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第20章《勾股定理》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各组数据中，能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．6，7，8 C．2，3，4 D．3，3，
【分析】比较两条较短线段的平方和与较长线段的平方之间的关系，进行判断即可．
【解答】解：，不能组成直角三角形，故选项A不符合题意；
62+72≠82，不能组成直角三角形，故选项B不符合题意；
22+32≠42，不能组成直角三角形，故选项C不符合题意；
，能组成直角三角形，故选项D符合题意；
故选：D．
2．（3分）若正方形的对角线长为2，则这个正方形的面积为（　　）
A．2 B．4 C． D．2
【分析】根据正方形的性质，对角线平分、相等、垂直且平分每一组对角求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝BOAC＝1cm，∠AOB＝90°，
由勾股定理得，ABcm，
S正＝（）2＝2cm2．
故选：A．
3．（3分）一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
【分析】设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，再根据勾股定理求出x的值即可．
【解答】解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，
根据勾股定理得，62+（x﹣2）2＝x2，
解得x＝10，
故选：C．
4．（3分）如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，则AC等于（　　）
A．6 B． C． D．4
【分析】利用两次勾股定理即可解答．
【解答】解：∵AD⊥BC
∴∠ADC＝∠ADB＝90°
∵AB＝3，BD＝2，
∴AD
∵DC＝1
∴AC．
故选：B．
5．（3分）我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【解答】解：选项A：如图，
大正方形的面积等于四个三角形的面积加两小正方形的面积，
∴4ab+a2+b2＝（a+b）2，
故选项A不能得出勾股定理，符合题意；
选项B：如图，
大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴4ab+c2＝（a+b）2，
整理得a2+b2＝c2，
故选项B能得出勾股定理，不符合题意；
选项C：如图，
由图可得abab+c2＝6ab+（a﹣b）2，
整理得a2+b2＝c2，
故选项C能得出勾股定理，不符合题意；
选项D：如图，
由图可知S正方形ABDE＝4S△ABC+S正方形FCHG，
∵大正方形的面积＝c2，小正方形的面积＝（a﹣b）2，
∴4ab+（a﹣b）2＝（a+b）2，
即c2＝a2+b2，
故选项D能得出勾股定理，不符合题意；
故选：A．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是BC边上的中线，且AD＝2，则BC的长为（　　）
A． B． C．8 D．
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，先运用SAS证明△ADC≌△EDB，得出BE＝5，再由勾股定理的逆定理证明出∠BAE＝90°，然后在△ABD中运用勾股定理求出BD的长，从而得出BC＝2BD．
【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝5，
在△ABE中，AB＝3，AE＝4，BE＝5，
∴AB2+AE2＝BE2，
∴∠BAE＝90°．
在△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝2，
∴BD，
∴BC＝2BD＝2．
故选：A．
7．（3分）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图所示：
S△ABCBC×AEBD×AC，
∵AE＝4，AC5，BC＝4
即4×45×BD，
解得：BD．
故选：C．
8．（3分）在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则所列方程为（　　）
A．x2＝102+（x﹣5﹣1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102
C．x2＝102+（x+1﹣5）2 D．x2＝（x+1）2+102
【分析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB＝（x+1﹣5）尺，利用勾股定理可得x2＝102+（x+1﹣5）2．
【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：
x2＝102+（x+1﹣5）2，
故选：C．
9．（3分）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（　　）
A．12.5 B．13 C．14 D．15
【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝7，
∴π×（）2π×（）2AC×BCπ×（）2＝7，
∴AC×BC＝14，
∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC BC＝62+2×14＝64，
∴AC+BC＝8（负值舍去），
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+6＝14，
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝5，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，则CD的长为（　　）
A．12 B．13 C． D．14
【分析】根据题意证明△ABC≌△BDE（AAS）得出DE＝BC＝5，BE＝AC＝7，进而在Rt△CDE中，根据勾股定理，即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，则∠E＝90°，
依题意，AB＝DB，∠ABD＝90°，
∴∠ABC+∠DBE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，∠ACB＝∠E，
