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2025—2026学年第一学期学情调研
九年级数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、年级、班级和考号填写在试卷和答题卡上的相应位置．
2．本试卷共6页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．
3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D. 　
2. 如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）
A. y＝ B. y＝ C. y＝ D. y＝
8. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A B. C. D.
10. 如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. 当时， D. 的周长为
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________．
12. 抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长_____．
13. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则________．
14. 如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）．
15. 如图，四边形是正方形，为上一点，将△绕点顺时针旋转至△，连接，于点，交于点，若，，则的长为___．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
17. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．
（1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率．
18. 如图，已知二次函数的图象经过点.
（1）求的值和图象的顶点坐标．
（2）点在该二次函数图象上.
①当时，求的值；
②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.
19. 如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接
（1）求证：．
（2）若，求四边形的面积．
20. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点A对应的指标值及段所对应的函数解析式．
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
21. 现有一台红外线理疗灯（如图所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，．
（1）填空：_______，_______；
（2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，）
22. 如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明：
（1）；
（2）．
23. 如图，在中，，是线段上一动点（不与、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接．点和点分别是边，的中点．
问题发现】
（1）如图1，若，当点是边的中点时， ，直线与相交所成的锐角的度数为 度．
【解决问题】
（2）如图2，若，当点是边上任意一点时（不与、重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【拓展探究】
（3）如图3，若，，，在点运动的过程中，直接写出的最小值．

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