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【提升版】湘教版数学七下4.3平行线的性质 同步练习
一、选择题
1．（2025七下·慈溪期中）如图，将·一张长方形纸片折叠，如果∠1=50°，则∠α等于（　　）
A．40° B．65° C．50° D．75°
2．（2025七下·雨花期末）如图，某条行车路线共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的．已知第一次转过的角度为120°，第三次转过的角度为135°，则第二次转过的角度为（　　)
A．75° B．60° C．135° D．120°
3．（2025七下·温江期末）如图，AB//CD，BC平分∠ACD，若∠ABC=32°，则∠BAC的度数为（　　）
A．108° B．112° C．116° D．120°
4．（2025七下·龙港期中） 如图，AB//CD，点E是CD上一点，点F是AB上一点，∠AEC与∠FED互余，已知∠AFE=39°，则∠AEC的度数是（　　）
A．51° B．61° C．39° D．141°
5．（2025七下·莲都期末） 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与另一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·象山竞赛）光线经过不同介质时，会发生折射，平行的光线经折射后仍是平行的光线，如图，有两束平行光线在油和水中先后发生折射，若∠1+∠2=150°则∠3-∠4的度数为（　　）
A．15° B．30° C．60° D．120°
7．（2024七下·秀山月考）如图，已知，，，那么等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·天台期末） 如图，在科学《光的反射》活动课中，老师将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面AB延长线与地面的夹角，激光笔发出的光束DE射到平面镜后，形成反射光束EF. 由科学原理可知：，若反射光束与天花板的夹角，且，则的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
二、填空题
9．如图，已知AB∥CD，CD∥EF，∠2-∠1=30°，那么∠BCE=　 　.
10．（2025七下·安州期末）如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1=120°，∠2=56°，则∠3=　 　．
11．（2024七下·慈溪期末）如图，直线AB∥CD∥EF，如果∠A+∠ADF＝208°，那么∠F＝　 　．
12．（2025七下·浙江期中）如图，平分．若，则　 　．
13．（2025七下·雨花期末）如图，AB，BC是两个互相垂直的平面镜，∠EBF=90°，入射光线DE经过两次反射后，得到反射光线FG，ENI∥BC，若∠DEN=26°，则∠EFG=　 　.
14．（2025七下·椒江期末） 如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（AB段），后抬头拉升飞行至C，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后爬升至E后，开始水平巡航（EF段），已知，，则减少的仰角的度数为　 　.
三、解答题
15．（2025七下·滨江期末） 如图，，点P是的角平分线上一点，且点P在之间，连结，设．当，时，求的度数．
16．（2025七下·义乌月考）如图，已知AC//DE，∠D+∠BAC=180°.
（1）AB与CD平行吗？请说明理由；
（2）连接CE，恰好满足CE平分∠ACD.若AB⊥BC，∠CED=35°，求∠ACB的度数.
17．（2025七下·温州期中）如图，直线CD，EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1+∠2=90°。
（1）请判定直线AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）若∠2∶∠3=2∶5，求∠BOF的度数。
18．（2024七下·衡阳期末）图1是一辆滑轮摄影轨道车，图2为其侧面示意图．固定在底座于点，与是轨道车的“手臂”，可通过改变的度数调节车的高度．在调节过程中，放摄像机的杆始终平行于．
（1）如图3，调节轨道车的“手臂”，使，此时，求的度数．
（2）若图2中，求与的度数之和．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如下图
∵这是长方形纸片，
∴∠2=∠1=50°.
∵折叠，
∴∠α+∠2=∠3，且∠α+∠3=180°.
∴∠α=(180°-50°)÷2=65°.
故答案为：B.
【分析】根据平行得到角相等，结合折叠的性质，得到∠α度数.
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF∥DE，
则∠DCF+∠CDE=180°，
由题可知∠CDE=135°，∠ABC=120°，
所以∠DCF=45°，
因为行车路线与开始的路线是平行的，
所以AB∥DE，
又CF∥DE，
所以AB∥CF，
所以∠BCF=∠ABC=120°，
所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=75°，
所以第二次转过的角度为75°.