∴∠DBE＝∠A，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴DE＝BC，BE＝AC，
∵AC＝7，BC＝5，
∴DE＝5，BE＝7，
在Rt△CDE中，CE＝CB+BE＝5+7＝12，
由勾股定理得：，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为 　10　 ．
【分析】已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．
【解答】解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，
故斜边长10，
故答案为 10．
12．（3分）如图，以直角三角形的一条直角边向外作正方形A，若A的面积是225，斜边长度是17，则它另一条直角边的长度是 　8　 ．
【分析】由正方形的性质得BC2＝225，再由勾股定理求出BD的长即可．
【解答】解：如图，
∵正方形A的面积是225，
∴BC2＝225，
∵△BCD是直角三角形，∠DBC＝90°，CD＝17，
∴BD8，
即另一条直角边的长度是8，
故答案为：8．
13．（3分）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　10　 米．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图，设大树高为AB＝12m，
小树高为CD＝6m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝6m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝12﹣6＝6（m），
在Rt△AEC中，
AC10（m）．
故小鸟至少飞行10m．
故答案为：10．
14．（3分）等腰△ABC的腰长AB＝AC＝10，一腰上的高BD＝6，则底边BC＝　2或6　 ．
【分析】等腰△ABC有两种情况：①当△ABC为锐角三角形时，②当△ABC为钝角三角形时，分别画出图形，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：等腰△ABC有两种情况：
①当△ABC为锐角三角形时，如图：
∵AB＝AC＝10，BD＝6，
∴AD
＝8，
∴DC＝AC﹣AD
＝10﹣8
＝2，
∴BC
＝2；
②当△ABC为钝角三角形时，如图：
∵AB＝AC＝10，BD＝6，
∴AD
＝8，
∴DC＝AC+AD
＝10+8
＝18，
∴BC
＝6．
综上，BC的值为2或6．
故答案为：2或6．
15．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝　136　 ．
【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2，进一步得BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，再根据AD2＝AO2+DO2，BC2＝OC2+OB2，最后求得AD2+CB2＝136．
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，
∴BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2＝36，OA2+OD2＝AD2，OC2+OD2＝CD2＝100，
∴BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，
∴AD2+CB2＝BO2+CO2+OA2+OB2＝136；
故答案为：136．
16．（3分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”，图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．连结图1中相应的顶点得到图2，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若大正方形的边长为，S1＝2S2，则小正方形的边长为　1　 ．
【分析】设DF＝a，AF＝b，则AG＝BH＝CE＝DF＝a，BG＝CH＝DE＝AF＝b，可得EF＝FG＝GH＝EH＝a﹣b，从而可得阴影部分的面积S1＝a2﹣b2，空白部分的面积S2＝2b2，由S1＝2S2，可得a2＝5b2，再由大正方形的边长可得大正方形的面积为6，再由S1+S2＝6可得b＝1，从而得出a，即可求解．
【解答】解：如图，
设DF＝a，AF＝b，则AG＝BH＝CE＝DF＝a，BG＝CH＝DE＝AF＝b，
∴EF＝FG＝GH＝EH＝a﹣b，
∴阴影部分的面积S1＝S EFGH+S△AEF+S△BFG+S△CGH+S△DEH
＝（a﹣b）2b（a﹣b）b（a﹣b）b（a﹣b）b（a﹣b）
＝a2+b2﹣2ab+2ab﹣2b2
＝a2﹣b2，
空白部分的面积S2＝S△ABF+S△BCG+S△CDH+S△ADE
b2b2b2b2
＝2b2，
∵S1＝2S2，
∴a2﹣b2＝2×2b2，
∴a2＝5b2，
∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为6，
∴S1+S2＝6，
∴a2﹣b2+2b2＝a2+b2＝6b2＝6，
∴b＝1，
∴a，
∴小正方形的边长为a﹣b1，
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）根据图中条件求线段的长．
（1）AC＝　4　 ；
（2）AB＝　7　 ；
（3）AB＝　2　 ．
【分析】（1）作AD⊥CB，交CB的延长线于点D，然后根据锐角三角函数，即可求得AB的长；
（2）作AD⊥CB，交BC的延长线于点D，先根据锐角三角函数求得CD和AD的长，再根据勾股定理即可求得AB的长；
（3）作AD⊥CB，交CB的延长线于点D，然后根据锐角三角函数可以求得AD和AB的长．
【解答】解：（1）作AD⊥CB，交CB的延长线于点D，
∵∠ABC＝135°，
∴∠ABD＝45°，
∵AB＝2，∠ADB＝90°，
∴AD＝AB sin∠ABD＝22，
∵∠C＝30°，
∴AC＝2AD＝4，
故答案为：4；
（2）作AD⊥CB，交BC的延长线于点D，
∵∠BCA＝120°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝60°，
∴CD＝AC cos60°＝5，AD＝AC sin60°＝5，
∴BD＝BC+CD＝3，
∴AB7，
故答案为：7；
