌Rt△NAC（HL）
∴CN=AM=2，AN=BM=4
∴ON=AN-OA=1
∴点C坐标为（1，-2）
故答案为：（1，-2）
【分析】
本题考查坐标与图形变换——旋转，熟知旋转的性质是解题关键.
12．【答案】70°或145°
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质知△ACD≌△BCO，
∴∠ADC=∠BOC=α，
∵△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC
∴CO=CD，∠OCD=60°
∴△COD为等边三角形
∴∠CDO=60°，
∴∠ADO=α-60°
∠AOD=360°-145°-60°-α=155°-α
于是∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=85°
当∠AOD=∠OAD=85°时，即155°-α=85°得α=70°；
当∠ADO=∠OAD=85°时，即α-60°=85°，得α=145°；
当∠AOD=∠ADO时，即α-60°=155°-α=47.5°<60°(舍去)
综上所述 的度数为70°或145°
故答案为：70°或145°.
【分析】由全等可得∠ADO=α-60°，∠AOD=155°-α，分3种情况∠AOD=∠OAD=85°，∠ADO=∠OAD=85°，∠AOD=∠ADO进行讨论即可结果.
13．【答案】
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
∴点B的坐标为，
∴．
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，
∴．
由旋转可知：，，
∴点的坐标为，即．
故答案为：．
【分析】令 中的x=0算出对应的函数值得到点B的坐标，从而得到OB的长，令 中的y=0算出对应的自变量x的值，可得点A的坐标，从而得到OA的长；由旋转的性质得O'A=OA=3，O'B'=OB=4，再结合图中点B'的位置，根据点的坐标与图形性质即可得出点B'的坐标．
14．【答案】60；
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：过A作延长线交于点P，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，
过作，交于点H，
∵，
∴，
∴
∴
由勾股定理得，
∴，
∴；
设，则；，，
∵，
由勾股定理得：，
即：，
解得，或（舍去），
∴，
故答案为：60，．
【分析】过A作延长线交于点P，由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，过作，交于点H，由勾股定理得，根据，即可得出的长，设，则，利用勾股定理可得，代入解方程即可．
15．【答案】75
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点F，如图所示：
∴AB=AE，∠BAE=60°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，
∴∠EAD=∠BAD－∠BAE=30°.
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
，
，
，
故点N的轨迹是与AE垂直的射线EF，
∴当DN⊥EF时，的长度最小，
∵∠EAD=30°，∠END=90°，
∴∠NFD=∠AFE=60°，∠FDN=30°.
设EF=m，∵∠EAD=30°，则AF=2m，
∴，
∴，
∴.
∴.
∴.
∴△AEN是等腰直角三角形，
∴∠ANE=∠NAE=45°，∠AND=∠ANE+∠END= 135°.
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
【分析】线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点F，首先利用SAS证明，得到，可得点N的轨迹是与AE垂直的射线EF. 根据“垂线段最短”可得时，的长度最小；然后设EF=m，表示出AF，AE，AD和FD的长，计算得∠EAD=30°，利用直角三角形的性质和对顶角相等可得∠FDN=30°，于是可表示NF的长；证明△AEN为等腰直角三角形，可得∠ANE=45°，再证明△AMN为等边三角形，可得∠ANM=60°，利用∠ANE+∠END－∠ANM，即可得到∠MND的度数.
16．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】平行四边形的面积；中心对称的性质；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）取大正方形的对角线的交点，再边两个正方形对角线的交点作直线即可；
（2）方法不唯一，由于图形3是轴对称图形，因此可补全图形得到一个大正方形，再过这个正方形的中心与缺少的小正方形的中心画一条直线即可；也分别作最上方两个小正方形拼成的矩形的对称中心及下方6个小正方形拼成的矩形的对称中心，再过两个对称中心画直线即可.
