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2026年山西初中学业水平考试模拟监测试题（卷）
数 学
（考试时间：120分钟，分值：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．中国人很早就开始使用负数．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别
表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“ ”表示的数是“ ”，则黑色算筹
“ ”表示的数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列四家人工智能科技公司的 logo 图案示意图，其图案是中心对称图形的是（ ）
A．微云人工智能 B．工易机器人
C．觅客科技 D．小 i机器人
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知 ， ，
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为 4000元，……．若单枪充电桩的单
价表示为 x元，这一情境中的等量关系可用方程“ ”刻画，则“……”表示的条件为（ ）
A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多 200元，数量比单枪充电桩少 1个
B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少 200元，数量比单枪充电桩少 1个
C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多 200元，数量比单枪充电桩多 1个
D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少 200元，数量比单枪充电桩多 1个
6．如图，已知 ，在 边的同侧作正 、正 和正 ，
连接 ， ，则下列选项中不正确的是（ ）
A．一定会出现平行四边形
B．当 时，四边形 为矩形
C．当 ，且 时四边形 为正方形
D．当 ，且 时，四边形 为菱形
7．我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用
曲尺测量物体高度的方法．如图所示：设曲尺平行于水平线的一边 长度为 ，垂直于水平线的一边 长
度为 ，当人眼 ，曲尺两边端点 ， ，物体 的顶端点 在同一直线上时，人眼 到过点 的水平线的
高度为 ，人眼 到物体 的水平距离为 ，则可求得物体 的高度等于 ．其依据的图形变化是（ ）
A．图形的平移 B．图形的轴对称
C．图形的旋转 D．图形的相似
8．如图， 是 的内接三角形， 是 延长线上一点，且 与 相切于点 ，
若 ，则 的半径为（ ）
A． B． C．2 D．
9．常温下，用浓度为 的 NaOH溶液分别滴入 浓度均为 的盐酸和醋酸溶液．利
用传感器测得滴入过程中溶液的电导率随加入的 溶液体积的变化如图所示，其中曲线Ⅰ，Ⅱ分别对
应盐酸和醋酸的变化曲线．下列说法错误的是（ ）
A．随着滴入 溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大
B．随着滴入 溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大
C．随着滴入 溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大
D．随着滴入 溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为
10．如图，先以正方形 的边 为直径画圆，然后以 A为圆心， 为半径画 ，最后以 的中点
E为圆心， 为半径画 与 交于点 F，若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
11．比较大小： _____ ．（填“ ”或“ ”）
12．某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文
化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有 1000
人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到 4360，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设
每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为 ，则可列方程_______．
13．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车
距离”．通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离 s与刹车时速度 v之间的部分对应值
如下表：
刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离（m） 0 8 …
那么这种型号汽车的刹车距离 s与刹车时速度 v之间的关系式为：_______．
14．“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了 书法， 绘画， 舞蹈， 乐器， 武术共五
类社团活动．王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在“元旦”联欢会上，班主任要从他们中随机抽取两人
上台共奏一曲，则王红和李明至少有一人参与这次演奏的概率是_________________．