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质来求解第二次转过的角度。
3．【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵ AB//CD，
∴∠ABC=∠BCD=32°，
∵ BC平分∠ACD ，
∴∠ACD=2∠BCD=2×32°=64°，
∵∠ACD+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠ACD=180°-64°=116°
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，内错角相等，∠ABC=∠BCD=32°，根据角平分线的定义，∠ACD=2∠BCD，根据两直线平行，同旁内角互补，可计算出∠BAC.
4．【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠AFE=39°，
∴∠FED=∠AFE=39°。
∵ ∠AEC与∠FED互余，
∴ ∠AEC+∠FED=90°，
，∴∠AEC=51°.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质和∠AFE=39°，可得∠FED=∠AFE=39°。再由∠AEC与∠FED互余，即可求得∠AEC的度数.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知AB∥OF.
故答案为： D.
【分析】由平行线的性质可表示出 结合对顶角相等可表示出 ，再利用外角的性质可求得 的度数.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CD∥EF，
∴∠2+∠5 =180°，
∴∠5 =180°-∠2，
∵CE∥DF，
∴∠3=∠5=180°-∠2，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠6，
∵AC∥BD，
∴∠6=∠1，
∴∠4=∠1，
∴∠3-∠4 =180°-∠2-∠1 =180°-(∠1+∠2)= 180°-150°= 30°.
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质推出∠2+∠5 =180°， ∠4 =∠1，于是得到∠3-∠4=180°-∠2-∠1 解答即可.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：B．
【分析】由∠B=55°，根据平行线的性质可得出∠BEF=55°，再根据，根据平行想的性质可得出∠CEF=45°，进而得出的度数。
8．【答案】B
【知识点】平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点E作EO//MN，
∵PQ//MN，
∴EO//PQ//MN，
∴∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，
设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，
∴∠FED=180°-∠CED-∠AEF=180°-2α，
∴70°+β=180°-2α，α=60°-β，
解得α=50°，β=10°，
∴∠CED=∠AEF=50°，
故答案为：B.
【分析】过点E作EO//MN，则EO//PO//MN，设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，根据平行线的性质得∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，由角的和差得70°+β=180°-2α，α=60°-β，联立解方程组即可得出答案.
9．【答案】150°
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，延长EC交AB 于点G.
因为CD∥EF，所以∠2=∠GCD.
因为AB∥CD，所以∠1=∠BCD.
因为∠2-∠1=30°，
所以∠GCD-∠BCD=∠GCB=30°，
所以
故答案为：150°.
【分析】延长EC交AB于点G，利用平行线的性质可得 然后根据已知 从而可得 最后利用平角定义进行计算即可解答.
10．【答案】64°
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】如图
∵ a∥b，∠1=120° ，
∴∠1=∠4=120°，
∵∠4=∠2+∠3，
∵ ∠2=56° ，
∴∠3=∠4-∠2=120°-56°=64°；
故答案为：64°.
【分析】根据平行线性质，可以判断∠1=∠4，根据三角形外角的性质，可以判断∠4=∠2+∠3，这样可以计算出∠3的值.
11．【答案】28°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：延长CD到H．如图
∵AB∥CH，
∴∠A+∠ADH＝180°，
∠ADF=∠ADH+∠HDF
∵∠A+∠ADF＝208°，即∠A+∠ADH+∠HDF＝208°
∴∠HDF＝208°﹣180°＝28°，
∵EF∥CH，
∴∠F＝∠HDF＝28°．
故答案为：28°
【分析】延长CD到H。根据两直线平行同旁内角互补得∠A+∠ADH＝180°，结合 ∠A+∠ADF＝208° 得到∠HDF=28°，再根据根据两直线平行内错角相可求出∠F。
12．【答案】30°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠AEC=∠ECD，∠A+∠ACD=180°，
∴∠ACD=60°，
∵CE 平分 ，
∴∠ACE=∠ECD，
∴∠AEC=∠ECD=∠ACE=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据平行线的性质及角平分线的概念即可计算得出答案.
