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广东省深圳市深圳高级中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
1．（2026八上·深圳期末）下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： A． 是循环小数，属于有理数；
B．是无限不循环小数，属于无理数；
C．是分数，属于有理数；
D．是整数，属于有理数．
故答案为：B．
【分析】无理数，即无限不循环小数。选项中只有B选项满足无理数的条件。有理数包括整数和分数，其中循环小数也属于有理数。
2．（2026八上·深圳期末）下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A：不能合并，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
3．（2026八上·深圳期末）如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若表示嘴部点A的坐标为，表示尾部点B的坐标为，则表示足部点C的坐标为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：建立直角坐标系如下：
∵嘴部点A的坐标为，尾部点B的坐标为，
∴点C的坐标为：．
故答案为：C．
【分析】本题根据点的坐标以及图中信息，先建立直角坐标系，然后根据点的坐标确定出坐标轴的位置，即可求得点C的坐标．
4．（2026八上·深圳期末）下列四组数，不能作为直角三角形三条边的长度的是（　　）
A． B．6，8，10 C．7，40，41 D．5，12，13
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：，能作为直角三角形三条边的长度，不符合题意；
B：62+82=102，能作为直角三角形三条边的长度，不符合题意；
C：72+402≠412，不能作为直角三角形三条边的长度，符合题意；
D：52+122=132，能作为直角三角形三条边的长度，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
5．（2026八上·深圳期末）下列命题中，假命题的是（　　）
A．全等三角形的面积相等
B．位于第三象限的点，横纵坐标都为负数
C．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．一组数据的众数可以不唯一
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；点的坐标与象限的关系；众数；同旁内角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A：全等三角形的面积相等是真命题，不符合题意；
B：位于第三象限的点，横纵坐标都为负数是真命题，不符合题意；
C：平行的两直线被第三条直线所截，同旁内角互补，是假命题符合题意；
D：一组数据的众数可以不唯一是真命题，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据全等三角形性质，象限内点的坐标特征，同旁内角的定义，众数的意义逐项进行判断即可求出答案.
6．（2026八上·深圳期末）若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则一次函数的图像是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限，
∴函数值随的增大而减小，即，，
∴，
在一次函数中，-b＞0，，
∴该一次函数为增函数，且经过一、三、四象限，
四个选项中，只有符合题意，
故答案为：．
【分析】本题先依据条件“一次函数的图像经过第二、三、四象限”，从而确定该函数的增减情况，并进一步得出，，然后依据不等式的性质计算出；此时分析一次函数中的系数和常数项，即可得出一次函数的图像经过一、三、四象限。
7．（2026八上·深圳期末）兔年来临，小兰要做玩偶兔子和福袋作为新年礼物，她去市场买了36米布，每米布可以做兔子25只，或者福袋40个，小兰将1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物，结果发现布没有剩余，恰好配套做成了礼物．若设用x米布做兔子，用y米布做福袋，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设用x米布做兔子，用y米布做福袋，
依题意可列出方程组：，
故答案为：C.
【分析】根据“ 她去市场买了36米布， 将1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物 ”即可列车二元一次方程组。
8．（2026八上·深圳期末）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距，汽车出发前油箱中有油L，途中加油若干升（加油时间忽略不计），加油前、后汽车都以km/h的速度匀速行驶，已知油箱中的剩余油量y(L)与行驶时间t(h)之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（　　）
A．当时，y(L)与t(h)之间的函数表达式为
B．途中加油L
C．汽车加油后还可行驶4h
D．汽车到达乙地时油箱中的剩余油量为6L
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可得，当时，y(L)与t(h)之间的函数关系为一次函数，设，将点和代入可得，解得所以y(L)与t(h)之间的函数关系式为，故A错误.
途中加油(L)，故B错误.
汽车加油后还可行驶：（小时），故C正确.
汽车到达乙地时油箱中的剩余油量为：(L)，故D错误.
故答案为：C．
【分析】根据函数图象中的数据，求出当时，y(L)与t(h)之间的函数表达式可判断A，进一步计算出途中加油的升数，从而判断B，根据函数图象中的数据，计算出汽车加油后还可行驶的时间，即可判断C，根据题意和函数图象中的数据，可以计算出汽车到达乙地时油箱中的剩余油量，即可得答案.
