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专题3：函数
一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，其中，图象的性质经常以选择、填空题形式出现，而简单应用题型的考察较为灵活，单独考察一次函数的题目占比并不是很多，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合.
反比例函数在中考数学中主要考察其图象与性质，常和一次函数的图象结合考察，题型以选择题为主;另外，在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系.
在中考中，二次函数的出题形式不固定，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高.而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等.
考点1 位置与坐标问题
坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）
中点坐标公式：已知平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为()
两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等，x=y
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数，x= -y
和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，点P(x，y)关于x轴对称的对称点的坐标是(x，－y)
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，点P(x，y)关于y轴对称的对称点的坐标是 (－x，y)
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，点P(x，y)关于原点对称的对称点的坐标是 (－x，－y)．
点到坐标轴及原点的距离
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
（3）点P(x,y)到原点的距离等于
1．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________．
4．（2024·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为______．
5．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是__________．
6．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________
考点2 一次函数问题
图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0）
增减性 k>0 k<0
从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少
图象
b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0
经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四
与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上
1．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
4．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是______．
考点3 反比例函数问题
1. 求三角形的面积 2. 求等腰三角形的面积 3.求平行四边形的面积
4. 求矩形的面积 5.求阴影部分的面积
1．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是_____．
2．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为_______．
3．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________．
4．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点．
(1)点的坐标为__________，点的坐标为__________；
观察图象，不等式的解集为__________；
(2)若轴上存在点，使，求点的坐标．
5．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E．
(1)求点D的坐标和k的值；
(2)延长 交x轴于点F，求的面积．
6．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点．
(1)求m和直线的表达式；
(2)根据函数图象直接写出不等式的解集；
(3)求的面积．
考点4 二次函数问题
图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
图象 a>0
a<0
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，)
最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）.
增
减
性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____．
2．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）．
①a；②；③c；④；⑤．
3．（2024·江苏淮安·中考真题）二次函数的图像经过点，顶点为P．
(1)________；
(2)当时，
①若顶点P到x轴的距离为10，则________；
②直线m过点且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h，随着b的增大，h的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由；
若二次函数图像交x轴于B，C两点，点B坐标为，且的面积不小于20，求a的取值范围．
4．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．
(1)若点为该二次函数的顶点，
求二次函数的表达式；
求线段长度的最大值；
若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围．
5．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
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专题3：函数
一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，其中，图象的性质经常以选择、填空题形式出现，而简单应用题型的考察较为灵活，单独考察一次函数的题目占比并不是很多，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合.
反比例函数在中考数学中主要考察其图象与性质，常和一次函数的图象结合考察，题型以选择题为主;另外，在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系.
在中考中，二次函数的出题形式不固定，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高.而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等.
考点1 位置与坐标问题
坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）
中点坐标公式：已知平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为()
两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等，x=y
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数，x= -y
和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，点P(x，y)关于x轴对称的对称点的坐标是(x，－y)
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，点P(x，y)关于y轴对称的对称点的坐标是 (－x，y)
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，点P(x，y)关于原点对称的对称点的坐标是 (－x，－y)．
点到坐标轴及原点的距离
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
（3）点P(x,y)到原点的距离等于
1．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．
【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式：
其中 ，，．
∴，．
∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限．
故选：C．
2．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可
【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式，
∴单项式与单项式是同类项，
∴，
解得，，
∴点在第四象限，
故选：D
3．（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【分析】本题考查已知点所在象限求参数，根据第一象限内的点的纵坐标为正数列不等式，解不等式即可．
【详解】解：点在第一象限，
，
解得，
故答案为：
4．（2024·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为______．
【答案】或/或
【分析】本题考查直角坐标系中点的坐标，点到轴的距离，等腰三角形的性质，三角函数定义的应用及分类讨论思想．解题的关键是根据点P在y轴上的位置（可能在B点上方或下方），分别计算的长度．
【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，
，
是等腰直角三角形，
．
①当点在点下方时，，
,
②当点在点上方时，，
,
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
5．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是__________．
【答案】
【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点，的坐标，知点的横坐标加上了1，纵坐标加1，则的坐标的变化规律与点相同，即可得到答案．
【详解】解：平移后对应点C的坐标为，
点的横坐标加上了4，纵坐标加1，
点坐标为，
即，
故答案为：．
6．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质、解直角三角形和点的坐标规律探求；先求得，然后解直角三角形分别求出，，，得到规律，再根据规律计算即可.