15．如图，在平行四边形 中， ，E，F分别为 的中点，连接 并延长至 G，满
足 ，连接 ， ．点 M是 的中点，连接 交 于点 H，若 ， ．则
的长为__________________ ．
三、解答题：本题共 8小题，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本题 10分）（1）计算： ；
（2）解不等式组
17．（本题 7分） 年低空经济的核心产业 （电动垂直起降飞行器）发展火热，其核心技术在于
电动化，与燃油直升机相比，大大节约了飞行成本．经过对某款 飞行器和燃油直升机对比调查发现
飞行器平均每公里航程能源成本是燃油直升机的 倍，且 飞行器充电费 元比燃油直升
机燃油费 元飞行航程多 公里，那么 飞行器平均每公里航程的能源成本为多少元？
18．（本题 8分）为了强化中学生的思想政治教育，学校举办了一场以“科学家精神指引我”为主题的知识竞
赛活动．志远班和明德班的参赛学生人数相等，两班以相同的标准将本班比赛成绩（ 分）分为 4组：A．
“ ”， B．“ ”， C．“ ”， D．“ ”．
分别进行了整理并绘制统计图表，部分信息如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： _____；若志远班竞赛成绩的中位数为 分，明德班竞赛成绩的中位数为 分，则 _____ （填
“ ”“ ”或“ ”）．
(2)若预估两个班 A组的平均分都为 97.5分，B组的平均分都为 90分，C组的平均分都为 80分，D组的平
均分都为 67.5分，请预估志远班与明德班各班的平均分（结果精确到 0.1分）．
(3)请结合你获取的信息，对志远班和明德班的竞赛成绩进行分析比较（写出一条即可）．
19．（本题 7分）如图，反比例函数 的图象经过点 ， ，直线 与 轴交于
点 ．
(1)求反比例函数的表达式及 的值；
(2)过点 作 轴于点 ，连接 ， ．请直接写出 的面积．
20．（本题 8分）拱极门位于太原市北大街，是明太原府城八门中从未更名的城门之一．某数学兴趣小组开
展实践活动、采用如下方案测量拱极门的高度，下面是他们实践报告的部分内容：
活动
测量拱极门的高度
主题
测量
卷尺、测角仪
工具
第一步：在 G处使用测角仪测得拱极门顶部点 A的仰角， 的度数；
第二步：沿着 方向走到 I处，用皮尺测得 的长；
方案
第三步：在 I处使用相同高度的测角仪测得拱极门顶部点 A的仰角 的度
数． 设计
说明：地面上的点 G，I，B在同一水平直线上， ， 表示测角仪， 表示
拱极门的高， ， ， 均与 垂直．
测量
， ， ，
数据
参考 ， ， ， ，
数据 ， ．
备注 测量过程中注意安全及保护文物不被破坏
请根据该小组的报告计算拱极门的高度 （结果精确到 ）．
21．（本题 9分）阅读与思考
下面是小宇的一篇数学日记（部分），请仔细阅读，并完成相应的任务．
2025年 5月 4日 星期日
中线定理今天，我在浏览网页时，发现了一个重要词条——中线定理．该词条由《中国科技信息》杂志社参
与编辑并审核，经科普中国·科学百科认证．
阅读该词条后，将理解内容记录如下：
中线定理可理解为：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．
如图 1，在 中，D为 的中点，可得 ．
下面是该定理的证明过程：
证明：如图 1，过点 A作 于点 E．
在 中， ，
同理可得， ， ．
为证明方便，不妨设 ， ，
=……
我有如下思考：将图 1中的 以点 D为旋转中心旋转 ，可得到一个平行四边形，通过探究，得
出一个猜想“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”……
任务：
(1)阅读材料中给出的证明过程依据的定理是______；
(2)如图 2，在 中， 和 相交于点 O，求证： ；
(3)如图 3，已知 内接于 ，P为 内一点，若 ， ，请直接写出 的
值．
22．（本题 13分）如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面 的距离为 ，水面 的
宽度约为 ．
(1)如图 1，以 的中点 为原点， 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不
写自变量的取值范围）；
(2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔 ，已
知游船的宽度约为 ，船顶高出水面约为 ，请问游船是否能安全通过？并说明理由；
(3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图 2所示的隔离杆， 与水面
夹角的正切值为 ， 为 上的一个动点， 于点 ， ，通过多方面测试，当
达到最大值时，整体效果较好，请直接写出其最大值（注：点 D在 y轴的左侧或 y轴上，点 E在线段 的
上方或 上）．
23．（本题 13分）综合与探究
问题情境：在正方形纸片 中，点 是边 的中点，点 是边 上的一个动点，将 沿 折
叠，点 的对应点为 ， 的延长线与边 交于点 ，连接 ．
数学思考：
（1）如图 1，求证： 是等腰三角形；
拓展探究：
过点 再折出 的平行线，与边 交于点 ，射线 与 交于点 ．
（2）如图 2，若点 在 的延长线上，试判断线段 与 的数量关系，并说明理由；
（3）若 ，在点 运动的过程中，是否存在某一时刻，使 是等腰三角形？若存在，请直接写
出 的长；若不存在，请说明理由．数学·参考答案
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
9 10
1 2 3 4 5 6 7 8
B A
C B D C A A D D
第二部分（非选择题 共 92 分）
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
11．
12．
13．
14． /0.7
15．
