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2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
(2009年5月3日8∶00－10∶00)
一、填空题(每小题7分，共70分) http://www.mathedu.cn
1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝ ．
2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝ ．
3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝ ．
4．已知＝，则实数x＝ ．
5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 ．
6．设f(x)＝log3x－，则满足f(x)≥0的x的取值范围是 ．
7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm3．
8．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则·＝ ．
9．设数列{an}满足：an＋1an＝2an＋1－2(n＝1，2，…)，a2009＝，则此数列的前2009项的和为 ．
10．设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，则b＝ ．
二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) http://www.mathedu.cn
11．在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆＋＝1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点．求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积．
12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．
13．若不等式＋≤k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．
14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；
⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．
2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
(2009年5月3日8∶00－10∶00)
一、填空题(每小题7分，共70分) http://www.mathedu.cn
1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝ ．
填0．
解：由于|sinα|≤1，|cosβ|≤1，现sinαcosβ＝1，故sinα＝1，cosβ＝1或sinα＝－1，cosβ＝－1，
∴ α＝2kπ＋，β＝2lπ或α＝2kπ－，β＝2lπ＋π(α＋β＝2(k＋l)π＋(k，l∈Z)．
∴ cos(α＋β)＝0．
2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝ ．
填11．
解：设公差为d，则得
55＝－5×11＋×11×10d(55d＝110(d＝2．
ak＝55－4×10＝15＝－5＋2(k－1)(k＝11．
3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝ ．
填．
解：由(2b)2＝2c×2a(a2－c2＝ac(e2＋e－1＝0(e＝．
4．已知＝，则实数x＝ ．
填1．
解：即＝(32x－4×3x＋3＝0(3x＝1(舍去)，3x＝3(x＝1．
5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 ．
填．
解：A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．
VAPQR＝VAPQD＝×VAPCD＝××VABCD＝VABCD；
又，SBPQ＝SBCD－SBDQ－SCPQ＝(1－－×)SBCD＝SBCD，
VRBPQ＝VRBCD＝×VABCD＝VABCD．
∴ A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4．
又，可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值：
在面BCD内，延长PQ、BD交于点M，则M为面PQR与棱BD的交点．
由Menelaus定理知，··＝1，而＝，＝，故＝4．
在面ABD内，作射线MR交AB于点N，则N为面PQR与AB的交点．
由Menelaus定理知，··＝1，而＝4，＝1，故＝．
∴ A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4．
6．设f(x)＝log3x－，则满足f(x)≥0的x的取值范围是 ．
填[3，4]．
解：定义域(0，4]．在定义域内f(x)单调增，且f(3)＝0．故f(x)≥0的x的取值范围为[3，4]．
7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm3．
填78000．
解：设净水器的长、高分别为x，ycm，则
xy＝300，
V＝30(20＋x)(60＋y)＝30(1200＋60x＋20y＋xy)
≥30(1200＋2＋300)＝30(1500＋1200)
＝30×2700．
∴ 至少可以存水78000cm3．
8．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则·＝ ．
填－．
解：设||＝||＝||＝R．则
·＝(＋)·＝·＋·＝R2cos(π－2C)＋R2cos2B
＝R2(2sin2C－2sin2B)＝(2RsinB)2－(2RsinC)2＝(122－132)＝－．
9．设数列{an}满足：an＋1an＝2an＋1－2(n＝1，2，…)，a2009＝，则此数列的前2009项的和为 ．
填2008＋．
解：若an＋1≠0，则an＝2－，故a2008＝2－，a2007＝2－＝－，a2006＝2＋，a2005＝．
一般的，若an≠0，1，2，则an＝2－，则an－1＝，an－2＝，an－3＝an＋1，故an－4＝an．
于是，an＝502(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2009＝502(a2005＋a2006＋a2007＋a2008)＋a2009＝2008＋．
10．设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，则b＝ ．
填0，，－1．
解：若a为负整数，则a2＞0，2b(a＋b)＜0，不可能，故a≥0．
于是a2＝2b(a＋b)＜2(a＋1)(a2－2a－2＜0(0≤a＜1＋(a＝0，1，2．
a＝0时，b＝0；
a＝1时，2b2＋2b－1＝0(b＝；
a＝2时，b2＋2b－2＝0(b＝－1．
说明：本题也可以这样说：求实数x，使[x]2＝2{x}x．
二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) http://www.mathedu.cn
11．在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆＋＝1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点．求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积．
解：取方程组代入得，25y2－64y＋28＝0．
此方程的解为y＝2，y＝．
即得B(0，2)，A(－，)，又左焦点F1(－，0)．
连OA把四边形AFOB分成两个三角形．
得，S＝×2×＋××＝(72＋7)．
也可以这样计算面积：
直线与x轴交于点C(－4，0)．所求面积＝×4×2－×(4－)×＝(72＋7)．
也可以这样计算面积：
所求面积＝(0×2－0×0＋0×－(－)×2＋(－)×0－(－)×＋(－)×0－0×0)＝(＋)＝(72＋7)．
12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．
解：＝(△ACD∽△ABC(∠ABC＝∠ACD＝∠BCE．
∴ CE＝BE＝12．AE＝AB－BE＝16．
∴ cosA＝＝＝＝．
∴ BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA＝142＋282－2·14·28·＝72·9(BC＝21．
13．若不等式＋≤k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．
解法一：显然k＞0．(＋)2≤k2(2x＋y)((2k2－1)x－2＋(k2－1)y≥0对于x，y＞0恒成立．
令t＝＞0，则得f(t)＝(2k2－1)t2－2t＋(k2－1)≥0对一切t＞0恒成立．
当2k2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k2－1＞0．
此时当t＝时，f(t)取得最小值－＋k2－1＝＝．
当2k2－1＞0且2k2－3≥0，即k≥时，不等式恒成立，且当x＝4y＞0时等号成立．
∴ k∈[，＋∞)．
解法二：显然k＞0，故k2≥＝．令t＝＞0，则k2≥＝(1＋)．
令u＝4t＋1＞1，则t＝．只要求s(u)＝的最大值．
s(u)＝≤＝2，于是，(1＋)≤(1＋2)＝．
∴k2≥，即k≥时，不等式恒成立(当x＝4y＞0时等号成立)．
又：令s(t)＝，则s((t)＝＝，t＞0时有驻点t＝．且在0＜t＜时，s((t)＞0，在t＞时，s((t)＜0，即s(t)在t＝时取得最大值2，此时有k2≥(1＋s())＝．
解法三：由Cauchy不等式，(＋)2≤(＋1)(2x＋y)．
即(＋)≤对一切正实数x，y成立．
当k＜时，取x＝，y＝1，有＋＝，而k＝k＜×＝．即不等式不能恒成立．
而当k≥时，由于对一切正实数x，y，都有＋≤≤k，故不等式恒成立．
∴ k∈[，＋∞)．
14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；
⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．
解：对于任意n∈N*，n2≡0，1(mod 4)．
设a，b是两个不同的自然数，①若a≡0(mod 4)或b≡0(mod 4)，或a≡b≡2(mod 4)，均有ab≡0(mod 4)，此时，ab＋10≡2(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数；② 若a≡b≡1(mod 4)，或a≡b≡3(mod 4)，则ab≡1(mod 4)，此时ab＋10≡3(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数．
由此知，ab＋10是完全平方数的必要不充分条件是ab(mod 4)且a与b均不能被4整除．
⑴ 由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a＝2，b＝3，c＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．
即2，3，13是满足题意的一组自然数．
⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．
这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数．
故证．

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