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北京师大附中2025—2026学年（上）高二期末考试
数学试卷
班级：______姓名：______学号：______
考生须知 1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，考生应将答题纸交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2 已知空间向量，，若，则（ ）
A. 6 B. 2 C. -6 D. -2
3. 已知等差数列满足，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 与直线平行且过点的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知直线和圆相交于A，B两点.若，则（ ）
A 2 B. C. 4 D.
6. 已知抛物线：焦点为，点在上.若到直线的距离为7，则（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
7. 已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. “”是“为椭圆方程”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是
A. 2 B. 3 C. D.
10. 已知数列满足，，，为数列的前项和，则（ ）
A. B.
C. 的最大值为20 D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 双曲线的渐近线方程是___________．
12. 如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______.
13. 若圆：与圆：无交点，则一个值可以是______.
14. 设数列是等比数列，其前项和为，且，则公比的值为________.
15. 已知曲线：，为上一点，
①的取值范围为；
②的取值范围为；
③不存在点，使得；
④的取值范围为.
则上述命题正确的序号是_________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知数列是等差数列，，.数列是各项均为正数的等比数列，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
17. 如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.
（1）证明：；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.
18. 已知椭圆：，右焦点和右顶点分别为，.倾斜角为的直线经过且与椭圆交于，两点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）求的面积.
19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为棱的中点.
（1）求证：；
（2）若点在棱上且，求平面与平面所成角的大小.
20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上.
21. 已知数列是递增的整数数列，.定义数列的“相邻数列”为，其中，，或，.
（1）若，数列，写出的所有“相邻数列”；
（2）若，数列满足，，且所有“相邻数列”均为递增数列.求满足条件的数列的个数；
（3）若，数列满足，，且存在的一个“相邻数列”，使得对任意，，求的最小值.参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.C
2. A
3. B
4. A
5. D.
6. C
7. A.
8. B
9. A
10. D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.
12.
13. （答案不唯一）
14. 1或
15. ②③④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. （1）设数列的公差为，的公比为，
因为，，所以，
解得，，所以
由，，可得，解得或，
因，则，故.
（2）由（1）知，，
17. (1)
证明：由正方体性质可知，因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面平面，
所以.
（2）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设的长为，
则,
；
设平面的一个法向量为，则，
令，可得；
设直线与平面所成角为，则，
解得，即线段的长度为1.
18. （1）因为椭圆：，所以，
所以椭圆的离心率为；
（2）由题直线的斜率为，
所以直线的方程为，代入椭圆方程得，
设，则，
所以
又点A到直线的距离为
所以的面积为
19. （1）由为的中点，知，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
因此.
（2）连接，取的中点，连接，
此时可知，由可知为正方形，
则，
易知，，
所以，故.
连接，则，所以，
又平面，平面，所以.
建立如图空间直角坐标系，
又均为等腰直角三角形，所以.
，
则，又，
又，所以.
易知为平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以，则，
设平面与平面所成角为，
则，所以，
即平面与平面所成角的大小为.
20. （1）由题可得即，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）证明：由题可知直线l斜率存在，设直线，
联立，
则，即，
由题可设，，
则，且，
所以，
，
同理，，
所以由得即，
又由题意可知，
所以，所以，整理得，
所以，整理并化简得，
所以，在定直线上.
21. （1）根据“相邻数列”的概念可知，，
或，或，
所以数列的所有“相邻数列”有；；；.
（2）任取的一个“相邻数列”，
因为或，
或，
所以有且，
对于的取值分以下4种情形：
（a），
（b），
（c），
（d）
由数列是递增的整数数列，前3种情形显然都能得到，所以只需考虑第4种情形，
由于递增，，即，
由是递增的整数数列得，从而是公差为1的等差数列，
于是，则，即满足条件的数列的有11个；
（3）令，所以对任意，
设，则且，
先证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合，
若，令，则，由得，
所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合．
若，令，则，由得，
所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合，
因此，的分布只可能是如下三种情况：
（i），此时，对任意的，由得，
所以对任意的，注意到，
所以，
等号当且仅当时取到；此时符合题意；
（ii）存在整数，使得
对任意的，对任意的，
所以
，
此时取等条件需满足条件，
且，
故，与题意矛盾，无法取等，即此时；
（iii）．此时，对任意的，与情形（i）类似，
对任意的，注意到，
所以累加得，
综上，的最小值为．

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