9．（2026八上·深圳期末） =　 　．
【答案】﹣2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解： =﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】因为﹣2的立方是﹣8，所以 的值为﹣2．
10．（2026八上·深圳期末）小文参加了学校广播站招聘小记者的三项素质测试，成绩（百分制）如下：采访写作分，计算机操作分，创意设计分．若采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按，，的比例计算最终成绩，则她的素质测试的最终成绩为　 　分．
【答案】83
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（分），
即她的素质测试的最终成绩为83分．
故答案为：．
【分析】本题根据加权平均数的定义，结合条件“ 采访写作分，计算机操作分，创意设计分，采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按，，的比例计算最终成绩 ”，将各科成绩乘以对应的权重比例后求和即可。
11．（2026八上·深圳期末）若一次函数的图像与的图像相交于点，则关于x，y的方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：将点代入函数，得，
即点．
方程组可化为，
∴方程组的解即为两直线的交点坐标，即．
故答案为：．
【分析】本题用待定系数法将点代入中，求出m=-4后，即可得出M点的坐标；然后将方程组变形发现方程组的解即为两直线的交点坐标，从而得出方程组的解．
12．（2026八上·深圳期末）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：结合条件和图象可知，当点到达点时，此时点与点重合；
当点在上运动时，的值为的长为定值，随着的增大逐渐减小；
当点运动到时，此时，；
当点与点重合时，此时，，即；
设点运动到时，，则：，，
在中，AB2=BC2+AC2，即，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】本题先结合条件和图象对P点进行分析，分析到当点与点重合时，此时，此时得出；然后假设点运动到时，此时，从而得出，，这时放到中，利用勾股定理列出方程求出，进而即可求出的值．
13．（2026八上·深圳期末）如图，在中，，，D为上一点，连接，过点A作，取，连接交于F．若，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，过点作于点．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
，
∴，
∴
在中，由勾股定理得
．
【分析】做辅助线后，利用等腰三角形三线合一的性质得出，然后利用角度推出，从而结合AAS分别得出和，利用全等三角形的性质综合得出，最后放到中，利用勾股定理即可求出的长度．
14．（2026八上·深圳期末）（1）计算：
（2）解方程组：
【答案】（1）解：原式
（2）解：
由②得
将③代入①，得，
解得，
将代入③，得，
∴原方程组的解为．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的除法 ，乘法和零指数幂 ，然后计算加减即可；
（2）利用消元法先计算出y=0，最后将y=0代入任意一个方程中求出x即可完成解方程．
15．（2026八上·深圳期末）学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88．
八年级20名学生竞赛成绩是：63，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99．
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 a c
方差
根据以上数据分析信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ， ；
（2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选 年级更合适（填“七”或“八”）；
（3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？
【答案】（1）84，72，83，30
（2）八
（3）解：（人）．
∴该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有293人．
【知识点】扇形统计图；中位数；方差；用样本所占百分比估计总体数量；四分位数
【解析】【解答】（1）解：D组有（人），C组有（人），
根据题意可得B组中有7人，因此A组中有人，
∴，即．
∵七年级竞赛成绩的数据从小到大排列后，中位数是第10和11个数据，2+5+7=14，
∴中位数在B组，且第10和11个数据是84，84，
∴，
八年级竞赛成绩的中位数，
由箱线图可知，b八年级竞赛成绩从小到大排列前10个数据的中位数，即第5个数据72，故．
解：八年级更合适，
理由：∵七年级和八年级的平均数相同，而该校八年级的方差小于七年级方差，成绩比七年级稳定，
∴八年级更合适．
故答案为：（1）84，72，83，30；（2）八．