（3）作AD⊥CB，交CB的延长线于点D，
∵AB＝2，∠C＝30°，∠ADC＝90°，
∴AD，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝60°，
∴AB2，
故答案为：2．
18．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，求AC的值．
【分析】先根据勾股定理求出AD，再利用勾股定理即可求出AC．
【解答】解：在Rt△ABD中，AD8，
在Rt△ADC中，AC10．
19．（8分）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上，折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时．
（1）证明：EF＝EG；
（2）求AF的长．
【分析】（1）根据翻折的性质可得∠BGF＝∠EGF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BGF＝∠EFG，从而得到∠EGF＝∠EFG，再根据等角对等边证明即可；
（2）根据翻折的性质可得EG＝BG，HE＝AB，FH＝AF，然后在Rt△EFH中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】证明：（1）∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴∠BGF＝∠EGF，
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，
∴∠BGF＝∠EFG，
∴∠EGF＝∠EFG，
∴EF＝EG；
（2）∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF，
∴EF＝EG＝10，
∴FH6，
∴AF＝FH＝6．
20．（8分）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？
【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，
解得：x＝15km．（6分）
所以，E应建在距A点15km处．
21．（8分）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：24（米）；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），
根据勾股定理得：25，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
22．（10分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；
（3）求∠ABC的度数．
【分析】（1）根据勾股定理画出边长为的正方形即可；
（2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可；
（3）连接AC、求出△ACB是等腰直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图1的正方形的边长是，面积是10；
（2）如图2的三角形的边长分别为2，，；
（3）如图3，连接AC，
由勾股定理得：AC＝BC，AB2，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°．
23．（10分）如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P．
（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由；
（2）再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．
【分析】（1）可根据相似三角形的性质，判定△ABP∽△DPQ列出方程求解；
（2）能根据矩形的性质，判定△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设AP＝xcm，则PD＝（10﹣x）cm，
因为∠A＝∠D＝90°，∠BPC＝90°，
所以∠DPC＝∠ABP，
所以△ABP∽△DPC，
则，即AB DC＝PD AP，
所以4×4＝x（10﹣x），即x2﹣10x+16＝0，
解得x1＝2，x2＝8，
所以可以使三角板两直角边分别通过点B与点C，AP＝2cm或8cm；
（2）能．
设AP＝xcm，CQ＝ycm．
∵ABCD是矩形，∠HPF＝90°，
∴△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ，
∴，，
∴AP CE＝AB CQ，AP PD＝AB DQ，
∴2x＝4y，即y，
∴x（10﹣x）＝4（4+y），
∵y，
即x2﹣8x+16＝0，
解得x1＝x2＝4，
∴AP＝4cm，
即在AP＝4cm时，CE＝2 cm．
24．（12分）已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α．
（1）如图1，当α＝70°时，∠ABE＝15°时，求∠BAE的大小；
（2）当α＝90°，AB＝AC＝8时，
①如图2．连接BF，当BF＝BA，求CF的长；
②若AD，求CF的长．
【分析】（1）由平行线的性质求解∠BED＝70°，再利用三角形的外角的性质可得答案；
（2）①证明△BEF≌△AFC，可得，再利用勾股定理求解即可；
②如图，过A作AM⊥BC于M，当D在M的右边时，利用勾股定理，可得，与等面积法可得，可得，，证明△BAE≌△ACF，从而可得答案；当D在M的左边时，如图，同理可得答案．
【解答】解：（1）∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝α＝70°，
∴∠BED＝70°，
∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠ABE＝15°，
∴∠BAE＝70°﹣15°＝55°；
（2）①∵BF＝BA，AB＝AC，
∴BF＝AC，
∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝α＝90°，
∴BE⊥AF，AE＝EF，∠ABE＝∠FBE，∠BEF＝∠AFC＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FBE，
∴△BEF≌△AFC（AAS），
∴EF＝FC，
∴，
∵AB＝AC＝8，
