资源简介

10.4 实际问题与二元一次方程组
第一课时
考点梳理
列方程组解决实际问题的步骤：审题，找出包含题目全部含义的两个等量关系；判断已知量和
未知量，设出______；列出____________；解二元一次方程组；检验，写出实际问题的答案。
答案：未知数；二元一次方程组
课堂讲练
例 1、某区中学生足球赛共赛 8轮（即每队均需参赛 8场），胜一场得 3分，平一场得 1分，
负一场得 0分。在这次足球联赛中，猛虎队踢平的场数是踢负的场数的 2倍，共得 17分，则
该队共胜______场。
答案：5
解析：设猛虎队负 场，平 2 场，胜 8 2 = 8 3 场。
根据得分列方程：3(8 3 ) + 1 × 2 + 0 × = 17
解得 = 1，胜场数为 8 3 × 1 = 5场。
例 2、乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业。某村有部分返乡青年承包了一些田地，
采用新技术种植 A，B两种农作物。种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金/万元
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共 24名，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共 60万元，则 A，B
这两种农作物的种植面积各多少公顷？
答案：设 A种农作物的种植面积是 x 公顷，B种农作物的种植面积是 y 公顷。
4 + 3 = 24 = 3
根据题意，得 8 + 9 = 60 ，解得 = 4
∴A种农作物的种植面积是 3公顷，B种农作物的种植面积是 4公顷。
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10.4 实际问题与二元一次方程组
变式、学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球。已知购买 3个篮球和 2个足球
共 490元，购买 2个篮球和 3个足球共 460元。
（1） 篮球、足球的单价各是多少元？
（2） 该店在“五四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售。节日期间购
买 10个篮球和 10个足球只需 1710元，该店的商品按原价的几折出售？
答案：（1）设篮球的单价是 x 元，足球的单价是 y 元。
3 + 2 = 490 = 110
根据题意，得 2 + 3 = 460 ， 解得 = 80
∴ 篮球的单价是 110元，足球的单价是 80元。
（2）设该店的商品按原价的 m 折出售。

根据题意，得 110 × × 10 + 80 × × 10 = 171010 10 ，解得
= 9
∴ 该店的商品按原价的九折出售。
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10.4 实际问题与二元一次方程组
第二课时
考点梳理
教材第 102页探究 2是一个开放性问题，其解决方法不唯一，通过此题，同学们可以体会一题
多解的问题情境，解决这个问题要注意两点：一是要把这块地分成两块小长方形土地；二是要
把分得的两块地分别种植甲、乙两种作物，它们的总产量的比是 3∶4。根据这两点要求，就
可以____________求解。
答案：列方程组
课堂讲练
例 1、如图①，从边长为$x$cm的大正方形中剪去一个边长为 y cm的小正方形，剩余部分的
面积为 21cm ，并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图②所示
的宽为 3cm的长方形，请求出大正方形和小正方形的边长。
= 3
答案：依题意，得 3( + ) = 21 ， 解得 = 5， = 2。
∴ 大正方形的边长为 5cm，小正方形的边长为 2cm。
变式 1、如图，在长为 20、宽为 16的长方形中，有形状、大小完全相同的 5个小长方形，则
图中涂色部分的面积为______。
答案：80
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10.4 实际问题与二元一次方程组
例 2、在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知 1辆甲种车和 1辆
乙种车一次共可运土 20立方米，5辆甲种车和 2辆乙种车一次共可运土 64立方米，求甲、乙
两种车每辆一次分别可运土多少立方米。
答案：设每辆甲种车一次可运土 立方米，每辆乙种车一次可运土 立方米。
+ = 20 = 8
根据题意，得 5 + 2 = 64 ， 解得 = 12
∴ 每辆甲种车一次可运土 8立方米，每辆乙种车一次可运土 12立方米。
变式 2、某中学为了进一步改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍。拆除旧校舍
每平方米需 80元，建造新校舍每平方米需要 800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共
9000平方米。在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的 90％，而拆除旧校舍则超
过了计划的 10％，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积。
（1） 原计划拆、建面积各是多少平方米？
（2） 若绿化 1平方米需要 200元，则把在实际的拆、建工程中结余资金全部用来绿化，可绿
化多少平方米？
答案：（1）设原计划拆旧舍 平方米，建新舍 平方米，
+ = 9000 = 4500
则 1.1 + 0.9 = 9000 。 解得 = 4500
∴ 原计划拆、建各 4500平方米。
（2）计划资金为 4500 × 80 + 4500 × 800 = 3960000元，
实际资金为 1.1 × 4500 × 80 + 0.9 × 4500 × 800 = 3636000元，
结余 3960000 3636000 = 324000元，
可绿化 324000 ÷ 200 = 1620平方米。
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10.4 实际问题与二元一次方程组
第三课时
考点梳理
1.列方程组解决实际问题，一般采用直接设元法，但有的实际问题需要采用______设元法。
2.方程组是解决________________问题的重要工具，用方程组解决问题时，要根据问题中的数
量关系列出方程组。分析问题的方法较多，如画示意图法、列表法，要根据所要解决的问题灵
活处理。
答案：1. 间接；2. 含有多个未知数
课堂讲练
例 1、母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，请根据如图所示的信息回答问题：
（1） 求一束鲜花和一个礼盒的价格；
（2） 若小强给妈妈买了一束鲜花和一个礼盒，小强一共花了多少钱？
答案：（1）设一束鲜花的价格为 元，一个礼盒的价格为 元。
+ 2 = 143 = 33
由题意，得 2 + = 121 ， 解得 = 55
∴ 一束鲜花的价格为 33元，一个礼盒的价格为 55元。
（2）小强一共花了 33 + 55 = 88元。
变式 1、如图， ⊥ ，∠ 的度数比∠ 的度数的两倍少 15°。
设∠ 和∠ 的度数分别为 °， °，根据题意，所列方程组是______________________。
+ = 90
答案： = 2 15
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10.4 实际问题与二元一次方程组
例 2、学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，去时以 60km/h的速度走平路，后又以 30km/h
的速度爬坡，共用了 6.5h；返程时汽车以 40km/h的速度下坡，又以 50km/h的速度走平路，
共用了 6h，求平路和坡路的路程。
答案：设平路的路程为 ，坡路的路程为 。