17．【答案】（1），；
（2）如图2，结论，仍然成立．理由如下：
∵，
∴，
即，
又∵、，
∴，
∴，．
同理：如图3，
同理可得：，
∴，．
（3）；
（4）6
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，
∴，．
（3）如图4，
，
∵，
∴，
即，
又∵、，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
（4）如图5，作等腰直角三角形，，，连接，
则，而，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】本题考查全等三角形（SAS）、等腰直角三角形性质与勾股定理。
（1）由得，用SAS证，故、。
（2）旋转后仍成立，结合、，仍可证，结论成立。
（3）由全等得、，故，由勾股定理，又，得。
（4）作等腰直角，连接，证得，在中，，又，解得。
1 / 1浙教版数学八年级下册 4.3 图形的旋转 三阶训练
一、选择题
1．（2024八下·黎川期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE ⊥DE ，则△BDC通过下列变换能与△ACE重合的是（　　）
A．绕点C逆时针旋转90度 B．沿AB的垂直平分线翻折
C．绕AB的中点M顺时针旋转90度 D．沿DE方向平移
【答案】C
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE ⊥DE ，
∴AB=AC，∠ADC=∠CEA=∠BCA=90°，
∵∠DCB+∠BCA+∠ECA=180°，
∴∠DBC+∠DCB=∠ECA+∠DCB=90°，
∴∠DBC=∠ECA，
∴，
∴BD=CE， CD=AE，
A、绕点C旋转后，CD与AE不重合，即△BDC与△ACE不重合，故选项A不符合题意；
B、△BDC与△ACE不关于A B的中垂线对称，则沿A B的中垂线翻折后BD与AE不重合，故选项B不符合题意；
C、因为△ABC是等腰直角三角形，所以CM⊥AB，所以绕中点M逆时针旋转90度，则△ACE与△BDC重合，故选项C符合题意；
D、先沿DE方向平移△BDC，使点E与点D重合后，BD与AE不重合，故选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】
由一线三等角模型可证明，则BD=CE、CD=AE，即B、C是对应点，C、A是对应点、D、E是对应点；由于△ABC是等腰直角三角形，且M是斜边AB中点，则CM⊥AB且CM=BM=AM，即点B绕点M顺时针旋转90度可得到点C、点C绕点M顺时针旋转90度可得到点A，同理点D绕点M顺时针旋转90度可得到点E．
2．（2024八下·揭西期末）如图，在折线段中，，，线段AB上有一点P，将线段AB分成两个部分，分别以B点和P点为旋转中心旋转BC，PA．当BC，BP，PA三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形时，BP的长是（　　）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或5或7
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵BC，BP，PA三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形，
∴当3为腰时，AB被分成3和7两部分，
∵3+3＜7，
故这种情况不存在，
当3为底时，AB被分成5和5两部分，
∵3+5＞5，
∴此时BP=5，
故答案为：B．
【分析】分3为腰和3为底，分别计算BP的长。
3．（2024八下·桥西期中）如图所示的向右翻滚，下列说法正确的有（　　）
1）①②是旋转；
2）①③是平移；
3）①④是平移；
4）②③是旋转．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【知识点】图形的旋转；图形的平移
【解析】【解答】解：由题意得（1）（3）（4）说法正确；
（2）① ③需要要先旋转后平移，不属于平移，说法错误；
∴正确的有三种，
故答案为：C
【分析】根据平移、旋转的定义结合题意对（1）（2）（3）（4）判断即可求解。
4．（2024八下·保定期中）如图，在边长为的等边中，D为BC边的中点，E为直线AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°，得到线段CF，连接DF，则线段DF长的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，连接，如下图：
由题意可得：，是的中点，
∵为等边三角形，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴点的轨迹为直线，
∴当时，有最小值，
此时，
∵是的中点，
∴，
故答案为：B
【分析】本题考查图形的旋转，等边三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定．将绕点逆时针旋转得到，连接，利用等边三角形的性质可证明，利用全等三角形的性质可证明：，，当时，有最小值，再由，据此可求出答案．
5．（2024八下·长安期中）把一副三角纸板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角纸板DCE绕点C顺时针旋转15°得到（如图乙），此时AB与交于点O，则线段的长为（　　）
A． B．5 C．4 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，
∴∠DCE=60°，∠B=45°.
∵把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到，
∴
∴∠OCB=45°，∴∠COB=90°.
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AO=CO=BO=3cm.
∴
∴
故答案为：B.
【分析】先求出∠OCB=45°，可说明∠COB=90°，再利用勾股定理求得.
6．（2023八下·方城期末）如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点A的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；两个图形成中心对称
【解析】【解答】解：设由于、关于点对称，
可知：，，
解得：，，
，
故选：D．
【分析】根据对称性质即可求出答案.