∴CF2+（2CF）2＝64，
解得：（负根舍去）；
②如图，过A作AM⊥BC于M，当D在M的右边时，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝8，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：∠ABE＝∠CAF，
而∠AEB＝∠AFC＝90°，AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF（AAS），
∴，
当D在M的左边时，如图，
同理可得：，，，
∴；
综上：或．中小学教育资源及组卷应用平台
第20章《勾股定理》单元测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各组数据中，能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．6，7，8 C．2，3，4 D．3，3，
2．（3分）若正方形的对角线长为2，则这个正方形的面积为（　　）
A．2 B．4 C． D．2
3．（3分）一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
4．（3分）如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，则AC等于（　　）
A．6 B． C． D．4
5．（3分）我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是BC边上的中线，且AD＝2，则BC的长为（　　）
A． B． C．8 D．
7．（3分）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则所列方程为（　　）
A．x2＝102+（x﹣5﹣1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102
C．x2＝102+（x+1﹣5）2 D．x2＝（x+1）2+102
9．（3分）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（　　）
A．12.5 B．13 C．14 D．15
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝5，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，则CD的长为（　　）
A．12 B．13 C． D．14
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为 　 　 ．
12．（3分）如图，以直角三角形的一条直角边向外作正方形A，若A的面积是225，斜边长度是17，则它另一条直角边的长度是 　 　 ．
13．（3分）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　 　 米．
14．（3分）等腰△ABC的腰长AB＝AC＝10，一腰上的高BD＝6，则底边BC＝　 　 ．
15．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝　 　 ．
16．（3分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”，图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．连结图1中相应的顶点得到图2，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若大正方形的边长为，S1＝2S2，则小正方形的边长为　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）根据图中条件求线段的长．
（1）AC＝　 　 ；
（2）AB＝　 　 ；
（3）AB＝　 　 ．
18．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，求AC的值．
19．（8分）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上，折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时．
（1）证明：EF＝EG；
（2）求AF的长．
20．（8分）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？
21．（8分）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
22．（10分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；
（3）求∠ABC的度数．
23．（10分）如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P．
（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由；
（2）再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．
24．（12分）已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α．
（1）如图1，当α＝70°时，∠ABE＝15°时，求∠BAE的大小；
（2）当α＝90°，AB＝AC＝8时，
①如图2．连接BF，当BF＝BA，求CF的长；
②若AD，求CF的长．
第20章《勾股定理》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A C B A A C C C B A
一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分）
1．（3分）下列各组数据中，能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．6，7，8 C．2，3，4 D．3，3，
【分析】比较两条较短线段的平方和与较长线段的平方之间的关系，进行判断即可．
【解答】解：，不能组成直角三角形，故选项A不符合题意；
62+72≠82，不能组成直角三角形，故选项B不符合题意；
22+32≠42，不能组成直角三角形，故选项C不符合题意；
，能组成直角三角形，故选项D符合题意；
故选：D．
2．（3分）若正方形的对角线长为2，则这个正方形的面积为（　　）