13．【答案】128°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵入射角等于反射角，
∴∠AED=∠BEF，∠BFE=∠CFG，
∵ENI∥BC，AB⊥BC，
∴∠AEN= ∠EBF=90° ，
∵ ∠DEN=26° ，
∴∠AED=90°-∠DEN=64°，
∴∠BEF=∠AED=64°，
∴∠BFE=180°-∠BEF- ∠EBF=26°，
∴∠CFG=∠BFE=26°，
∴∠EFG=180°-∠CFG-∠BFE=128°.
故答案为：128°.
【分析】根据入射角等于反射角得出∠AED=∠BEF，∠BFE=∠CFG，由ENI∥BC，AB⊥BC得出∠AEN= ∠EBF=90° ，再由直角的定义与三角形的内角和得出∠BFE的度数，再由∠BFE=∠CFG与平角的定义即可得答案.
14．【答案】15°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图
作CH∥AB，延长EF
∴ =∠BCH=150°，
∴∠DCH=30°
∵∠CEF=165°，
∴∠DEC=180°-∠CEF=180°-165°=15°，
∵EF∥CH，
∴∠DEC=∠ECH，
∴ =15°
故答案为： 15°.
【分析】作辅助线，根据平行线的性质，可以判断∠ABC=∠BCH，根据角度的关系以及平行线的性质，判断出∠DCE.
15．【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵∠ACP =m∠DCP， m=3，
∴∠ACP=3∠DCP，
∴∠ACD=4∠DCP，
∵∠ACP=∠CAP，
∴∠BAP=∠CAP=3∠DCP，
∴∠BAC=6∠DCP，
∴∠BAC+∠ACD = 10∠DCP=180°，
∴∠PCD=18°
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】根据平行线的性质得到∠BAC+∠ACD=180°，然后根据角平分线得到∠BAP=∠CAP，然后根据m=3得到∠ACD=4∠DCP，∠BAC=6∠DCP，进而根据平角的定义解答即可.
16．【答案】（1）解：AB∥CD，理由如下：
∵AC//DE
∴∠D+∠ACD=180°
又∵∠D+∠BAC=180°
∴∠ACD=∠BAC，
∴AB//CD
（2）解：连接CE，
∵AC//DE，∠CED=35°，
∴∠ACE=∠CED=35°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ACE=70°，
由(1)知：AB//CD，
∴∠BAC=∠ACD=70°
又∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-90°-70°=20°
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)由AC//DE得∠D+∠ACD=180°，结合已知条件可得出∠ACD=∠BAC，据此可得出结论；
(2)由AC//DE得∠ACE=∠CED=35°，再根据角平分线的定义得∠ACD=2∠ACB=70°，然后由(1)知AB//CD，进而可得∠BAC=∠ACD=70°，然后再利用三角形的内角和定理可求出∠ACB的度数.
17．【答案】（1）解：AB∥CD，理由如下：
∵OA，OB 分别平分∠COE 和∠DOE，
∴∠COE=2∠AOC，∠DOE=2∠2。
∵∠COE+∠DOE=2(∠AOC+∠2)=180°，
∴∠2+∠AOC=90°。
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠AOC，
∴AB∥CD。
（2）解：∵OB 平分∠DOE，
∴∠BOE=∠2。
∵∠2∶∠3=2∶5，
∴设∠2=2α，则∠BOE=2α，∠3=5α，
∴∠BOF=∠2+∠3=7α。
∵∠BOE+∠BOF=2α+7α=9α=180°，
∴α=20°，
∴∠BOF=7α=140°。
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据角平分线平分角，结合平角的定义推出 推出 即可得出结论；
(2)根据角平分线平分角，得到. 结合平角的定义和 进行求解即可.
18．【答案】（1）解：如图1，过点作，且点在的下方．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如图2，过点作，且点在的下方．
∵，
∴．
由（1）可得，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）过点作，且点在的下方，根据直线平行性质可得，，则，再根据角之间的关系可得∠DCP，再根据直线平行性质即可求出答案.