【分析】（1）七年级抽取的是20人，结合扇形统计图中的信息可以列式先求出D组和C组的人数，结合B组数据得出B组的人数，最后最差即可求出A组的人数，此时即可求出A组中的占比；再利用中位数定义分析计算即可求出a、c、b的值；
（2）结合数据中平均数和方差，最后根据“方差越小数据越稳定性”即可解答；
（3）利用样本估计总体计算方法，分别求出七年级有学生560人对应的竞赛成绩不低于90分的学生人数有560×30%人，以及“ 八年级有学生500人 ”对应的竞赛成绩不低于90分的学生人数有500×人，最后求和计算即可。
（1）解：七年级20名学生竞赛成绩在D组中有（人），C组所占中有（人），
根据题意可得B组中有7人，故A组中有人，
∵七年级竞赛成绩的中位数a是数据从小到大排列后的第10和11个数据的平均数，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是84，84，
∴，
∵八年级竞赛成绩的中位数c是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是82，84，
∴，
由八年级所抽取学生成绩的箱线图可知：b是第一四分位数，即八年级竞赛成绩从小到大排列前10个数据的中位数，即第5个数据72，故．
∵七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据共6个，
∴，即．
故答案为：84，72，83，30．
（2）解：八年级更合适，理由：因为该校八年级的方差小于七年级方差，成绩比七年级稳定，故八年级更合适．
故答案为：八．
（3）解：（人）．
答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有293人．
16．（2026八上·深圳期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）在图中作出关于x轴的对称图形；
（2）若直线l经过点且平行于y轴，请直接写出点C关于直线l的对称点的坐标 ；
（3）的面积为 ．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）
（3）7
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；几何图形的面积计算-割补法；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】（2）解：∵直线l经过点且平行于y轴，
∴直线l为，
∵，
∴点到直线l的距离为，
假设点关于直线l的对称点，x＞0，
即x-1=2，解得x=3，
∴点关于直线l的对称点为；
（3）解：的面积=．
故答案为：（2）；（3）7.
【分析】（1）根据轴对称的性质，先分别找到A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，最后连接A1、B1、C1即可；
（2）根据条件得出直线l为，然后计算出点到直线l的距离为2，此时根据轴对称的性质假设出点关于直线l的对称点，且x＞0，此时C2到l的距离也是2，列式进行计算即可；
（3）利用网格，将△ABC放到长为5、宽为4的矩形中，然后再减去三个“底为1、高为3”、“底为3、高为5”、“底为4、高为2”的三角形，即可求出答案。
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵直线l经过点且平行于y轴，
∴直线l为，
∵，
∴点到直线l的距离为，
∴点关于直线l的对称点为；
故答案为：；
（3）解：的面积为．
17．（2026八上·深圳期末）如图，点D、E分别在的边上，，点F在线段上，且．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
．
（2）解：平分，
，
，
，，
，
．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由平行线的性质“两直线平行、同位角相等”推出，结合已知条件，从而得出，然后利用“内错角相等、两直线平行”得出，最后再根据平行线的性质即可证明结论；
（2）依据角平分线的定义及条件，推出；再结合条件和平角的定义，列式，最后即可求出∠B。
（1）证明：，
，
，
．
（2）解：平分，
，
，
，，
，
．
18．（2026八上·深圳期末）贴春联是中国人过年的重要习俗．春节临近，某百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如下表所示．全部销售后可获得利润810元．
A种春联 B种春联
进价（元/副） 15 12
售价（元/副） 18 14.5
（1）该超市购进两种春联各多少副？
（2）由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设购进副A种春联，副B种春联，
根据题意，得，
解得，
即该超市购进A种春联120副，B种春联180副．
（2）解：设购进A种春联副，B种春联副，
根据题意，得，
整理，得．
∵均为正整数，
∴满足题意的值分别有
因此有4种购买方案，
方案一：购买58副A种春联，20副B种春联；
方案二：购买41副A种春联，40副B种春联；
方案三：购买24副A种春联，60副B种春联；
方案四：购买7副A种春联，80副B种春联．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）依据条件“ 百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售 ”以及表格中的信息，可以先列式15x+12y=3960；再结合条件“ 全部销售后可获得利润810元 ”以及表格中的数据，可以列式（18-15）x+（14.5-12）y=810，最后联立方程组求解x和y即可；