三、解答题：本题共 8小题，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本题 10分）
【详解】解：（1）
；（5分）
（2）解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
原不等式组的解集为： （5分）
17．（本题 7分）
【详解】解：设燃油直升机平均每公里航程的飞行成本为 元，则 飞行器平均每公里航程的能源成
本为 元，（1分）
根据题意可得： ，（3分）
解方程得： ，（5分）
经检验， 是分式方程的解，（6分）
则 ，
答： 飞行器平均每公里航程的能源成本为 元．（7分）
18．（本题 8分）
【详解】（1）解： ，
∴ ，（1分）
由题意，两班的参赛人数均为： ，
由条形统计图可知：志远班竞赛成绩的第 20和第 21个数据均在 组，
∵ （人）， （人）， （人）， （人），
∴明德班竞赛成绩的第 20和第 21个数据均在 组，
故 ；（3分）
（2）志远班的平均分为 （分）．（5分）
明德班的平均分为 （分）．（7分）
（3）志远班的预估平均分为 87.9分，高于明德班的预估平均分 85.5分，从平均分的角度看，志远班的成
绩高于明德班．（答案不唯一，合理即可）（8分）
19．（本题 7分）
【详解】（1）解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴反比例的函数表达式为 ，（2分）
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ．（4分）
（2）解：设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得， ，（5分）
∴直线 的解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴点 的坐标为 ，（6分）
∵过点 作 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴ 的面积为 27．（7分）
20．（本题 8分）
【详解】解：延长 交 于点 C，
（2分）
由题可知，四边形 和四边形 为矩形，
， ，
在 中， ， ，
，即 ．
在 中， ，
，即 ．（4分）
，
．
解，得 ．（7分）
，
．
答：拱极门的高度 约为 ．（8分）
21．（本题 9分）
【详解】（1）解：阅读材料中给出的证明过程依据的定理是勾股定理，
故答案为：勾股定理；（1分）
（2）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，（2分）
∵在 中， 是中线，
∴由中线定理得， ，（4分）
∵在 中， 是中线，
由中线定理得， ，（5分）
；
（6分）
（3）解： 四边形 是平行四边形，
，
∵ 内接于 ，
，
，
是矩形，（7分）
连接 ， 交于 O，连接
是矩形，
， ， ，
根据中线定理，得 ， （8分）
（9分）
22．（本题 13分）
【详解】（1）解：由题意，得
，抛物线顶点为 ．（1分）
设抛物线的表达式为 ，将顶点 代入，得
；
∴抛物线的表达式为 ，
将 代入，得
，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ．（3分）
（2）∵游船宽 ，从桥下正中间通过时，
∴将 代入抛物线 ，得
，（5分）
∵船顶高出水面 ，且船顶与拱桥至少间隔 ，
∴所需最小高度为 （6分）
∵ ，
∴游船能安全通过．（7分）
（3）过点 P作 于 F， 于 M，过点 C作 轴于点 N，如图 1
∴ ，
，
，
，
，
∴ ，
∴ ．
即 ，
∴ ，（9分）
设点 、P点纵坐标为 m，C点坐标为 ，则
， ，
∴ ， ，
∴ ， 或 （不符合题意，舍去），
∴ ， ，
即 ，点 C关于 y轴的对称点为 ，
∴
，（11分）
∵点 D在 y轴的左侧或 y轴上，点 E在线段 的上方或 ，点 C关于 y轴的对称点为 ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 D、E关于 y轴对称，
∴ ，
∴
（12分）
由 ，开口向下，对称轴为 ，
∴当 时， 随 n的增大而减小，
∴当 时， 取得最大值，为 ．
答： 取得最大值为 3．（13分）
23．（本题 13分）
【详解】（1）解：如图，
∵点 是边 的中点，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ，（1分）
∴ ，
∴ ，（2分）
∴ ，
∴ 是等腰三角形；（3分）
（2）解： ，理由如下：
过点 作 的平行线，与 的延长线交于点 ，则 ，
（4分）
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，正方形中 ，
∴四边形 是平行四边形，（5分）
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ （6分）
∴ ；（7分）
（3）解：存在，
当点 在 的延长线上，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，则
∴ ，
设
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
由折叠可得 ，
∴ ，
∵点 是边 的中点，
∴ ，
∴ ；（9分）
当点 在线段 上，如图：
∵ ，
∴
∴ ，
∴ 是等腰三角形，则
∴ ，
设
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
由折叠可得 ，
∴ ，
∵点 是边 的中点，
∴ ，
∴ ，（11分）
综上所述，存在某一时刻，使 是等腰三角形， 的长为 或 ．（13分）

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