资源简介

浙教版数学八年级下册 2.1 一元二次方程和它的解 三阶训练
一、选择题
1．（2022八下·杭州期中）下列关于 的方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中一元二次方程有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①当a=0且b≠0时，此方程是一元一次方程；
② 此方程是一元二次方程；
③ 此方程是分式方程；
④ 此方程是一元三次方程；
⑤ 即-12x+12=0是一元一次方程；
⑥，此方程是是一元一次方程；
其中一元二次方程有②.
故答案为：A.
【分析】一元二次方程满足的条件：1、含有一个未知数；2、含未知数项的最高次数是2次；3、是整式方程；再对各选项逐一判断可得答案.
2．（2025八下·宁海期中）若a是方程x2+x-1=0的根，则3a2+3a+2025的值为（　　）
A．2024 B．2026 C．2028 D．2030
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵a是方程x2+x-1=0的根，
∴
∴
原式=
=
=
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的定义得到进而化简代求式计算即可.
3．（2024七下·镇平县月考）一元一次方程中的部分数字被墨渍污染，翻看答案知此方程的解为，则被墨渍污染的数字“”为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得，
，
∴，
故选：．
【分析】将x=1代入方程即可求出答案.
4．若关于x的一元二次方程 5=0有一个根为2025，则方程 1）=-5必有一个根为 （　　）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 方程 1）=-5 可整理为1）+5=0，与 方程 5=0 可知x+1=2025，
∴x=2024，
故答案为：A.
【分析】对比方程 1）=-5与1）+5=0知x+1=2025，从而得新方程的根.
5．（2024八下·蜀山期中）关于的一元二次方程的两根为，记，，则的值为（　　）
A．0 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的两根为，，
∴，，
∴
．
故答案为：A．
【分析】根据题意得到，，代入，即可求解．
6．（2024八下·慈溪期中）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（　　）
A．（10+x）（9+x）＝30 B．（10+x）（9+x）＝60
C．（10﹣x）（9﹣x）＝30 D．（10﹣x）（9﹣x）＝60
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设观花道的直角边为x，
依题意得：2×（10-x）（9-x）=10×9×（1-），
即 （10﹣x）（9﹣x）＝60 .
故答案为：D.
【分析】利用剩余油菜花的面积= 长方形油菜花田地面积的列出方程即可.
7．（2024八下·宁明期中）若方程（）中，a，b，c满足，，则此方程的根是（　　）
A．， B．，
C．， D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 方程（）中，a，b，c满足，
∴x2=1且x=1，
又∵满足，
∴x2=1且x=-1，
∴x1=1，x2=-1.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得当， 有x2=1且x=1，当，有x2=1且x=-1，据此解答.
8．（2025八下·瑞安期中） 已知关于x的两条一元二次方程①ax2+bx+c=0②cx2+bx+a=0（a≠c≠0）.甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点：
甲同学，若方程①有一个解为x=m（m≠0），则方程②一定有一个解为×=
乙同学：若方程①②有公共解，则公共解为x1=1，x2=-1
正确的结论为（　　）
A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误
B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确
C．甲、乙同学的观点均正确
D．甲、乙同学的观点均错误
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将代入一元二次方程①，得，
∵，
∴两边同时除以，得，
∵一元二次方程②为，
∴是方程②的一个解，
∴甲同学的观点正确；
∵方程①②有公共解，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵上述求出的公共解与b的取值无关，
∴当时，方程①化为，方程②化为，
∴方程①的解为，方程②的解为，
∴此时公共解不是，
∴乙同学的观点错误；
综上所述，甲同学的观点正确，乙同学的观点错误，
故答案为：A.
【分析】将代入一元二次方程①中，再两边同时除以，得，然后结合一元二次方程②可知甲同学观点正确；由两方程有公共解，整理后得，然后利用等式的性质得，即可求出x的值为1或-1，但由于上述求出的公共解与b的取值无关，则举反例当时，求出方程①的解为，方程②的解为，此时可知公共解不是，据此可判断乙同学的观点错误.
二、填空题
9．（2025八下·嘉兴期末） 构造一个一元二次方程，要求：①常数项是-6；②有一个根为2.这个一元二次方程可以是　 　.（写出一个即可）
【答案】(x-2)(x+3)=0(答案不唯一)
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 由题意可得，方程可以为：（x+3）（x-2）=0，
故答案为：(x-2)(x+3)=0(答案不唯一) .