（2）结合条件“ 用1500元购进这两种春联 ”、“ A种春联为20元/副，B种春联为17元/副 ”，列式，因为均为正整数，此时即可得出满足题意的值的四种情况，即为四种方案。
（1）解：设购进副A种春联，副B种春联，
根据题意，得，
解得，
答：该超市购进A种春联120副，B种春联180副．
（2）解：设购进A种春联副，B种春联副，
根据题意，得，
整理，得．
因为均为正整数，
所以满足题意的值为
所以有4种购买方案，
方案一：购买58副A种春联，20副B种春联；
方案二：购买41副A种春联，40副B种春联；
方案三：购买24副A种春联，60副B种春联；
方案四：购买7副A种春联，80副B种春联．
19．（2026八上·深圳期末）【定义新运算】
对于正实数a、b，定义运算“⊙”，满足．例如： ．
（1）计算： ， （a为正实数）；
【应用新运算】
（2）对于正实数a、b，若满足，，求a、b的值．
【拓展应用】
（3）如图，记的三边长分别为a、b、c，，，，．若，，求．
【答案】（1），；
（2）解：∵，，
∴
解得
（3）解：，，
，
，，
，
为直角三角形
，
，，
为直角三角形
，
，即
，
，
∴．
【知识点】分母有理化；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1），；
故答案为：（1），；
【分析】（1）依据新定义的计算方法分别列式计算即可；
（2）根据新定义的计算方法，先分别列出化简得到3a-2b=8、2a+b=10，此时列式关于a和b的方程组，求解即可；
（3）利用“两直线平行、内错角相等”得出，结合条件推出；此时利用SAS证明，从而推出为直角三角形，继而得出为直角三角形；利用三角形的面积公式求出，勾股定理列式并化简求出ab=6，最后再根据新运算的法则进行计算即可．
20．（2026八上·深圳期末）【定义1】如图1，在平面内，直线，点A、B分别为直线、上的点，当时，线段的长称为平行线、之间的距离，记为．
【定义2】如图2，在平面内，点P为直线l外一点（l既不是水平方向也不是竖直方向的直线），过点P分别作竖直方向和水平方向的直线，分别交直线l于点E、F，我们称折线为点P关于直线l的“7字形路径”，“7字形路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“7字形距离”．
【定义理解】（1）如图3，与是等腰直角三角形，，．① ，②点E关于直线的“7字形距离”为 ．
【定义应用】（2）如图4，在平面直角坐标系中，已知直线，将直线向上平移5个单位得到直线，直线分别与x、y轴交于点A、B，直线分别与x、y轴交于点C、D．
①求；
②求点B关于直线的“7字形距离”．
【拓展应用】（3）如图5，在平面直角坐标系中，已知直线，将直线沿y轴平移m个单位得直线，点P为直线上的动点．若点P关于直线的“7字形距离”为，求直线的表达式，并直接写出．
【答案】（1）①，②4；
（2）①由题意可知是由向上平移5个单位长度得到的；
如图，过点O作交于点F，交于点E，由可知，容易得到，均为直角三角形，
由，
令，得，则，；
令，得，则，；
由，
令，得，则，即；
令，得，则，即；
由等面积法可知，
则，，
∴；
②如图，过点B作x轴的平行线交于点G，则点B关于直线的“7字形距离”为，
，
∵，，
∴，
对于，令，得，则，
∴
．
（3）由题意可得，
设，过点P作轴交于点M，过点P作轴交于点N，
对于，令，则，可得；
令，则，即，可得，
，，
，
点P关于直线的“7字形距离”为，
，
，即，
或，即或
当时，同上得；
当时，同上得．
【知识点】勾股定理；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题；等积变换；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）①∵，，
∴，
∵与是等腰直角三角形，
∴，
∴，
如图：过点D作，即是等腰直角三角形，
∴，
∴，解得：或-（舍去负值）；
∴．
②∵与是等腰直角三角形，，，
∴，，
∴竖直方向的长度，
如图：过点E作交于H，即是等腰直角三角形，
，
∴水平方向的长度为，
∴点E关于直线的“7字形距离”为．
故答案为：（1）①，②4；
【分析】（1）①先求出BD=2，结合等腰直角三角形的性质得出；做辅助线后得出是等腰直角三角形，再用等腰三角形的性质以及勾股定理可得，即可解答；
②由等腰三角形的性质计算得出CE=2；做辅助线得出是等腰直角三角形，再求得水平方向的长度为，进而完成解答；
（2）①利用平移得；做辅助线后得到，均为直角三角形，进而求得、、、，再运用等面积法求得、，最后根据平行线、之间的距离求解即可；
②做辅助线后求得、，再根据“7字形距离”的定义求解即可；
（3）由题意可得，设，做辅助线进而可得，再根据点P关于直线的“7字形距离”为，列式求出得，最后分m=3和-3两种情况求解即可．
1 / 1广东省深圳市深圳高级中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
