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7.1.2 两条直线垂直
考点梳理
1. 一般地，当两条直线 a，b相交所成的四个角中，有一个角是 时，我们说 a与 b互相
垂直，记作“a⊥b”。两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点
叫作 。
2. 关于垂线的基本事实：在同一平面内，过一点 与已知直线垂直。
3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短。简单说成： 。
4. 直线外一点到这条直线的 的长度，叫作点到直线的距离。
课堂讲练
例 1、如图，直线 AB与直线 CD相交于点 O，下列条件中，不能说明 AB⊥CD的是 （ ）
A.∠AOC＝90°
B.∠AOC＋∠BOD＝180°
C.∠AOC＝∠BOD
D.∠AOC＝∠BOC
变式 1、如图，直线 AB⊥CD于点 O，EF为过点 O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成
立的是 （ ）
A. 互为余角
B. 互为补角
C. 互为对顶角
D. 互为邻补角
例 2、根据下列语句画图：
（1） 如图①，过点 P画射线 AB的垂线，Q为垂足；
（2） 如图②，过点 P画射线 BN的垂线，交射线 BN的反向延长线于点 Q；
（3） 如图③，过点 P画线段 AM的垂线，交线段 AM的延长线于点 Q。
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7.1.2 两条直线垂直
变式 2、如图①②，分别过点 P作 AB的垂线，垂足为 C。
例 3、如图，O是直线 AB上一点，射线 OC，OD，OE在直线 AB的同一侧，且 OC平分∠AOE，
OD⊥OC，∠COE＝40°，求∠AOD的度数。
变式 3、如图，直线 AB，CD相交于点 O，OE⊥AB。若∠AOD＝150°，则∠COE的度数为（ ）
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
变式 3图 变式 4图
变式 4、如图，OA⊥OB，OC⊥OD，垂足为 O，∠AOD＝120°，则∠COB的度数为 。
变式 5、如图，直线 AB，CD相交于点 O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，OF⊥OE。求：
（1） ∠BOD的度数；
（2） ∠DOF的度数。
例 4、如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线
上选一点来建火车站，应建在 （ ）
A. 点 A处 B. 点 B处
C. 点 C处 D. 点 D处
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7.1.2 两条直线垂直
变式 6、如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是 （ ）
A. 两个现象均可用两点之间线段最短来解释
B. 现象 1用垂线段最短来解释，现象 2用经过两点有且只有一条直线来解释
C. 现象 1用垂线段最短来解释，现象 2用两点之间线段最短来解释
D. 现象 1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象 2用垂线段最短来解释
例 5、如图，量得直线 l外一点 P到 l的距离 PB的长为 6cm。若 A是直线 l上的一点，则线段
PA的长不可能是（ ）
A. 5.5cm B. 6.2cm C. 7.5cm D. 8cm
变式 7、如图，P是直线 a外一点，A，B，C，D为直线 a上的点，PA＝5，PB＝4，PC＝3，
PD＝7，根据所给数据写出点 P到直线 a的距离 d的取值范围： 。
变式 8、如图，AB，CD，NE相交于点 O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°。
（1） 线段 的长度表示点M到 NE的距离；
（2） 比较MN与MO的长短（用“＜”连接），并说明理由；
（3） 求∠AON的度数。
7/857.1.2 两条直线垂直
考点梳理
1. 一般地，当两条直线 a，b相交所成的四个角中，有一个角是 时，我们说 a与 b互相
垂直，记作“a⊥b”。两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点
叫作 。
答案：直角；垂足
2. 关于垂线的基本事实：在同一平面内，过一点 与已知直线垂直。
答案：有且只有一条直线
3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短。简单说成： 。
答案：垂线段；垂线段最短
4. 直线外一点到这条直线的 的长度，叫作点到直线的距离。
答案：垂线段
课堂讲练
例 1、如图，直线 AB与直线 CD相交于点 O，下列条件中，不能说明 AB⊥CD的是 （ ）
A.∠AOC＝90° B.∠AOC＋∠BOD＝180°
C.∠AOC＝∠BOD D.∠AOC＝∠BOC
答案：C