【分析】 直接利用一元二次方程的因式分解形式进而得出答案．
10． 若 ， 则关于 的一元二次方程 有一个根为　 　．
【答案】x=-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：
对于原方程 ，
当x=-1时，
即a-b+c=0
故答案为：x=-1.
【分析】把x=-1代入原方程中，看是否能推导出a-b+c=0，若能，则x=-1为原方程的一个根，若不能，则不是原方程的根。
11．（2021八下·瑶海期中）若方程 ，满足 则方程必有一根为　 　．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】当 时，代入原方程得：
，即： ，
∴原方程必有一根为 ，
故答案为：-3．
【分析】将 代入原方程中，可得，据此即得结论.
12．若关于x的一元二次方程 （a≠0）的解是 则关于 x的一元二次方程 的解是　 　.
【答案】x =-5，x = - 2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把关于x的一元二次方程a(x-h+3)2+k=0看作关于x+3的一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程a(x-h)2+k=0的解是x1=-2，x2=1，
∴关于x的一元二次方程a(x-h+3)2+k=0的解为x+3=-2或x +3=1，
解得x1=-5，x2=-2，
即关于x的一元二次方程a(x-h+3)2+k=0的解是x1=-5，x2=-2.
故答案为：x =-5，x = - 2.
【分析】把关于x的一元二次方程a(x-h+3)2+k=0看作关于x+3的一元二次方程，利用题意得到x+3=-2或x+3=1，然后解两个一次方程即可.
13．（2022八下·杭州月考）设一元二次方程 的两根为 ，则两根分别与方程系数之间有如下关系： 根据该材料选择：已知 是方程 的两根，则 的值为　 　.
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+（m+2）x+1＝0的两根，
∴a2+（m+2）a+1＝0，b2+（m+2）b+1＝0，ab＝1，
∴原式＝[a2+（m+2）a+1﹣2a][b2+（m+2）b+1﹣2b]
＝（0﹣2a）（0﹣2b）
＝4ab
＝4．
故答案为：4.
【分析】把x＝a与x＝b分别代入方程得到关于a和b的等式，再利用根与系数的关系得到两根之积，最后将原式变形后代入计算即可求出值．
14．如果两个关于x的一元二次方程x2+x+k=0与x2+kx+1=0有且只有一个根相同，那么k的值是　 　
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：设相同的一个根为a，
则a2+a+k=0①，a2+ka+1=0②，
①-②得（1-k）a=1-k，
∵a值唯一的，
∴1-k≠0，
解得：a=1，
把a=1代入x2+x+k=0 中得k=-2.
故答案为：-2.
【分析】设相同的一个根为a，可得a2+a+k=0①，a2+ka+1=0②，利用①-②得（1-k）a=1-k，解一次方程得a值，再将a值代入方程中即可求出k值.
三、解答题
15．（2022八下·定远月考）已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a-c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】（1）解：是等腰三角形；
理由：把代入方程得，则，所以为等腰三角形
（2）解：为等边三角形，
，
方程化为，
解得，．
【知识点】一元二次方程的根；等腰三角形的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）将x=-1代入方程化简可得，从而可得为等腰三角形；
（2）根据等边三角形的性质可得，将方程化为，再求出x的值即可。
16．阅读理解题：
问题：已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x．
从而x=
把x= 代人已知方程，得
()2+-1=0，
整理，得y2+2y-4=0，
因此，所求方程为y2+2y-4=0．
请你用上述思路解决下列问题：
（1）已知方程x2+3x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【答案】（1）解：设所求方程的根为y，则y=-x，从而x=-y．
把x=-y代人方程x2+3x-2=0，得y2-3y-2=0，
即所求方程为y2-3y-2=0．
（2）解：设所求方程的根为y，则y=，从而x=．
把x=代入方程ax2 -bx+c=0，得a·()2-b·+c=0，
整理得cy2-by+a=0，由题意得c≠0，故所求方程为cy2 -by+a=0(c≠0)．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）根据材料，设所求方程的根为y，再表示出x，然后代入方程即可；
（2）设所求方程的根为y，则x=，把其代入方程ax2 -bx+c=0中，再整理即可.