1．（2026八上·深圳期末）下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·深圳期末）下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026八上·深圳期末）如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若表示嘴部点A的坐标为，表示尾部点B的坐标为，则表示足部点C的坐标为（　　）．
A． B． C． D．
4．（2026八上·深圳期末）下列四组数，不能作为直角三角形三条边的长度的是（　　）
A． B．6，8，10 C．7，40，41 D．5，12，13
5．（2026八上·深圳期末）下列命题中，假命题的是（　　）
A．全等三角形的面积相等
B．位于第三象限的点，横纵坐标都为负数
C．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．一组数据的众数可以不唯一
6．（2026八上·深圳期末）若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则一次函数的图像是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2026八上·深圳期末）兔年来临，小兰要做玩偶兔子和福袋作为新年礼物，她去市场买了36米布，每米布可以做兔子25只，或者福袋40个，小兰将1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物，结果发现布没有剩余，恰好配套做成了礼物．若设用x米布做兔子，用y米布做福袋，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2026八上·深圳期末）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距，汽车出发前油箱中有油L，途中加油若干升（加油时间忽略不计），加油前、后汽车都以km/h的速度匀速行驶，已知油箱中的剩余油量y(L)与行驶时间t(h)之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（　　）
A．当时，y(L)与t(h)之间的函数表达式为
B．途中加油L
C．汽车加油后还可行驶4h
D．汽车到达乙地时油箱中的剩余油量为6L
9．（2026八上·深圳期末） =　 　．
10．（2026八上·深圳期末）小文参加了学校广播站招聘小记者的三项素质测试，成绩（百分制）如下：采访写作分，计算机操作分，创意设计分．若采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按，，的比例计算最终成绩，则她的素质测试的最终成绩为　 　分．
11．（2026八上·深圳期末）若一次函数的图像与的图像相交于点，则关于x，y的方程组的解是　 　．
12．（2026八上·深圳期末）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为　 　．
13．（2026八上·深圳期末）如图，在中，，，D为上一点，连接，过点A作，取，连接交于F．若，则　 　．
14．（2026八上·深圳期末）（1）计算：
（2）解方程组：
15．（2026八上·深圳期末）学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88．
八年级20名学生竞赛成绩是：63，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99．
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 a c
方差
根据以上数据分析信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ， ；
（2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选 年级更合适（填“七”或“八”）；
（3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？
16．（2026八上·深圳期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）在图中作出关于x轴的对称图形；
（2）若直线l经过点且平行于y轴，请直接写出点C关于直线l的对称点的坐标 ；
（3）的面积为 ．
17．（2026八上·深圳期末）如图，点D、E分别在的边上，，点F在线段上，且．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
18．（2026八上·深圳期末）贴春联是中国人过年的重要习俗．春节临近，某百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如下表所示．全部销售后可获得利润810元．
A种春联 B种春联
进价（元/副） 15 12
售价（元/副） 18 14.5
（1）该超市购进两种春联各多少副？
（2）由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？
19．（2026八上·深圳期末）【定义新运算】
对于正实数a、b，定义运算“⊙”，满足．例如： ．
（1）计算： ， （a为正实数）；
【应用新运算】
（2）对于正实数a、b，若满足，，求a、b的值．
【拓展应用】
（3）如图，记的三边长分别为a、b、c，，，，．若，，求．
20．（2026八上·深圳期末）【定义1】如图1，在平面内，直线，点A、B分别为直线、上的点，当时，线段的长称为平行线、之间的距离，记为．
