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8.1 平方根（第3课时） 同步练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．估计的值在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间
C．2和3之间 D．3和4之间
2．如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间
C．4和5之间 D．5和6之间
4．已知，且n是整数，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
5．已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时，_______．
6．已知是的整数部分，，则的平方根是_________．
7．已知a，b为两个连续的整数，且a<8．若，且、为连续正整数，则= _______
9．定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为__________．
10．已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则ba＝_____．
三、解答题
11．已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．
12．已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根．
13．定义一种新运算，分别用和表示实数x的整数部分和小数部分．例如：；，．
(1) ， ．
(2)如果，，求的平方根．
14．新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：
(1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ；
(2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”．
15．阅读并解答下列问题，例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是_______，小数部分是_______．
(2)已知：小数部分是，小数部分是，请求出m+n的值．
16．如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．
（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；
（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
（3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4
答案 C B C B
1．C
【分析】本题考查无理数的估算，先估算的大小，再利用不等式的基本性质解答．
【详解】解：，，
，
，
，
故选C．
2．B
【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键．
由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可．
【详解】解：∵正方形墙的面积为，
∴正方形墙的边长为，
∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点，
∴石雕的面积为；
∴石雕的边长为，
∵，
∴，
∴石雕边长的整数部分为2．
故答案为：B．
3．C
【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
先确定，再利用算术平方根的性质即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即：
故选：C．
4．B
【分析】根据无理数的估算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，及，
又∵，且n为整数，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解答的关键．
5．
【分析】本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的相关知识．由，a，b均为正整数，可知当b取最大值时，即，由此求解即可．
【详解】解：∵，a，b均为正整数，
∴
∴当b取最大值时，即时，，
∴，
解得，
故答案为：4．
6．
【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴9的平方根是；
故答案为．
7．15
【分析】估算出在哪两个相邻的整数之间，即可求出a与b的值，然后代入a＋b计算即可.
【详解】∵72<57<82,
∴7<<8,
∴a=7,b=8,
∴a＋b＝7+8=15.
故答案为：15.
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
8．
【分析】本题考查实数的估算与大小比较的能力，先估算出的取值范围，得出，的值，进而可得出结论．根据题意求出，的值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，为两个连续整数，
∴，，
∴．
故答案为：．
9．35
【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的最大整数为35．
故答案为：35．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键．
10．9
【分析】根据已知a＜＜b,结合a、b是两个连续的整数可得a、b的值,即可求解.
【详解】解：∵，
∵a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，
∴a＝2，b＝3，
∴ba＝32＝9．
故答案为9．
【点睛】此题考查的是如何根据无理数的范围确定两个有理数的值,题中根据的取值范围,可以很容易得到其相邻两个整数,再结合已知条件即可确定a、b的值．
11．
【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可．
【详解】解：由题意得：，
，．
，
．
．
．
的平方根是．
【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键．
12．±5
【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．
【详解】解：∵＝3，
∴2a﹣1＝9，
解得：a＝5，
∵3a﹣b+1的平方根是±4，
∴15﹣b+1＝16，
解得：b＝0，
∵，
∴10＜＜11，
∴c＝10，
∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25，
∴a+b+2c的平方根为＝±5．
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．
13．(1)3，；
(2)．
【分析】本题主要考查了无理数的估算．
（1）利用算术平方根估算，即可求解；
（2）先利用算术平方根估算和，得出a和b的值，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
∴，，
故答案为：3，；
（2）解：∵2，，
，，
，
，
∴的平方根是．
14．(1)，；
(2)的“青一区间”为．
【分析】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的算术平方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键．
（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可；
（2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的“青一区间”为；
∵，
∴的“青一区间”为；
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
∵，
∴的“青一区间”为．
15．(1)4，-4；
(2)1
【分析】（1）因为（即），所以可得的整数部分；用减去得到的整数部分，可得的小数部分；
（2）由与的小数部分相同，可得的值，根据不等式的性质求出的整数部分，用减去的整数部分，可得的值，将、的值代入即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是；
（2）∵小数部分是，由（1）得的小数部分是，
∴与的小数部分相同，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分是4，
∵的小数部分是，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式性质的应用、不等式的性质、整数、小数等知识点，解答本题的关键是理解题干并熟练运用以上知识点．
16．（1）13，；（2）不大于的所有正整数为：1，2，3；（3）
【分析】（1）由大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得到阴影部分面积，根据算术平方根的定义即可求出边长；
（2）对进行估值，即可解答；
（3）对，估值，分别求出a，b的值即可．
【详解】解：（1）阴影部分面积为：，
∵阴影部分是一个正方形，
∴边长为：，
故答案为：13，．
（2）不大于的所有正整数为：1，2，3．
（3）∵，
∴，
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查了无理数的估值及运算，解题的关键是掌握无理数的估值方法．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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