（2）过点作，且点在的下方，再根据直线平行性质可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
1 / 1【提升版】湘教版数学七下4.3平行线的性质 同步练习
一、选择题
1．（2025七下·慈溪期中）如图，将·一张长方形纸片折叠，如果∠1=50°，则∠α等于（　　）
A．40° B．65° C．50° D．75°
【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如下图
∵这是长方形纸片，
∴∠2=∠1=50°.
∵折叠，
∴∠α+∠2=∠3，且∠α+∠3=180°.
∴∠α=(180°-50°)÷2=65°.
故答案为：B.
【分析】根据平行得到角相等，结合折叠的性质，得到∠α度数.
2．（2025七下·雨花期末）如图，某条行车路线共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的．已知第一次转过的角度为120°，第三次转过的角度为135°，则第二次转过的角度为（　　)
A．75° B．60° C．135° D．120°
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF∥DE，
则∠DCF+∠CDE=180°，
由题可知∠CDE=135°，∠ABC=120°，
所以∠DCF=45°，
因为行车路线与开始的路线是平行的，
所以AB∥DE，
又CF∥DE，
所以AB∥CF，
所以∠BCF=∠ABC=120°，
所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=75°，
所以第二次转过的角度为75°.
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质来求解第二次转过的角度。
3．（2025七下·温江期末）如图，AB//CD，BC平分∠ACD，若∠ABC=32°，则∠BAC的度数为（　　）
A．108° B．112° C．116° D．120°
【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵ AB//CD，
∴∠ABC=∠BCD=32°，
∵ BC平分∠ACD ，
∴∠ACD=2∠BCD=2×32°=64°，
∵∠ACD+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠ACD=180°-64°=116°
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，内错角相等，∠ABC=∠BCD=32°，根据角平分线的定义，∠ACD=2∠BCD，根据两直线平行，同旁内角互补，可计算出∠BAC.
4．（2025七下·龙港期中） 如图，AB//CD，点E是CD上一点，点F是AB上一点，∠AEC与∠FED互余，已知∠AFE=39°，则∠AEC的度数是（　　）
A．51° B．61° C．39° D．141°
【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠AFE=39°，
∴∠FED=∠AFE=39°。
∵ ∠AEC与∠FED互余，
∴ ∠AEC+∠FED=90°，
，∴∠AEC=51°.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质和∠AFE=39°，可得∠FED=∠AFE=39°。再由∠AEC与∠FED互余，即可求得∠AEC的度数.
5．（2025七下·莲都期末） 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与另一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知AB∥OF.
故答案为： D.
【分析】由平行线的性质可表示出 结合对顶角相等可表示出 ，再利用外角的性质可求得 的度数.
6．（2025七下·象山竞赛）光线经过不同介质时，会发生折射，平行的光线经折射后仍是平行的光线，如图，有两束平行光线在油和水中先后发生折射，若∠1+∠2=150°则∠3-∠4的度数为（　　）
A．15° B．30° C．60° D．120°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CD∥EF，
∴∠2+∠5 =180°，
∴∠5 =180°-∠2，
∵CE∥DF，
∴∠3=∠5=180°-∠2，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠6，
∵AC∥BD，
∴∠6=∠1，
∴∠4=∠1，
∴∠3-∠4 =180°-∠2-∠1 =180°-(∠1+∠2)= 180°-150°= 30°.
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质推出∠2+∠5 =180°， ∠4 =∠1，于是得到∠3-∠4=180°-∠2-∠1 解答即可.
7．（2024七下·秀山月考）如图，已知，，，那么等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：B．
【分析】由∠B=55°，根据平行线的性质可得出∠BEF=55°，再根据，根据平行想的性质可得出∠CEF=45°，进而得出的度数。
8．（2025七下·天台期末） 如图，在科学《光的反射》活动课中，老师将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面AB延长线与地面的夹角，激光笔发出的光束DE射到平面镜后，形成反射光束EF. 由科学原理可知：，若反射光束与天花板的夹角，且，则的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【知识点】平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点E作EO//MN，
∵PQ//MN，
∴EO//PQ//MN，
∴∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，
设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，
∴∠FED=180°-∠CED-∠AEF=180°-2α，
∴70°+β=180°-2α，α=60°-β，
解得α=50°，β=10°，
∴∠CED=∠AEF=50°，
故答案为：B.