+ = 6.5
60 30 = 150由题意，得 ， 解得
+ = 6 = 120
50 40
∴ 平路的路程为 150km，坡路的路程为 120km。
变式 2、甲、乙两人沿 400m的环形跑道同时同地出发跑步。如果同向而行，那么经过 200s两
人相遇；如果背向而行，那么经过 50s两人相遇。求甲、乙两人的跑步速度（甲的速度快）。
答案：设甲的跑步速度是 / ，乙的跑步速度是 / 。
200 200 = 400 = 5
依题意，得 50 + 50 = 400 ， 解得 = 3
∴ 甲的跑步速度是 5m/s，乙的跑步速度是 3m/s。
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第一课时
考点梳理
列方程组解决实际问题的步骤：审题，找出包含题目全部含义的两个等量关系；判断已知量和
未知量，设出______；列出____________；解二元一次方程组；检验，写出实际问题的答案。
课堂讲练
例 1、某区中学生足球赛共赛 8轮（即每队均需参赛 8场），胜一场得 3分，平一场得 1分，
负一场得 0分。在这次足球联赛中，猛虎队踢平的场数是踢负的场数的 2倍，共得 17分，则
该队共胜______场。
例 2、乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业。某村有部分返乡青年承包了一些田地，
采用新技术种植 A，B两种农作物。种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金/万元
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共 24名，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共 60万元，则 A，B
这两种农作物的种植面积各多少公顷？
变式、学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球。已知购买 3个篮球和 2个足球
共 490元，购买 2个篮球和 3个足球共 460元。
（1） 篮球、足球的单价各是多少元？
（2） 该店在“五四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售。节日期间购
买 10个篮球和 10个足球只需 1710元，该店的商品按原价的几折出售？
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10.4 实际问题与二元一次方程组
第二课时
考点梳理
教材第 102页探究 2是一个开放性问题，其解决方法不唯一，通过此题，同学们可以体会一题
多解的问题情境，解决这个问题要注意两点：一是要把这块地分成两块小长方形土地；二是要
把分得的两块地分别种植甲、乙两种作物，它们的总产量的比是 3∶4。根据这两点要求，就
可以____________求解。
课堂讲练
例 1、如图①，从边长为$x$cm的大正方形中剪去一个边长为 y cm的小正方形，剩余部分的
面积为 21cm ，并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图②所示
的宽为 3cm的长方形，请求出大正方形和小正方形的边长。
变式 1、如图，在长为 20、宽为 16的长方形中，有形状、大小完全相同的 5个小长方形，则
图中涂色部分的面积为______。
例 2、在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知 1辆甲种车和 1辆
乙种车一次共可运土 20立方米，5辆甲种车和 2辆乙种车一次共可运土 64立方米，求甲、乙
两种车每辆一次分别可运土多少立方米。
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10.4 实际问题与二元一次方程组
变式 2、某中学为了进一步改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍。拆除旧校舍
每平方米需 80元，建造新校舍每平方米需要 800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共
9000平方米。在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的 90％，而拆除旧校舍则超
过了计划的 10％，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积。
（1） 原计划拆、建面积各是多少平方米？
（2） 若绿化 1平方米需要 200元，则把在实际的拆、建工程中结余资金全部用来绿化，可绿
化多少平方米？
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10.4 实际问题与二元一次方程组
第三课时
考点梳理
1.列方程组解决实际问题，一般采用直接设元法，但有的实际问题需要采用______设元法。
2.方程组是解决__________问题的重要工具，用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系
列出方程组。分析问题的方法较多，如画示意图法、列表法，要根据所要解决的问题灵活处理。
课堂讲练
例 1、母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，请根据如图所示的信息回答问题：
（1） 求一束鲜花和一个礼盒的价格；
（2） 若小强给妈妈买了一束鲜花和一个礼盒，小强一共花了多少钱？
变式 1、如图， ⊥ ，∠ 的度数比∠ 的度数的两倍少 15°。
设∠ 和∠ 的度数分别为 °， °，根据题意，
所列方程组是______________________。
例 2、学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，去时以 60km/h的速度走平路，后又以 30km/h
的速度爬坡，共用了 6.5h；返程时汽车以 40km/h的速度下坡，又以 50km/h的速度走平路，
共用了 6h，求平路和坡路的路程。
变式 2、甲、乙两人沿 400m的环形跑道同时同地出发跑步。如果同向而行，那么经过 200s两
人相遇；如果背向而行，那么经过 50s两人相遇。求甲、乙两人的跑步速度（甲的速度快）。
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