【详解】解：∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
同理：，
依次类推：；
则点G的坐标为；
故答案为：.
考点2 一次函数问题
图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0）
增减性 k>0 k<0
从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少
图象
b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0
经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四
与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上
1．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴时， 时，
故选： ．
2．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得．
【详解】解：∵，
∴，
当时，，，与矛盾，
当时，， ，与矛盾，
当时，，，与矛盾，
当时，，，与矛盾，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
3．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴，
∴当时，，
选项中只有3符合要求，
故选：A．
4．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案．
【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，
∴向右平移3个单位得，
∴函数与轴的交点坐标为，
∵，
∴结合图象可得：，
故选：C．
5．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是______．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，旋转性质，勾股定理，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，求出点，由，，则，，则有，由勾股定理得，由旋转性质可知，，所以，故有，即的纵坐标为，同理的纵坐标为，由，可判断在直线上，所以的纵坐标为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，
由直线得，当时，，
∴点，
∴，
∵，，
∴，，由勾股定理得，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
由旋转性质可知：，，
∴，
∴，即的纵坐标为，
同理的纵坐标为，
∵，
∴在直线上，
∴的纵坐标为，
故答案为：．
考点3 反比例函数问题
1. 求三角形的面积 2. 求等腰三角形的面积 3.求平行四边形的面积
4. 求矩形的面积 5.求阴影部分的面积
1．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的性质，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数的图象经过两点，则，，由可求得的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过两点，
则，
即，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
2．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为_______．
【答案】或
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式；反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数解析式，将点的坐标代入对应的反比例函数解析式中，即可求解.
【详解】解：∵点在双曲线上，
∴，
∴，
∵点，在双曲线上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，则，
当时，，则，
故N的坐标为或.
3．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值．
【详解】解：一次函数中，
令，得，
令，则，
解得，
∴B点坐标为，C点坐标为，
过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴A点坐标为，
将代入反比例函数
解得，
故答案为：．
4．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点．
(1)点的坐标为__________，点的坐标为__________；
观察图象，不等式的解集为__________；
(2)若轴上存在点，使，求点的坐标．
【答案】(1)，，或；
(2)或
【分析】（1）联立方程组，解方程组求出A，B坐标，再利用图象求出不等式的解集即可；
（2）将的面积转化为两个三角形的面积之和即可．
本题主要考查反比例函数与一次函数图象交点，函数与不等式的关系，三角形的面积等，能利用数形结合的思想是解题的关键．
【详解】（1）解：联立方程组得，
解得或’
∴A点的坐标为，B点的坐标为，
观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围，
∴不等式的解集为或．
故答案为：，，或；
（2）解：设与y轴的交点为M，
令时，，
则点M的坐标为，
设C点的坐标为，
由题意知， ，
解得，
当时，解得，
当时，解得，
∴点C的坐标为或．
5．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E．
(1)求点D的坐标和k的值；
(2)延长 交x轴于点F，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由矩形性质得点，根据 D为的中点，得，得，得；
（2）求出和直线解析式，求出，得，求出，，即得．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，
∴点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∵反比例函数的图象过点D，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵反比例函数的图象交于点E，
∴设，
∴，∴
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
令，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
6．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点．
(1)求m和直线的表达式；
(2)根据函数图象直接写出不等式的解集；
(3)求的面积．
【答案】(1)；
(2)
(3)16
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键．
（1）已知双曲线过点，将点的坐标代入双曲线方程，即可求出的值，先将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再将点和的坐标代入直线方程，联立方程组求解和的值，进而得到直线的表达式．
（2）根据函数图象，找出直线在双曲线上方时的取值范围，即为不等式的解集．
（3）可先求出直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式，将的面积转化为与的面积之和进行计算．
【详解】（1）解：点在双曲线上，
，
又在双曲线上，
，解得．
由题意得：，解得，
．
（2）解：由（1）可知，，
所以不等式可化为，
根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是，
所以不等式的解集为．
（3）解：如图，设直线与轴交于点，
当时．，
，
，
．
考点4 二次函数问题
图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
图象 a>0
a<0
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，)
最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）.