【分析】过点E作EO//MN，则EO//PO//MN，设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，根据平行线的性质得∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，由角的和差得70°+β=180°-2α，α=60°-β，联立解方程组即可得出答案.
二、填空题
9．如图，已知AB∥CD，CD∥EF，∠2-∠1=30°，那么∠BCE=　 　.
【答案】150°
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，延长EC交AB 于点G.
因为CD∥EF，所以∠2=∠GCD.
因为AB∥CD，所以∠1=∠BCD.
因为∠2-∠1=30°，
所以∠GCD-∠BCD=∠GCB=30°，
所以
故答案为：150°.
【分析】延长EC交AB于点G，利用平行线的性质可得 然后根据已知 从而可得 最后利用平角定义进行计算即可解答.
10．（2025七下·安州期末）如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1=120°，∠2=56°，则∠3=　 　．
【答案】64°
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】如图
∵ a∥b，∠1=120° ，
∴∠1=∠4=120°，
∵∠4=∠2+∠3，
∵ ∠2=56° ，
∴∠3=∠4-∠2=120°-56°=64°；
故答案为：64°.
【分析】根据平行线性质，可以判断∠1=∠4，根据三角形外角的性质，可以判断∠4=∠2+∠3，这样可以计算出∠3的值.
11．（2024七下·慈溪期末）如图，直线AB∥CD∥EF，如果∠A+∠ADF＝208°，那么∠F＝　 　．
【答案】28°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：延长CD到H．如图
∵AB∥CH，
∴∠A+∠ADH＝180°，
∠ADF=∠ADH+∠HDF
∵∠A+∠ADF＝208°，即∠A+∠ADH+∠HDF＝208°
∴∠HDF＝208°﹣180°＝28°，
∵EF∥CH，
∴∠F＝∠HDF＝28°．
故答案为：28°
【分析】延长CD到H。根据两直线平行同旁内角互补得∠A+∠ADH＝180°，结合 ∠A+∠ADF＝208° 得到∠HDF=28°，再根据根据两直线平行内错角相可求出∠F。
12．（2025七下·浙江期中）如图，平分．若，则　 　．
【答案】30°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠AEC=∠ECD，∠A+∠ACD=180°，
∴∠ACD=60°，
∵CE 平分 ，
∴∠ACE=∠ECD，
∴∠AEC=∠ECD=∠ACE=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据平行线的性质及角平分线的概念即可计算得出答案.
13．（2025七下·雨花期末）如图，AB，BC是两个互相垂直的平面镜，∠EBF=90°，入射光线DE经过两次反射后，得到反射光线FG，ENI∥BC，若∠DEN=26°，则∠EFG=　 　.
【答案】128°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵入射角等于反射角，
∴∠AED=∠BEF，∠BFE=∠CFG，
∵ENI∥BC，AB⊥BC，
∴∠AEN= ∠EBF=90° ，
∵ ∠DEN=26° ，
∴∠AED=90°-∠DEN=64°，
∴∠BEF=∠AED=64°，
∴∠BFE=180°-∠BEF- ∠EBF=26°，
∴∠CFG=∠BFE=26°，
∴∠EFG=180°-∠CFG-∠BFE=128°.
故答案为：128°.
【分析】根据入射角等于反射角得出∠AED=∠BEF，∠BFE=∠CFG，由ENI∥BC，AB⊥BC得出∠AEN= ∠EBF=90° ，再由直角的定义与三角形的内角和得出∠BFE的度数，再由∠BFE=∠CFG与平角的定义即可得答案.
14．（2025七下·椒江期末） 如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（AB段），后抬头拉升飞行至C，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后爬升至E后，开始水平巡航（EF段），已知，，则减少的仰角的度数为　 　.