1 / 1浙教版数学八年级下册 2.1 一元二次方程和它的解 三阶训练
一、选择题
1．（2022八下·杭州期中）下列关于 的方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中一元二次方程有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025八下·宁海期中）若a是方程x2+x-1=0的根，则3a2+3a+2025的值为（　　）
A．2024 B．2026 C．2028 D．2030
3．（2024七下·镇平县月考）一元一次方程中的部分数字被墨渍污染，翻看答案知此方程的解为，则被墨渍污染的数字“”为（　　）
A． B． C． D．
4．若关于x的一元二次方程 5=0有一个根为2025，则方程 1）=-5必有一个根为 （　　）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
5．（2024八下·蜀山期中）关于的一元二次方程的两根为，记，，则的值为（　　）
A．0 B．2023 C．2024 D．2025
6．（2024八下·慈溪期中）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（　　）
A．（10+x）（9+x）＝30 B．（10+x）（9+x）＝60
C．（10﹣x）（9﹣x）＝30 D．（10﹣x）（9﹣x）＝60
7．（2024八下·宁明期中）若方程（）中，a，b，c满足，，则此方程的根是（　　）
A．， B．，
C．， D．无法确定
8．（2025八下·瑞安期中） 已知关于x的两条一元二次方程①ax2+bx+c=0②cx2+bx+a=0（a≠c≠0）.甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点：
甲同学，若方程①有一个解为x=m（m≠0），则方程②一定有一个解为×=
乙同学：若方程①②有公共解，则公共解为x1=1，x2=-1
正确的结论为（　　）
A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误
B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确
C．甲、乙同学的观点均正确
D．甲、乙同学的观点均错误
二、填空题
9．（2025八下·嘉兴期末） 构造一个一元二次方程，要求：①常数项是-6；②有一个根为2.这个一元二次方程可以是　 　.（写出一个即可）
10． 若 ， 则关于 的一元二次方程 有一个根为　 　．
11．（2021八下·瑶海期中）若方程 ，满足 则方程必有一根为　 　．
12．若关于x的一元二次方程 （a≠0）的解是 则关于 x的一元二次方程 的解是　 　.
13．（2022八下·杭州月考）设一元二次方程 的两根为 ，则两根分别与方程系数之间有如下关系： 根据该材料选择：已知 是方程 的两根，则 的值为　 　.
14．如果两个关于x的一元二次方程x2+x+k=0与x2+kx+1=0有且只有一个根相同，那么k的值是　 　
三、解答题
15．（2022八下·定远月考）已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a-c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
16．阅读理解题：
问题：已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x．
从而x=
把x= 代人已知方程，得
()2+-1=0，
整理，得y2+2y-4=0，
因此，所求方程为y2+2y-4=0．
请你用上述思路解决下列问题：
（1）已知方程x2+3x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①当a=0且b≠0时，此方程是一元一次方程；
② 此方程是一元二次方程；
③ 此方程是分式方程；
④ 此方程是一元三次方程；
⑤ 即-12x+12=0是一元一次方程；
⑥，此方程是是一元一次方程；
其中一元二次方程有②.
故答案为：A.
【分析】一元二次方程满足的条件：1、含有一个未知数；2、含未知数项的最高次数是2次；3、是整式方程；再对各选项逐一判断可得答案.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵a是方程x2+x-1=0的根，
∴
∴
原式=
=
=
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的定义得到进而化简代求式计算即可.
3．【答案】A
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得，
，
∴，
故选：．
【分析】将x=1代入方程即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 方程 1）=-5 可整理为1）+5=0，与 方程 5=0 可知x+1=2025，
∴x=2024，
故答案为：A.
【分析】对比方程 1）=-5与1）+5=0知x+1=2025，从而得新方程的根.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的两根为，，
∴，，
∴
．
故答案为：A．
【分析】根据题意得到，，代入，即可求解．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设观花道的直角边为x，
依题意得：2×（10-x）（9-x）=10×9×（1-），
即 （10﹣x）（9﹣x）＝60 .
故答案为：D.