A．2 B．4 C． D．2
【分析】根据正方形的性质，对角线平分、相等、垂直且平分每一组对角求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝BOAC＝1cm，∠AOB＝90°，
由勾股定理得，ABcm，
S正＝（）2＝2cm2．
故选：A．
3．（3分）一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
【分析】设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，再根据勾股定理求出x的值即可．
【解答】解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，
根据勾股定理得，62+（x﹣2）2＝x2，
解得x＝10，
故选：C．
4．（3分）如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，则AC等于（　　）
A．6 B． C． D．4
【分析】利用两次勾股定理即可解答．
【解答】解：∵AD⊥BC
∴∠ADC＝∠ADB＝90°
∵AB＝3，BD＝2，
∴AD
∵DC＝1
∴AC．
故选：B．
5．（3分）我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【解答】解：选项A：如图，
大正方形的面积等于四个三角形的面积加两小正方形的面积，
∴4ab+a2+b2＝（a+b）2，
故选项A不能得出勾股定理，符合题意；
选项B：如图，
大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴4ab+c2＝（a+b）2，
整理得a2+b2＝c2，
故选项B能得出勾股定理，不符合题意；
选项C：如图，
由图可得abab+c2＝6ab+（a﹣b）2，
整理得a2+b2＝c2，
故选项C能得出勾股定理，不符合题意；
选项D：如图，
由图可知S正方形ABDE＝4S△ABC+S正方形FCHG，
∵大正方形的面积＝c2，小正方形的面积＝（a﹣b）2，
∴4ab+（a﹣b）2＝（a+b）2，
即c2＝a2+b2，
故选项D能得出勾股定理，不符合题意；
故选：A．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是BC边上的中线，且AD＝2，则BC的长为（　　）
A． B． C．8 D．
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，先运用SAS证明△ADC≌△EDB，得出BE＝5，再由勾股定理的逆定理证明出∠BAE＝90°，然后在△ABD中运用勾股定理求出BD的长，从而得出BC＝2BD．
【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝5，
在△ABE中，AB＝3，AE＝4，BE＝5，
∴AB2+AE2＝BE2，
∴∠BAE＝90°．
在△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝2，
∴BD，
∴BC＝2BD＝2．
故选：A．
7．（3分）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图所示：
S△ABCBC×AEBD×AC，
∵AE＝4，AC5，BC＝4
即4×45×BD，
解得：BD．
故选：C．
8．（3分）在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则所列方程为（　　）
A．x2＝102+（x﹣5﹣1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102
C．x2＝102+（x+1﹣5）2 D．x2＝（x+1）2+102
【分析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB＝（x+1﹣5）尺，利用勾股定理可得x2＝102+（x+1﹣5）2．
【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：
x2＝102+（x+1﹣5）2，
故选：C．
9．（3分）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（　　）
A．12.5 B．13 C．14 D．15
【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝7，
∴π×（）2π×（）2AC×BCπ×（）2＝7，
∴AC×BC＝14，
∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC BC＝62+2×14＝64，
∴AC+BC＝8（负值舍去），
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+6＝14，
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝5，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，则CD的长为（　　）
A．12 B．13 C． D．14
【分析】根据题意证明△ABC≌△BDE（AAS）得出DE＝BC＝5，BE＝AC＝7，进而在Rt△CDE中，根据勾股定理，即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，则∠E＝90°，
依题意，AB＝DB，∠ABD＝90°，
∴∠ABC+∠DBE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，∠ACB＝∠E，
∴∠DBE＝∠A，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴DE＝BC，BE＝AC，
∵AC＝7，BC＝5，
∴DE＝5，BE＝7，
在Rt△CDE中，CE＝CB+BE＝5+7＝12，
由勾股定理得：，
故选：B．
11．（3分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”，图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．连结图1中相应的顶点得到图2，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若大正方形的边长为，S1＝2S2，则小正方形的边长为（　　）
