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数学试题
一、选择题（共10小题，30分）
1. 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若一个数的倒数是，则这个数是（ ）
A. B. C. D.
3. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
4. 如图①，古代叫“斗”，在官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A. B. C. D.
5. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐人，车空出来；每车坐人，多出人无车坐，问人数和车数各多少？设共有人，辆车，则可列出的方程组为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（ ）
A B. C. D.
9. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．如图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．在小孔成像的实验中，带小孔的纸板和光屏平行，蜡烛与有小孔的纸板之间的水平距离为．当蜡烛火焰的高度是它的像高度的时，有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为（ ）
A B. C. D.
10. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则和的面积之差为（ ）
A. 3 B. 4 C. 2 D. 6
11. 不透明的袋子中装有10个球，其中有5个红球、3个绿球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为______．
二、填空题（共5小题，15分）
12. 在函数中，自变量x的取值范围是________．
13. 元宵节是我国传统节日，在元宵节前夕，某商场出售汤圆的标价比成本高，元宵节过后，商场将这种汤圆降价出售，为了每袋都不亏本，降价幅度最多为_____．
14. 如图，四边形是边长为2的菱形，，将菱形绕点A逆时针旋转，使点B的对应点落在对角线上，交于点E，则四边形的面积等于 ______．
15. 在中，，，为线段上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，则的最小值是_________________．
三、解答题（共8个题，75分）
16. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
17. 如图，四边形是矩形，为边上的一点，作于点，连接为的中点．连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
18. 今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示：
分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23
机器人台数（台） 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表：
众数/万件 中位数/万件 平均数/万件
型号 14和16 15
型号 20
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空：表中___________，___________；
（2）请计算表中的值；（需要写出计算过程）
（3）若该省共投放市场的型号智能机器人有80台，型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？
19. 乒乓球被誉为中国国球，2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图2，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方的高度（的长度），将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据：
水平距离 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度 33 45 49 45 33 0
（1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象．
（2）①乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______；乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______．
②求满足条件的抛物线解析式．
（3）如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，如图2，乒乓球台长为，球网高为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计 ）．
20. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：）
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）．
21. 如图所示，在平行四边形中，，对角线，且，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接．
（1）求证：与相切；
（2）求阴影部分的面积．
22. 某校数学活动小组探究了如下数学问题：
（1）问题发现：如图1，中，，．点是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是___________；
（2）变式探究：如图2，中，，．点是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和数量关系，并说明理由；
（3）问题解决；如图3，正方形的边长为10，点是边上一点，以为对角线作正方形，连接．若设正方形的面积为，．求与的函数关系式．
23. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点．
（1）求的值；
（2）连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标；
（3）如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标．

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