变式 1、如图，直线 AB⊥CD于点 O，EF为过点 O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成
立的是 （ ）
A. 互为余角 B. 互为补角
C. 互为对顶角 D. 互为邻补角
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7.1.2 两条直线垂直
答案：A
解析：因为 AB⊥CD，所以∠COB=90°，即∠1+∠COE=90°。又因为∠2和∠COE是对顶角，
所以∠2=∠COE，因此∠1+∠2=90°，即两角互为余角。
例 2、根据下列语句画图：
（1） 如图①，过点 P画射线 AB的垂线，Q为垂足；
答案：
（2） 如图②，过点 P画射线 BN的垂线，交射线 BN的反向延长线于点 Q；
答案：
（3） 如图③，过点 P画线段 AM的垂线，交线段 AM的延长线于点 Q。
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7.1.2 两条直线垂直
答案：
变式 2、如图①②，分别过点 P作 AB的垂线，垂足为 C。
答案：
例 3、如图，O是直线 AB上一点，射线 OC，OD，OE在直线 AB的同一侧，且 OC平分∠AOE，
OD⊥OC，∠COE＝40°，求∠AOD的度数。
答案：因为 OC平分∠AOE，所以∠AOC＝∠COE＝40°。因为 OD⊥OC，所以∠COD＝90°。
所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝40°+90°＝130°。
变式 3、如图，直线 AB，CD相交于点 O，OE⊥AB。若∠AOD＝150°，则∠COE的度数为（ ）
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
答案：B
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7.1.2 两条直线垂直
变式 4、如图，OA⊥OB，OC⊥OD，垂足为 O，∠AOD＝120°，则∠COB的度数为 。
答案：60°
变式 5、如图，直线 AB，CD相交于点 O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，OF⊥OE。求：
（1） ∠BOD的度数；
1
答案：因为 OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，所以∠AOC＝2∠EOC＝35°。因为∠BOD 和∠AOC
是对顶角，所以∠BOD＝∠AOC＝35°。
（2） ∠DOF的度数。
答案：因为 OF⊥OE，所以∠EOF＝90°。因为∠EOC＝70°，所以∠DOF＝180°－∠EOF－∠EOC
＝180°－90°－70°＝20°。
例 4、如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线
上选一点来建火车站，应建在 （ ）
A. 点 A处 B. 点 B处 C. 点 C处 D. 点 D处
答案：A
解析：根据垂线段最短的原理，点到直线的最短距离是垂线段的长度，因此应选李庄到铁路的
垂足位置建火车站，即点 A处。
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7.1.2 两条直线垂直
变式 6、如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是 （ ）
A. 两个现象均可用两点之间线段最短来解释
B. 现象 1用垂线段最短来解释，现象 2用经过两点有且只有一条直线来解释
C. 现象 1用垂线段最短来解释，现象 2用两点之间线段最短来解释
D. 现象 1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象 2用垂线段最短来解释
答案：C
例 5、如图，量得直线 l外一点 P到 l的距离 PB的长为 6cm。若 A是直线 l上的一点，则线段
PA的长不可能是（ ）
A. 5.5cm B. 6.2cm C. 7.5cm D. 8cm
答案：A
变式 7、如图，P是直线 a外一点，A，B，C，D为直线 a上的点，PA＝5，PB＝4，PC＝3，
PD＝7，根据所给数据写出点 P到直线 a的距离 d的取值范围： 。
答案：0 < ≤ 3
变式 8、如图，AB，CD，NE相交于点 O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°。
（1） 线段 的长度表示点M到 NE的距离；
答案：MO
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7.1.2 两条直线垂直
（2） 比较MN与MO的长短（用“＜”连接），并说明理由；
答案：MO＜MN 理由：垂线段最短。MO是点M到 NE的垂线段，MN是点M到 NE的斜线
段，根据垂线段最短，所以MO＜MN。
（3） 求∠AON的度数。
1
答案：因为∠BOD＝∠AOC＝50°，OM平分∠BOD，所以∠ ＝ ∠ = 25°2 。所以∠AON
＝180°－∠BOM－∠MON＝180°－25°－90°＝65°。
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