A．1 B． C．1 D．1
【分析】设DF＝a，AF＝b，则AG＝BH＝CE＝DF＝a，BG＝CH＝DE＝AF＝b，可得EF＝FG＝GH＝EH＝a﹣b，从而可得阴影部分的面积S1＝a2﹣b2，空白部分的面积S2＝2b2，由S1＝2S2，可得a2＝5b2，再由大正方形的边长可得大正方形的面积为6，再由S1+S2＝6可得b＝1，从而得出a，即可求解．
【解答】解：如图，
设DF＝a，AF＝b，则AG＝BH＝CE＝DF＝a，BG＝CH＝DE＝AF＝b，
∴EF＝FG＝GH＝EH＝a﹣b，
∴阴影部分的面积S1＝S EFGH+S△AEF+S△BFG+S△CGH+S△DEH
＝（a﹣b）2b（a﹣b）b（a﹣b）b（a﹣b）b（a﹣b）
＝a2+b2﹣2ab+2ab﹣2b2
＝a2﹣b2，
空白部分的面积S2＝S△ABF+S△BCG+S△CDH+S△ADE
b2b2b2b2
＝2b2，
∵S1＝2S2，
∴a2﹣b2＝2×2b2，
∴a2＝5b2，
∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为6，
∴S1+S2＝6，
∴a2﹣b2+2b2＝a2+b2＝6b2＝6，
∴b＝1，
∴a，
∴小正方形的边长为a﹣b1，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
12．（3分）若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为 　10　 ．
【分析】已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．
【解答】解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，
故斜边长10，
故答案为 10．
13．（3分）如图，以直角三角形的一条直角边向外作正方形A，若A的面积是225，斜边长度是17，则它另一条直角边的长度是 　8　 ．
【分析】由正方形的性质得BC2＝225，再由勾股定理求出BD的长即可．
【解答】解：如图，
∵正方形A的面积是225，
∴BC2＝225，
∵△BCD是直角三角形，∠DBC＝90°，CD＝17，
∴BD8，
即另一条直角边的长度是8，
故答案为：8．
14．（3分）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　10　 米．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图，设大树高为AB＝12m，
小树高为CD＝6m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝6m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝12﹣6＝6（m），
在Rt△AEC中，
AC10（m）．
故小鸟至少飞行10m．
故答案为：10．
15．（3分）等腰△ABC的腰长AB＝AC＝10，一腰上的高BD＝6，则底边BC＝　2或6　 ．
【分析】等腰△ABC有两种情况：①当△ABC为锐角三角形时，②当△ABC为钝角三角形时，分别画出图形，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：等腰△ABC有两种情况：
①当△ABC为锐角三角形时，如图：
∵AB＝AC＝10，BD＝6，
∴AD
＝8，
∴DC＝AC﹣AD
＝10﹣8
＝2，
∴BC
＝2；
②当△ABC为钝角三角形时，如图：
∵AB＝AC＝10，BD＝6，
∴AD
＝8，
∴DC＝AC+AD
＝10+8
＝18，
∴BC
＝6．
综上，BC的值为2或6．
故答案为：2或6．
16．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝　136　 ．
【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2，进一步得BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，再根据AD2＝AO2+DO2，BC2＝OC2+OB2，最后求得AD2+CB2＝136．
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，
∴BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2＝36，OA2+OD2＝AD2，OC2+OD2＝CD2＝100，
∴BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，
∴AD2+CB2＝BO2+CO2+OA2+OB2＝136；
故答案为：136．
17．（3分）根据图中条件求线段的长．
（1）AC＝　4　 ；
（2）AB＝　7　 ；
（3）AB＝　2　 ．
【分析】（1）作AD⊥CB，交CB的延长线于点D，然后根据锐角三角函数，即可求得AB的长；
（2）作AD⊥CB，交BC的延长线于点D，先根据锐角三角函数求得CD和AD的长，再根据勾股定理即可求得AB的长；
（3）作AD⊥CB，交CB的延长线于点D，然后根据锐角三角函数可以求得AD和AB的长．
【解答】解：（1）作AD⊥CB，交CB的延长线于点D，
∵∠ABC＝135°，
∴∠ABD＝45°，
∵AB＝2，∠ADB＝90°，
∴AD＝AB sin∠ABD＝22，
∵∠C＝30°，
∴AC＝2AD＝4，
故答案为：4；
（2）作AD⊥CB，交BC的延长线于点D，
∵∠BCA＝120°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝60°，
∴CD＝AC cos60°＝5，AD＝AC sin60°＝5，
∴BD＝BC+CD＝3，
∴AB7，
故答案为：7；
（3）作AD⊥CB，交CB的延长线于点D，
∵AB＝2，∠C＝30°，∠ADC＝90°，
∴AD，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝60°，
∴AB2，
故答案为：2．
三．解答题（共7小题，满分64分）
18．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，求AC的值．
【分析】先根据勾股定理求出AD，再利用勾股定理即可求出AC．
【解答】解：在Rt△ABD中，AD8，
在Rt△ADC中，AC10．
19．（8分）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上，折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时．