【定义2】如图2，在平面内，点P为直线l外一点（l既不是水平方向也不是竖直方向的直线），过点P分别作竖直方向和水平方向的直线，分别交直线l于点E、F，我们称折线为点P关于直线l的“7字形路径”，“7字形路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“7字形距离”．
【定义理解】（1）如图3，与是等腰直角三角形，，．① ，②点E关于直线的“7字形距离”为 ．
【定义应用】（2）如图4，在平面直角坐标系中，已知直线，将直线向上平移5个单位得到直线，直线分别与x、y轴交于点A、B，直线分别与x、y轴交于点C、D．
①求；
②求点B关于直线的“7字形距离”．
【拓展应用】（3）如图5，在平面直角坐标系中，已知直线，将直线沿y轴平移m个单位得直线，点P为直线上的动点．若点P关于直线的“7字形距离”为，求直线的表达式，并直接写出．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： A． 是循环小数，属于有理数；
B．是无限不循环小数，属于无理数；
C．是分数，属于有理数；
D．是整数，属于有理数．
故答案为：B．
【分析】无理数，即无限不循环小数。选项中只有B选项满足无理数的条件。有理数包括整数和分数，其中循环小数也属于有理数。
2．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A：不能合并，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：建立直角坐标系如下：
∵嘴部点A的坐标为，尾部点B的坐标为，
∴点C的坐标为：．
故答案为：C．
【分析】本题根据点的坐标以及图中信息，先建立直角坐标系，然后根据点的坐标确定出坐标轴的位置，即可求得点C的坐标．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：，能作为直角三角形三条边的长度，不符合题意；
B：62+82=102，能作为直角三角形三条边的长度，不符合题意；
C：72+402≠412，不能作为直角三角形三条边的长度，符合题意；
D：52+122=132，能作为直角三角形三条边的长度，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；点的坐标与象限的关系；众数；同旁内角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A：全等三角形的面积相等是真命题，不符合题意；
B：位于第三象限的点，横纵坐标都为负数是真命题，不符合题意；
C：平行的两直线被第三条直线所截，同旁内角互补，是假命题符合题意；
D：一组数据的众数可以不唯一是真命题，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据全等三角形性质，象限内点的坐标特征，同旁内角的定义，众数的意义逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限，
∴函数值随的增大而减小，即，，
∴，
在一次函数中，-b＞0，，
∴该一次函数为增函数，且经过一、三、四象限，
四个选项中，只有符合题意，
故答案为：．
【分析】本题先依据条件“一次函数的图像经过第二、三、四象限”，从而确定该函数的增减情况，并进一步得出，，然后依据不等式的性质计算出；此时分析一次函数中的系数和常数项，即可得出一次函数的图像经过一、三、四象限。
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设用x米布做兔子，用y米布做福袋，
依题意可列出方程组：，
故答案为：C.
【分析】根据“ 她去市场买了36米布， 将1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物 ”即可列车二元一次方程组。
8．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可得，当时，y(L)与t(h)之间的函数关系为一次函数，设，将点和代入可得，解得所以y(L)与t(h)之间的函数关系式为，故A错误.
途中加油(L)，故B错误.
汽车加油后还可行驶：（小时），故C正确.
汽车到达乙地时油箱中的剩余油量为：(L)，故D错误.
故答案为：C．
【分析】根据函数图象中的数据，求出当时，y(L)与t(h)之间的函数表达式可判断A，进一步计算出途中加油的升数，从而判断B，根据函数图象中的数据，计算出汽车加油后还可行驶的时间，即可判断C，根据题意和函数图象中的数据，可以计算出汽车到达乙地时油箱中的剩余油量，即可得答案.
9．【答案】﹣2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解： =﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】因为﹣2的立方是﹣8，所以 的值为﹣2．
10．【答案】83
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（分），
即她的素质测试的最终成绩为83分．
故答案为：．
【分析】本题根据加权平均数的定义，结合条件“ 采访写作分，计算机操作分，创意设计分，采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按，，的比例计算最终成绩 ”，将各科成绩乘以对应的权重比例后求和即可。
