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2025-2026学年第二学期九年级开学摸底检测
数学
注意事项：
1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
第I卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 刘徽在《九章算术》中提到“今两算得失相反，要令正负以名之”，首次提出了正数和负数的概念．若温度升高记作，则温度下降记作（ ）
A. B. C. D.
2. 下列关于“吉祥如意”四个字的图案设计中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B.
C D.
3. 中国邮政定于年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
4. 珐华器是山西传统工艺美术珍品之一，其造型典雅、釉色艳丽，因在晋南地区盛行烧制而得名．如图为一件珐华器长颈瓶作品，关于该作品的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图和俯视图相同 B. 左视图和俯视图相同
C. 主视图和左视图相同 D. 三视图各不相同
5. 一元一次不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，交于点．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
7. 为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，下列结论正确的是（ ）
书籍数量/本 2 3 4 5 6
人数/名 3 4 5 6 2
A. 分享的书籍数量的众数是6本
B. 分享书籍数量的平均数是3本
C. 分享书籍数量的中位数是4本
D. 分享的书籍数量的方差是2.5
8. 如图，是的直径，，是上两点，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 在探究“某金属导体电阻随温度变化”的实验中，控制该金属导体的长度和横截面积不变，测得金属导体的电阻（单位：）与温度（单位：）满足我们学过的某种函数关系，实验数据如下表．根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ）
温度/ 10 20 30 40 50
金属导体的电阻 22 24 26 28 30
A. B.
C. D.
10. 如图，边长为2的正方形内接于，分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
第II卷 非择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解：___________．
12. 团扇是中国汉族传统的工艺品及艺术品，起源于商代，其雏形可追溯至战国时期的“便面”．团扇融合了绘画、书法、雕刻等艺术形式，象征团圆吉祥，承载中华传统审美与文化内涵．如图1是一款名为“蝶戏芳丛”的刺绣团扇扇面，其外轮廓为如图2所示的正八边形，已知该正八边形的中心为点，则的度数为___________．
13. 2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数成画”三个挑战游戏．每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概率为___________．
14. 将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为___________（用顶点式表示）．
15. 如图，在中，，，分别是上的点，且，连接．若，则的长为___________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：
（1）．
（2）．
17. 解方程：．
18. 近年来，我国在科技领域持续发力，成绩斐然．某校为了解学生对航天工程、芯片技术、生物医药、新能源技术等科技领域的关注情况，面向全校3000名学生组织了一场科技知识竞赛，从中随机抽取了200名学生的成绩（单位：分，）进行整理、分析，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中，D所在扇形的圆心角度数为___________，并补全条形统计图．
（2）若成绩为90分以上的学生可被评为优秀，估计该校被评为优秀的学生人数．
（3）已知此次竞赛成绩80分以上的学生为入门级别，据了解，小陈对芯片技术领域比较感兴趣，其竞赛成绩为65分，请你对小陈提出一条合理化的建议．
19. 在碳中和目标的推进下，林业碳汇成为重要的固碳途径．研究表明，1公顷人工阔叶林每年的固碳量比1公顷人工针叶林多2吨，且5公顷人工阔叶林每年的总固碳量与7公顷人工针叶林每年的总固碳量相等．求1公顷人工阔叶林和1公顷人工针叶林每年的固碳量分别是多少．
20. 项目式学习
背景：位于山西大同魁星楼作为晋北地区极具代表性的明清古建筑，不仅承载着当地崇文重教的文化传统，还是市民日常游览打卡的地标．为深化对古建筑的保护与研究，同时落实数学学科实践育人的要求，特开展本次项目式学习．
项目主题 魁星楼高度的测量与计算
活动过程 测量工具 测距仪、测角仪等
方案说明 1．在点处用测角仪测出点的仰角； 2．从点面向魁星楼行进一定距离到达点，用测距仪测出，两点间的距离； 3．在点处用测角仪测出点的仰角． 说明：与分别在同一水平直线上，在同一竖直平面内
数据记录
计算 ……
交流展示 ……
请根据以上信息，计算魁星楼的高度（结果精确到．参考数据：，）．
21. 阅读与思考
下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务．
关于“勾股黄金三角形”的研究报告 【研究对象】勾股黄金三角形． 【研究思路】类比一般三角形，沿着“概念一性质一应用”的路径探究其特征． 【研究方法】观察、猜想、推理、证明． 【一般概念】如果一个直角三角形的三边长之比为，那么我们就称这个直角三角形为勾股黄金三角形． 【性质揭示】勾股黄金三角形的斜边和短直角边之差与长直角边的比值为黄金分割比． 探究：如图1，是一个勾股黄金三角形，，求证：． ……
任务：
（1）若一个直角三角形的三边长分别为，，，这个直角三角形是勾股黄金三角形吗？请说明理由．
（2）完成报告中“探究”部分的证明．
（3）如图2，请在的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出一个面积为5的勾股黄金三角形，使点均在格点（小正方形的顶点）上．
22. 综合与实践
问题情境：飞碟射击，是一项兼具竞技性与观赏性的射击运动．在飞碟射击运动开始时，飞碟从地面上的发射器发射出去，在飞碟落地前，运动员用枪械（子弹沿直线运动，且飞行时间极短，可忽略不计）射击空中的飞碟．飞碟在空中的飞行路线可近似看作抛物线．
数学建模：某次训练中，运动员站在地面上的点A处，飞碟从发射器射出后，教练通过运动捕捉设备记录了飞碟的位移数据．如图1，以飞碟发射器所在位置为原点O，以所在直线为x轴，以过点O且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系．当飞碟距发射器的水平距离为时，到达最高点P，此时距离地面的高度为．
问题解决：
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若运动员水平持枪械射击（子弹沿水平方向运动），想在飞碟距发射器的水平距离为时将其击中，则她需要将枪械抬高到距离地面多少米的位置？
（3）如图2，若运动员倾斜持枪械射击（子弹运动方向与水平线呈一定角度），想在飞碟距离地面3m高的点F处将其击落，第一次瞄准后没有击中，该运动员表示飞碟运动到距点F水平距离为处的位置时重新射击，仍然可以将其击落．已知子弹射出时的位置点E距飞碟发射器的水平距离为，距地面的竖直高度为，请判断她的说法是否正确？并说明理由．
23. 综合与探究
问题情境：已知在中，是射线上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为．
初步探究：（1）如图1，点在边上，点恰好在的延长线上，试判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：（2）如图2，点在边上，当点落在边上时，的延长线恰好经过点，求的度数．
拓展延伸：（3）在绕点顺时针旋转的过程中，当三点共线时，若，，请直接写出的长．

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