7．（2024八下·铁西期中）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意，由旋转的性质，
可得，，，
无法证明，，故B和D不符合题意，
，故C不符合题意，
，故A符合题意，
故答案为：A．
【分析】
根据旋转的性质无法证明，，可判断B，D；根据， 得到，可判断C；根据，，，可判断D；逐一判断即可解答．
8．（2024八下·内江期中）如图，已知直线上一点，C为y轴上一点，连接，线段绕点P顺时针旋转至线段，过点D作直线轴，垂足为B，直线与直线交于点A，且，连接，直线与直线交于点Q，则点Q的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】
解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，
∴，，
∴，
，
，，
在和中，
，
，，
，
∴设，，
，
，则，，即．
∵直线，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，则的坐标是，
设直线的解析式是，把代入得：，
即直线的解析式是，
解方程组得：，
∴的坐标是．
故答案为：A．
【分析】根据题意过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，求出，证，推出，，设，求出，得出，求出，得出的坐标，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐标，设直线的解析式是，把代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组即可求解．
9．（2024八下·济南期中）如图，在中，，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，的长为（　　）
A． B．10 C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，延长交于点，
∵把绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】连接，延长交于点，根据旋转的性质得，从而证出是等边三角形，进而由等边三角形的性质得，，利用“SSS”证明，由全等三角形对应角相等得，接下来由“三线合一”的性质得，，于是根据含30°的直角三角形的性质、勾股定理求出AF、DF的值，从而得CF的值，进而利用勾股定理求出AC的值.
10．（2024八下·兴宁期中）如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO'＝6+3．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图，
由题意可得，∠1+∠2=∠3+∠3=60°，
∠1+∠3，
又
可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到 ，故 ① 正确，符合题意；
是等边三角形，
故 ② 正确，符合题意；
在中，三边长为3，4，5，是一组勾股数，
是直角三角形，
故 ③ 正确，符合题意；
S四边形AOBO'故 ④ 正确，符合题意；
正确的有 ①②③ ，
故答案为：A.
【分析】连接，先证明结合得到 可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到 ，可判断① 正确，符合题意；根据是等边三角形，可判断 ② 正确，符合题意；在中，三边长为3，4，5，是一组勾股数，得到是直角三角形，可判断③ 正确，符合题意；由S四边形AOBO'，代入数据计算可判断 ④ 正确，符合题意；从而求解.
二、填空题
11．（2025八下·深圳期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是　 　．
【答案】（1，-2）
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】
解：过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N
∴∠BMA=∠CNA=90°
∴∠BAM+∠ABM=90°
∵点A（-3，0）点B（-1，4）
∴OA=3；BM=4，OM=1
∴AM=-OA-OM=2
∵线段AB绕点A顺时针旋转90°
∴∠BAC=90°，AB=AC
∴∠BAM+∠NAC=90°
∴∠ABM=∠NAC
∴在Rt△ABM和Rt△NAC中
∴Rt△ABM≌Rt△NAC（HL）
∴CN=AM=2，AN=BM=4
∴ON=AN-OA=1
∴点C坐标为（1，-2）
故答案为：（1，-2）
【分析】
本题考查坐标与图形变换——旋转，熟知旋转的性质是解题关键.
12．（2024八下·吉安期中）如图，O是等边三角形ABC内一点，，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接OD.若是等腰三角形，则的度数为　 　.
【答案】70°或145°
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质知△ACD≌△BCO，
∴∠ADC=∠BOC=α，
∵△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC
∴CO=CD，∠OCD=60°
∴△COD为等边三角形
∴∠CDO=60°，
∴∠ADO=α-60°
∠AOD=360°-145°-60°-α=155°-α
于是∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=85°
当∠AOD=∠OAD=85°时，即155°-α=85°得α=70°；
当∠ADO=∠OAD=85°时，即α-60°=85°，得α=145°；
当∠AOD=∠ADO时，即α-60°=155°-α=47.5°<60°(舍去)
综上所述 的度数为70°或145°
故答案为：70°或145°.
【分析】由全等可得∠ADO=α-60°，∠AOD=155°-α，分3种情况∠AOD=∠OAD=85°，∠ADO=∠OAD=85°，∠AOD=∠ADO进行讨论即可结果.