11．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：将点代入函数，得，
即点．
方程组可化为，
∴方程组的解即为两直线的交点坐标，即．
故答案为：．
【分析】本题用待定系数法将点代入中，求出m=-4后，即可得出M点的坐标；然后将方程组变形发现方程组的解即为两直线的交点坐标，从而得出方程组的解．
12．【答案】
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：结合条件和图象可知，当点到达点时，此时点与点重合；
当点在上运动时，的值为的长为定值，随着的增大逐渐减小；
当点运动到时，此时，；
当点与点重合时，此时，，即；
设点运动到时，，则：，，
在中，AB2=BC2+AC2，即，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】本题先结合条件和图象对P点进行分析，分析到当点与点重合时，此时，此时得出；然后假设点运动到时，此时，从而得出，，这时放到中，利用勾股定理列出方程求出，进而即可求出的值．
13．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，过点作于点．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
，
∴，
∴
在中，由勾股定理得
．
【分析】做辅助线后，利用等腰三角形三线合一的性质得出，然后利用角度推出，从而结合AAS分别得出和，利用全等三角形的性质综合得出，最后放到中，利用勾股定理即可求出的长度．
14．【答案】（1）解：原式
（2）解：
由②得
将③代入①，得，
解得，
将代入③，得，
∴原方程组的解为．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的除法 ，乘法和零指数幂 ，然后计算加减即可；
（2）利用消元法先计算出y=0，最后将y=0代入任意一个方程中求出x即可完成解方程．
15．【答案】（1）84，72，83，30
（2）八
（3）解：（人）．
∴该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有293人．
【知识点】扇形统计图；中位数；方差；用样本所占百分比估计总体数量；四分位数
【解析】【解答】（1）解：D组有（人），C组有（人），
根据题意可得B组中有7人，因此A组中有人，
∴，即．
∵七年级竞赛成绩的数据从小到大排列后，中位数是第10和11个数据，2+5+7=14，
∴中位数在B组，且第10和11个数据是84，84，
∴，
八年级竞赛成绩的中位数，
由箱线图可知，b八年级竞赛成绩从小到大排列前10个数据的中位数，即第5个数据72，故．
解：八年级更合适，
理由：∵七年级和八年级的平均数相同，而该校八年级的方差小于七年级方差，成绩比七年级稳定，
∴八年级更合适．
故答案为：（1）84，72，83，30；（2）八．
【分析】（1）七年级抽取的是20人，结合扇形统计图中的信息可以列式先求出D组和C组的人数，结合B组数据得出B组的人数，最后最差即可求出A组的人数，此时即可求出A组中的占比；再利用中位数定义分析计算即可求出a、c、b的值；
（2）结合数据中平均数和方差，最后根据“方差越小数据越稳定性”即可解答；
（3）利用样本估计总体计算方法，分别求出七年级有学生560人对应的竞赛成绩不低于90分的学生人数有560×30%人，以及“ 八年级有学生500人 ”对应的竞赛成绩不低于90分的学生人数有500×人，最后求和计算即可。
（1）解：七年级20名学生竞赛成绩在D组中有（人），C组所占中有（人），
根据题意可得B组中有7人，故A组中有人，
∵七年级竞赛成绩的中位数a是数据从小到大排列后的第10和11个数据的平均数，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是84，84，
∴，
∵八年级竞赛成绩的中位数c是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是82，84，
∴，
由八年级所抽取学生成绩的箱线图可知：b是第一四分位数，即八年级竞赛成绩从小到大排列前10个数据的中位数，即第5个数据72，故．
∵七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据共6个，
∴，即．
故答案为：84，72，83，30．
（2）解：八年级更合适，理由：因为该校八年级的方差小于七年级方差，成绩比七年级稳定，故八年级更合适．
故答案为：八．
（3）解：（人）．
答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有293人．
16．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）
（3）7
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；几何图形的面积计算-割补法；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】（2）解：∵直线l经过点且平行于y轴，
∴直线l为，
∵，
∴点到直线l的距离为，
假设点关于直线l的对称点，x＞0，
即x-1=2，解得x=3，
∴点关于直线l的对称点为；
（3）解：的面积=．
故答案为：（2）；（3）7.