（1）证明：EF＝EG；
（2）求AF的长．
【分析】（1）根据翻折的性质可得∠BGF＝∠EGF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BGF＝∠EFG，从而得到∠EGF＝∠EFG，再根据等角对等边证明即可；
（2）根据翻折的性质可得EG＝BG，HE＝AB，FH＝AF，然后在Rt△EFH中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】证明：（1）∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴∠BGF＝∠EGF，
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，
∴∠BGF＝∠EFG，
∴∠EGF＝∠EFG，
∴EF＝EG；
（2）∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF，
∴EF＝EG＝10，
∴FH6，
∴AF＝FH＝6．
20．（8分）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？
【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，
解得：x＝15km．（6分）
所以，E应建在距A点15km处．
21．（8分）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：24（米）；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），
根据勾股定理得：25，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
22．（10分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；
（3）求∠ABC的度数．
【分析】（1）根据勾股定理画出边长为的正方形即可；
（2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可；
（3）连接AC、求出△ACB是等腰直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图1的正方形的边长是，面积是10；
（2）如图2的三角形的边长分别为2，，；
（3）如图3，连接AC，
由勾股定理得：AC＝BC，AB2，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°．
23．（10分）如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P．
（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由；
（2）再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．
【分析】（1）可根据相似三角形的性质，判定△ABP∽△DPQ列出方程求解；
（2）能根据矩形的性质，判定△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设AP＝xcm，则PD＝（10﹣x）cm，
因为∠A＝∠D＝90°，∠BPC＝90°，
所以∠DPC＝∠ABP，
所以△ABP∽△DPC，
则，即AB DC＝PD AP，
所以4×4＝x（10﹣x），即x2﹣10x+16＝0，
解得x1＝2，x2＝8，
所以可以使三角板两直角边分别通过点B与点C，AP＝2cm或8cm；
（2）能．
设AP＝xcm，CQ＝ycm．
∵ABCD是矩形，∠HPF＝90°，
∴△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ，
∴，，
∴AP CE＝AB CQ，AP PD＝AB DQ，
∴2x＝4y，即y，
∴x（10﹣x）＝4（4+y），
∵y，
即x2﹣8x+16＝0，
解得x1＝x2＝4，
∴AP＝4cm，
即在AP＝4cm时，CE＝2 cm．
24．（12分）已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α．
（1）如图1，当α＝70°时，∠ABE＝15°时，求∠BAE的大小；
（2）当α＝90°，AB＝AC＝8时，
①如图2．连接BF，当BF＝BA，求CF的长；
②若AD，求CF的长．
【分析】（1）由平行线的性质求解∠BED＝70°，再利用三角形的外角的性质可得答案；
（2）①证明△BEF≌△AFC，可得，再利用勾股定理求解即可；
②如图，过A作AM⊥BC于M，当D在M的右边时，利用勾股定理，可得，与等面积法可得，可得，，证明△BAE≌△ACF，从而可得答案；当D在M的左边时，如图，同理可得答案．
【解答】解：（1）∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝α＝70°，
∴∠BED＝70°，
∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠ABE＝15°，
∴∠BAE＝70°﹣15°＝55°；
（2）①∵BF＝BA，AB＝AC，
∴BF＝AC，
∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝α＝90°，
∴BE⊥AF，AE＝EF，∠ABE＝∠FBE，∠BEF＝∠AFC＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FBE，
∴△BEF≌△AFC（AAS），
∴EF＝FC，
∴，
∵AB＝AC＝8，
∴CF2+（2CF）2＝64，
解得：（负根舍去）；
②如图，过A作AM⊥BC于M，当D在M的右边时，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝8，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：∠ABE＝∠CAF，
而∠AEB＝∠AFC＝90°，AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF（AAS），
∴，
当D在M的左边时，如图，
同理可得：，，，
∴；
综上：或．

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