【答案】15°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图
作CH∥AB，延长EF
∴ =∠BCH=150°，
∴∠DCH=30°
∵∠CEF=165°，
∴∠DEC=180°-∠CEF=180°-165°=15°，
∵EF∥CH，
∴∠DEC=∠ECH，
∴ =15°
故答案为： 15°.
【分析】作辅助线，根据平行线的性质，可以判断∠ABC=∠BCH，根据角度的关系以及平行线的性质，判断出∠DCE.
三、解答题
15．（2025七下·滨江期末） 如图，，点P是的角平分线上一点，且点P在之间，连结，设．当，时，求的度数．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵∠ACP =m∠DCP， m=3，
∴∠ACP=3∠DCP，
∴∠ACD=4∠DCP，
∵∠ACP=∠CAP，
∴∠BAP=∠CAP=3∠DCP，
∴∠BAC=6∠DCP，
∴∠BAC+∠ACD = 10∠DCP=180°，
∴∠PCD=18°
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】根据平行线的性质得到∠BAC+∠ACD=180°，然后根据角平分线得到∠BAP=∠CAP，然后根据m=3得到∠ACD=4∠DCP，∠BAC=6∠DCP，进而根据平角的定义解答即可.
16．（2025七下·义乌月考）如图，已知AC//DE，∠D+∠BAC=180°.
（1）AB与CD平行吗？请说明理由；
（2）连接CE，恰好满足CE平分∠ACD.若AB⊥BC，∠CED=35°，求∠ACB的度数.
【答案】（1）解：AB∥CD，理由如下：
∵AC//DE
∴∠D+∠ACD=180°
又∵∠D+∠BAC=180°
∴∠ACD=∠BAC，
∴AB//CD
（2）解：连接CE，
∵AC//DE，∠CED=35°，
∴∠ACE=∠CED=35°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ACE=70°，
由(1)知：AB//CD，
∴∠BAC=∠ACD=70°
又∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-90°-70°=20°
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)由AC//DE得∠D+∠ACD=180°，结合已知条件可得出∠ACD=∠BAC，据此可得出结论；
(2)由AC//DE得∠ACE=∠CED=35°，再根据角平分线的定义得∠ACD=2∠ACB=70°，然后由(1)知AB//CD，进而可得∠BAC=∠ACD=70°，然后再利用三角形的内角和定理可求出∠ACB的度数.
17．（2025七下·温州期中）如图，直线CD，EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1+∠2=90°。
（1）请判定直线AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）若∠2∶∠3=2∶5，求∠BOF的度数。
【答案】（1）解：AB∥CD，理由如下：
∵OA，OB 分别平分∠COE 和∠DOE，
∴∠COE=2∠AOC，∠DOE=2∠2。
∵∠COE+∠DOE=2(∠AOC+∠2)=180°，
∴∠2+∠AOC=90°。
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠AOC，
∴AB∥CD。
（2）解：∵OB 平分∠DOE，
∴∠BOE=∠2。
∵∠2∶∠3=2∶5，
∴设∠2=2α，则∠BOE=2α，∠3=5α，
∴∠BOF=∠2+∠3=7α。
∵∠BOE+∠BOF=2α+7α=9α=180°，
∴α=20°，
∴∠BOF=7α=140°。
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据角平分线平分角，结合平角的定义推出 推出 即可得出结论；
(2)根据角平分线平分角，得到. 结合平角的定义和 进行求解即可.
18．（2024七下·衡阳期末）图1是一辆滑轮摄影轨道车，图2为其侧面示意图．固定在底座于点，与是轨道车的“手臂”，可通过改变的度数调节车的高度．在调节过程中，放摄像机的杆始终平行于．
（1）如图3，调节轨道车的“手臂”，使，此时，求的度数．
（2）若图2中，求与的度数之和．
【答案】（1）解：如图1，过点作，且点在的下方．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如图2，过点作，且点在的下方．
∵，
∴．
由（1）可得，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）过点作，且点在的下方，根据直线平行性质可得，，则，再根据角之间的关系可得∠DCP，再根据直线平行性质即可求出答案.
（2）过点作，且点在的下方，再根据直线平行性质可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
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