【分析】利用剩余油菜花的面积= 长方形油菜花田地面积的列出方程即可.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 方程（）中，a，b，c满足，
∴x2=1且x=1，
又∵满足，
∴x2=1且x=-1，
∴x1=1，x2=-1.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得当， 有x2=1且x=1，当，有x2=1且x=-1，据此解答.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将代入一元二次方程①，得，
∵，
∴两边同时除以，得，
∵一元二次方程②为，
∴是方程②的一个解，
∴甲同学的观点正确；
∵方程①②有公共解，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵上述求出的公共解与b的取值无关，
∴当时，方程①化为，方程②化为，
∴方程①的解为，方程②的解为，
∴此时公共解不是，
∴乙同学的观点错误；
综上所述，甲同学的观点正确，乙同学的观点错误，
故答案为：A.
【分析】将代入一元二次方程①中，再两边同时除以，得，然后结合一元二次方程②可知甲同学观点正确；由两方程有公共解，整理后得，然后利用等式的性质得，即可求出x的值为1或-1，但由于上述求出的公共解与b的取值无关，则举反例当时，求出方程①的解为，方程②的解为，此时可知公共解不是，据此可判断乙同学的观点错误.
9．【答案】(x-2)(x+3)=0(答案不唯一)
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 由题意可得，方程可以为：（x+3）（x-2）=0，
故答案为：(x-2)(x+3)=0(答案不唯一) .
【分析】 直接利用一元二次方程的因式分解形式进而得出答案．
10．【答案】x=-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：
对于原方程 ，
当x=-1时，
即a-b+c=0
故答案为：x=-1.
【分析】把x=-1代入原方程中，看是否能推导出a-b+c=0，若能，则x=-1为原方程的一个根，若不能，则不是原方程的根。
11．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】当 时，代入原方程得：
，即： ，
∴原方程必有一根为 ，
故答案为：-3．
【分析】将 代入原方程中，可得，据此即得结论.
12．【答案】x =-5，x = - 2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把关于x的一元二次方程a(x-h+3)2+k=0看作关于x+3的一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程a(x-h)2+k=0的解是x1=-2，x2=1，
∴关于x的一元二次方程a(x-h+3)2+k=0的解为x+3=-2或x +3=1，
解得x1=-5，x2=-2，
即关于x的一元二次方程a(x-h+3)2+k=0的解是x1=-5，x2=-2.
故答案为：x =-5，x = - 2.
【分析】把关于x的一元二次方程a(x-h+3)2+k=0看作关于x+3的一元二次方程，利用题意得到x+3=-2或x+3=1，然后解两个一次方程即可.
13．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+（m+2）x+1＝0的两根，
∴a2+（m+2）a+1＝0，b2+（m+2）b+1＝0，ab＝1，
∴原式＝[a2+（m+2）a+1﹣2a][b2+（m+2）b+1﹣2b]
＝（0﹣2a）（0﹣2b）
＝4ab
＝4．
故答案为：4.
【分析】把x＝a与x＝b分别代入方程得到关于a和b的等式，再利用根与系数的关系得到两根之积，最后将原式变形后代入计算即可求出值．
14．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：设相同的一个根为a，
则a2+a+k=0①，a2+ka+1=0②，
①-②得（1-k）a=1-k，
∵a值唯一的，
∴1-k≠0，
解得：a=1，
把a=1代入x2+x+k=0 中得k=-2.
故答案为：-2.
【分析】设相同的一个根为a，可得a2+a+k=0①，a2+ka+1=0②，利用①-②得（1-k）a=1-k，解一次方程得a值，再将a值代入方程中即可求出k值.
15．【答案】（1）解：是等腰三角形；
理由：把代入方程得，则，所以为等腰三角形
（2）解：为等边三角形，
，
方程化为，
解得，．
【知识点】一元二次方程的根；等腰三角形的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）将x=-1代入方程化简可得，从而可得为等腰三角形；
（2）根据等边三角形的性质可得，将方程化为，再求出x的值即可。
16．【答案】（1）解：设所求方程的根为y，则y=-x，从而x=-y．
把x=-y代人方程x2+3x-2=0，得y2-3y-2=0，
即所求方程为y2-3y-2=0．
（2）解：设所求方程的根为y，则y=，从而x=．
把x=代入方程ax2 -bx+c=0，得a·()2-b·+c=0，
整理得cy2-by+a=0，由题意得c≠0，故所求方程为cy2 -by+a=0(c≠0)．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）根据材料，设所求方程的根为y，再表示出x，然后代入方程即可；
（2）设所求方程的根为y，则x=，把其代入方程ax2 -bx+c=0中，再整理即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