增
减
性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____．
【答案】4
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度．
【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ，
把点 的坐标代入 ，
可得： ，
抛物线解析式为 ，
令 ，
可得方程： ，
因式分解得：，
解得：，，
抛物线与 轴交于点 和 ，
点 和点 均在 轴上，
线段 的长度为 ．
故答案为： 4．
2．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）．
①a；②；③c；④；⑤．
【答案】①②⑤
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴，符合题意；
②∵抛物线的对称轴是直线，且，
∴，
∴， 符合题意；
③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
∴，不符合题意；
④∵图象与x轴有2个交点，
∴，不符合题意；
⑤∵时，，
∴，符合题意；
故答案为：①②⑤．
3．（2024·江苏淮安·中考真题）二次函数的图像经过点，顶点为P．
(1)________；
(2)当时，
①若顶点P到x轴的距离为10，则________；
②直线m过点且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h，随着b的增大，h的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由；
若二次函数图像交x轴于B，C两点，点B坐标为，且的面积不小于20，求a的取值范围．
【答案】(1)8
(2)①或；②当或时，h随b增大而增大；当或时，h随b的增大而减小，理由见解析
(3)或或
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键：
（1）把点代入函数解析式进行求解即可；
（2）①根据顶点坐标公式，以及顶点P到x轴的距离为10，列出方程，进行求解即可；②根据题意得到，分和，两种情况进行讨论即可；
（3）根据，得到，设抛物线的对称轴与x轴交点为E，则，进而得到，把和代入，求出之间的关系，代入不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得；
故答案为：8；
（2）的顶点P的坐标为，
①当时，，
∵P到x轴距离为10，
∴，
∴，
∴或（舍去）
∴或．
故答案为：或；
②∵，
∴P到直线m距离为．
当时，即时，，
∴当时h随b的增大而增大，时h随b的增大而减小；
当时，即或时，，
∴当时h随b的增大而减小，时h随b增大而增大；
∴综上所述，当或时，h随b增大而增大；当或时，h随b的增大而减小；
（3）由题意知：，
∴．
如图，设抛物线的对称轴与x轴交点为E，则，
∴，
把和代入，得．
∴，
∴，
解得或或．
4．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．
(1)若点为该二次函数的顶点，
求二次函数的表达式；
求线段长度的最大值；
若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解；
（2）令，解得，，又二次函数与轴的一交点为，，所以，即，则有，然后解不等式即可．
【详解】（1）解：∵为二次函数的顶点，
∴，
解得，
∴二次函数表达式为；
因为正比例函数经过点，
∴，
∴，
∴正比例函数表达式为，
设，则，，
∴
，
∴当时，线段的长度取得最大值；
（2）解：∵二次函数经过点，
∴，即，
令，
解得，，
∵二次函数与轴的一个交点为，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴的取值范围是．
5．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式；
（2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标；
（3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：把，代入中得，
，解得，
；
（2）解：，，
当的值最小时，则的周长最小．
作点关于对称轴的对称点，即为点，
由（1）可知抛物线的解析式为，
对称轴为直线，且，
．
如图，连接，与对称轴的交点即为点，
设直线的解析式为，
把，代入中得，
，解得，
直线的解析式为．
点的横坐标为，
把代入得，
；
（3）解：设，，
①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或．
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