13．（2024八下·重庆市月考）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
∴点B的坐标为，
∴．
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，
∴．
由旋转可知：，，
∴点的坐标为，即．
故答案为：．
【分析】令 中的x=0算出对应的函数值得到点B的坐标，从而得到OB的长，令 中的y=0算出对应的自变量x的值，可得点A的坐标，从而得到OA的长；由旋转的性质得O'A=OA=3，O'B'=OB=4，再结合图中点B'的位置，根据点的坐标与图形性质即可得出点B'的坐标．
14．（2024八下·金华期中）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备厢开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），AC=BD，AF∥BE，∠BAF=60°，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B'，D'，E'的位置，气簧活塞杆CD随之伸长到CD'．已知直线BE⊥B'E'，垂足为K，CD'=5CD，BK=28+ ，那么AB的长为　 　cm，的长为　 　cm.
【答案】60；
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：过A作延长线交于点P，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，
过作，交于点H，
∵，
∴，
∴
∴
由勾股定理得，
∴，
∴；
设，则；，，
∵，
由勾股定理得：，
即：，
解得，或（舍去），
∴，
故答案为：60，．
【分析】过A作延长线交于点P，由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，过作，交于点H，由勾股定理得，根据，即可得出的长，设，则，利用勾股定理可得，代入解方程即可．
15．（2023八下·南宁期末）如图，在矩形中，，点M为边上的一个动点，线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的度数为　 　°．
【答案】75
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点F，如图所示：
∴AB=AE，∠BAE=60°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，
∴∠EAD=∠BAD－∠BAE=30°.
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
，
，
，
故点N的轨迹是与AE垂直的射线EF，
∴当DN⊥EF时，的长度最小，
∵∠EAD=30°，∠END=90°，
∴∠NFD=∠AFE=60°，∠FDN=30°.
设EF=m，∵∠EAD=30°，则AF=2m，
∴，
∴，
∴.
∴.
∴.
∴△AEN是等腰直角三角形，
∴∠ANE=∠NAE=45°，∠AND=∠ANE+∠END= 135°.
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
【分析】线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点F，首先利用SAS证明，得到，可得点N的轨迹是与AE垂直的射线EF. 根据“垂线段最短”可得时，的长度最小；然后设EF=m，表示出AF，AE，AD和FD的长，计算得∠EAD=30°，利用直角三角形的性质和对顶角相等可得∠FDN=30°，于是可表示NF的长；证明△AEN为等腰直角三角形，可得∠ANE=45°，再证明△AMN为等边三角形，可得∠ANM=60°，利用∠ANE+∠END－∠ANM，即可得到∠MND的度数.
三、解答题
16．（2025八下·长兴期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分，如图1，直线m经过□ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB=S四边形DEFC
（1）如图2，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分。
（2）8个大小相同的正方形如图3所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）.
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】平行四边形的面积；中心对称的性质；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）取大正方形的对角线的交点，再边两个正方形对角线的交点作直线即可；
（2）方法不唯一，由于图形3是轴对称图形，因此可补全图形得到一个大正方形，再过这个正方形的中心与缺少的小正方形的中心画一条直线即可；也分别作最上方两个小正方形拼成的矩形的对称中心及下方6个小正方形拼成的矩形的对称中心，再过两个对称中心画直线即可.
17．（2025八下·龙岗期中）综合与实践
观察猜想：
（1）如图1，在和中，，，，点D在线段上，连接，．则和的数量关系是______，和的关系是______；
探索证明：
（2）如图2和图3，将绕点A顺时针和逆时针旋转，其他条件与（1）相同，（1）中的结论是否成立？若成立，请选择一种情况证明；若不成立，请说明理由．
拓展延伸：
（3）如图4，若图2中的点D落在线段上，其他条件不变，则此时线段、、的关系是______；
（4）如图5，是等腰直角三角形，，点D为外一点，且，连接．若，，则的长为______．
【答案】（1），；
（2）如图2，结论，仍然成立．理由如下：
∵，
∴，
即，
又∵、，
∴，
∴，．
同理：如图3，
同理可得：，
∴，．
（3）；
（4）6
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，
∴，．
（3）如图4，
，
∵，
∴，
即，
又∵、，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
（4）如图5，作等腰直角三角形，，，连接，
则，而，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】本题考查全等三角形（SAS）、等腰直角三角形性质与勾股定理。
（1）由得，用SAS证，故、。
（2）旋转后仍成立，结合、，仍可证，结论成立。
（3）由全等得、，故，由勾股定理，又，得。
（4）作等腰直角，连接，证得，在中，，又，解得。
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