【分析】（1）根据轴对称的性质，先分别找到A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，最后连接A1、B1、C1即可；
（2）根据条件得出直线l为，然后计算出点到直线l的距离为2，此时根据轴对称的性质假设出点关于直线l的对称点，且x＞0，此时C2到l的距离也是2，列式进行计算即可；
（3）利用网格，将△ABC放到长为5、宽为4的矩形中，然后再减去三个“底为1、高为3”、“底为3、高为5”、“底为4、高为2”的三角形，即可求出答案。
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵直线l经过点且平行于y轴，
∴直线l为，
∵，
∴点到直线l的距离为，
∴点关于直线l的对称点为；
故答案为：；
（3）解：的面积为．
17．【答案】（1）证明：，
，
，
．
（2）解：平分，
，
，
，，
，
．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由平行线的性质“两直线平行、同位角相等”推出，结合已知条件，从而得出，然后利用“内错角相等、两直线平行”得出，最后再根据平行线的性质即可证明结论；
（2）依据角平分线的定义及条件，推出；再结合条件和平角的定义，列式，最后即可求出∠B。
（1）证明：，
，
，
．
（2）解：平分，
，
，
，，
，
．
18．【答案】（1）解：设购进副A种春联，副B种春联，
根据题意，得，
解得，
即该超市购进A种春联120副，B种春联180副．
（2）解：设购进A种春联副，B种春联副，
根据题意，得，
整理，得．
∵均为正整数，
∴满足题意的值分别有
因此有4种购买方案，
方案一：购买58副A种春联，20副B种春联；
方案二：购买41副A种春联，40副B种春联；
方案三：购买24副A种春联，60副B种春联；
方案四：购买7副A种春联，80副B种春联．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）依据条件“ 百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售 ”以及表格中的信息，可以先列式15x+12y=3960；再结合条件“ 全部销售后可获得利润810元 ”以及表格中的数据，可以列式（18-15）x+（14.5-12）y=810，最后联立方程组求解x和y即可；
（2）结合条件“ 用1500元购进这两种春联 ”、“ A种春联为20元/副，B种春联为17元/副 ”，列式，因为均为正整数，此时即可得出满足题意的值的四种情况，即为四种方案。
（1）解：设购进副A种春联，副B种春联，
根据题意，得，
解得，
答：该超市购进A种春联120副，B种春联180副．
（2）解：设购进A种春联副，B种春联副，
根据题意，得，
整理，得．
因为均为正整数，
所以满足题意的值为
所以有4种购买方案，
方案一：购买58副A种春联，20副B种春联；
方案二：购买41副A种春联，40副B种春联；
方案三：购买24副A种春联，60副B种春联；
方案四：购买7副A种春联，80副B种春联．
19．【答案】（1），；
（2）解：∵，，
∴
解得
（3）解：，，
，
，，
，
为直角三角形
，
，，
为直角三角形
，
，即
，
，
∴．
【知识点】分母有理化；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1），；
故答案为：（1），；
【分析】（1）依据新定义的计算方法分别列式计算即可；
（2）根据新定义的计算方法，先分别列出化简得到3a-2b=8、2a+b=10，此时列式关于a和b的方程组，求解即可；
（3）利用“两直线平行、内错角相等”得出，结合条件推出；此时利用SAS证明，从而推出为直角三角形，继而得出为直角三角形；利用三角形的面积公式求出，勾股定理列式并化简求出ab=6，最后再根据新运算的法则进行计算即可．
20．【答案】（1）①，②4；
（2）①由题意可知是由向上平移5个单位长度得到的；
如图，过点O作交于点F，交于点E，由可知，容易得到，均为直角三角形，
由，
令，得，则，；
令，得，则，；
由，
令，得，则，即；
令，得，则，即；
由等面积法可知，
则，，
∴；
②如图，过点B作x轴的平行线交于点G，则点B关于直线的“7字形距离”为，
，
∵，，
∴，
对于，令，得，则，
∴
．
（3）由题意可得，
设，过点P作轴交于点M，过点P作轴交于点N，
对于，令，则，可得；
令，则，即，可得，
，，
，
点P关于直线的“7字形距离”为，
，
，即，
或，即或
当时，同上得；
当时，同上得．
【知识点】勾股定理；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题；等积变换；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）①∵，，
∴，
∵与是等腰直角三角形，
∴，
∴，
如图：过点D作，即是等腰直角三角形，
∴，
∴，解得：或-（舍去负值）；
∴．
②∵与是等腰直角三角形，，，
∴，，
∴竖直方向的长度，
如图：过点E作交于H，即是等腰直角三角形，
，
∴水平方向的长度为，
∴点E关于直线的“7字形距离”为．
故答案为：（1）①，②4；
【分析】（1）①先求出BD=2，结合等腰直角三角形的性质得出；做辅助线后得出是等腰直角三角形，再用等腰三角形的性质以及勾股定理可得，即可解答；
②由等腰三角形的性质计算得出CE=2；做辅助线得出是等腰直角三角形，再求得水平方向的长度为，进而完成解答；
（2）①利用平移得；做辅助线后得到，均为直角三角形，进而求得、、、，再运用等面积法求得、，最后根据平行线、之间的距离求解即可；
②做辅助线后求得、，再根据“7字形距离”的定义求解即可；
（3）由题意可得，设，做辅助线进而可得，再根据点P关于直线的“7字形距离”为，列式求出得，最后分m=3和-3两种情况求解即可．
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