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2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛
试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设7分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分56分，每小题7分。）
1．已知复数满足，则 0 ．
2．设，，则的值域为．
3．设等差数列的前n项和为，若，则中最大的是．
4．已知O是锐角△ABC的外心，，若，且，则．
5．已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点．则四面体的体积为．
6．设，且，，则符合条件的共有 1600 组．（注：顺序不同视为不同组．）
7．设，则的最小值为．
8．设p是给定的正偶数，集合的所有元素的和是．
二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。）
9．设数列满足，，其中．
（1）证明：对一切，有；
（2）证明：．
证明 （1）在已知关系式中，令，可得；
令，可得
①
令，可得
②
由①得，，，，
代入②，化简得． ------------------------------------------7分
（2）由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此．
于是．
因为，所以
．
------------------------------------------14分
10．求不定方程的正整数解的组数．
解 令，，，则．
先考虑不定方程满足的正整数解．
，，．----------------------------------5分
当时，有，此方程满足的正整数解为．
当时，有，此方程满足的正整数解为．
所以不定方程满足的正整数解为
． ------------------------------------------10分
又方程的正整数解的组数为，方程的正整数解的组数为，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为
． ------------------------------------------15分
11．已知抛物线C：与直线l：没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．
(1)证明：直线AB恒过定点Q；
(2)若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：．
证明 (1)设，则．
由得，所以．
于是抛物线C在A点处的切线方程为，即．
　　设，则有．
　　设，同理有．
所以AB的方程为，即，
所以直线AB恒过定点． ------------------------------------------7分
(2)PQ的方程为，与抛物线方程联立，消去y，得
．
设，，则
①
要证，只需证明，即
②
由①知，
②式左边=
．
故②式成立，从而结论成立． ------------------------------------------15分
12．设为正实数，且．证明：
．
证明 因为，要证原不等式成立，等价于证明
① ----------------5分
事实上，
②----------------10分
由柯西不等式知

③----------------15分
又由知
④
由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立． ------------------------------------20分

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