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8.3 实数及其简单运算（第1课时） 同步练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．实数：，，，中，无理数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列各数，，，，0，，，其中正有理数的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．无理数一定是实数 B．实数都是有理数
C．一个正数的平方根一定是正数 D．无理数包括了0
4．如图，将正方形一个顶点放在数轴上表示1的位置，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径画圆弧，交数轴原点右侧于点．若这个正方形的面积为2，则点表示的数为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点 与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动1周，点 到达点 的位置，点 表示的数为（ ）
A． B． C． D．或
6．如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（ ）

A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．实数分为正实数和负实数 B．是分数
C．数轴上的点表示的数都是有理数 D．是5的平方根
8．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
9．实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．把下列各数填到相应的横线上（只填编号即可）：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．
整数：______；
分数：______；
无理数：______．
11．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和．若，则点C所对应的实数为________．
12．若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______．

13．如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为______．
三、解答题
14．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来．
1，，，，
15．如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等．
(1)求点C所表示的数；
(2)若点C表示的数为m；求的平方根．
16．（新考向）一个工人师傅在测量如图所示的正方形零件边（）时，测量了好几遍都没有测出一个较为准确的数，取近似值又会影响到零件的使用，十分发愁．小迪过去看了看，发现该零件是由边长为2的正方形沿各边中点连线切去四角得到的，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，．请根据图形解答：
(1)想到数学课上刚学的实数，小迪很快就知道的长度了，聪明的你知道吗？并说明理由；
(2)点表示的实数是______；
(3)求三角形的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B B A D B C D B B
1．B
【分析】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数是无理数，解题的关键是熟记常见的无理数的类型．由无理数的定义进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
、是无理数；、是有理数；
∴无理数有2个；
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了实数的分类，实数包括有理数和无理数；整数和分数都属于有理数；无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．找到有理数，即可确定正有理数的个数．
【详解】解：，，，，0，，为有理数；
为无理数；
∴，，，为正有理数，
故选：B
3．A
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．根据实数的分类逐项判断即可．
【详解】解：A、无理数一定是实数，说法正确，故该选项符合题意；
B、实数包括有理数和无理数，故该选项不符合题意；
C、一个正数的算术平方根一定是正数，故该选项不符合题意；
D、无理数不包括，故该选项不符合题意；
故选： A．
4．D
【分析】本题考查正方形面积公式，数轴上点的表示等．根据题意先计算出正方形边长，再用数轴上表示1的位置加上正方形边长即可得到本题答案．
【详解】解：∵这个正方形的面积为2，
∴正方形边长为：，
∵由题意知：点表示的数为，
故选：D．
5．B
【分析】本题考查数轴，涉及圆的周长、数轴上点表示数等知识，先由圆的直径计算圆的周长，再由题意即可得到答案，熟记圆的周长公式、数轴上点表示数等知识是解决问题的关键．
【详解】解：圆的直径为1个单位长度，
圆的周长为，
该圆上的点 与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动1周，点 到达点 的位置，点表示的数为，
故选：B．
6．C
【分析】根据数轴可直接进行求解．
【详解】解：由数轴可知点C离原点最近，所以在、、、中最小的是；
故选C．
【点睛】本题主要考查数轴上实数的表示、有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握数轴上有理数的表示、有理数的大小比较及绝对值是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查实数的分类，平方根的概念，实数与数轴，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可．
【详解】解：A、实数分为正实数．负实数和零，原说法错误，本选项不符合题意；
B、是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意；
C、数轴上的点表示的数都实数，原说法错误，本选项不符合题意；
D、，则是5的平方根，原说法正确，本选项符合题意；
故选：D
8．B
【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由数轴可知，，即，，再计算绝对值即可求解．
【详解】解：由数轴可知，，即，，
．
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了实数与数轴，先根据数轴图得出的取值范围，再取，即可得出，进而得出，再据此一一判断四个选项即可；
【详解】解：由数轴可知，，不妨取，则
，
，
，
∴正确的是B选项，
故选：B．
10．①④⑧；③⑤⑥；②⑦
【分析】此题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答此题的关键．根据“正整数、负整数和0统称为整数；无限不循环的小数是无理数”进行分类．
【详解】解：整数：，，；
分数：，，；
无理数：，；
故答案为：①④⑧；③⑤⑥；②⑦．
11．/
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，数形结合是解题的关键．
先根据数轴上两点距离公式求出，再用点表示的数加上的长即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，
∴点C所对应的实数为：，
故答案为：．
12．
【分析】先估算出，，的值，再根据用数轴上的点表示实数的方法进行求解．
【详解】解：，，，
能被如图所示的墨迹覆盖的数是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了无理数的估算和用数轴上的点表示实数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
13．
【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可．
【详解】解：∵正方形的面积为2，
∴，
又∵点在点的右边，
∴点所表示的数为，
故答案为：．
14．数轴见解析；
【分析】本题考查实数的大小比较，解题的关键是正确理解实数的大小比较法则，以及数轴上右边的数永远大于左边的数．
根据实数的大小比较以及数轴与实数是一一对应的关系即可求出答案．
【详解】解：，，
由各数在数轴上的位置可得：，
15．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数与数轴、平方根等知识，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
（1）根据数轴上两点间的距离求出的长即可得出答案；
（2）把m的值代入所求代数式进行计算，再由平方根的定义即可得出答案．
【详解】（1）解：∵表示1和的对应点分别为A，B，
∴点B到点A的距离为，
∵点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等，
∴点C到原点O的距离为，
∴点C在数轴的正半轴，
∴点C所表示的数为；
（2）解：由（1）得：，
∴，
∴的平方根为．
16．(1)的长度为，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了实数与数轴，利用平方根求解方程，三角形的面积公式等．
（1）根据正方形的面积公式和三角形的面积公式，即可求出正方形的面积，根据求一个数的平方根的方法即可求解；
（2）根据题意可得，即可得出点表示的数；
（3）根据题意得出，结合图形和三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：的长度为．
理由：根据题意，得，
．
（2）解：∵，
∴，
故点表示的实数是．
故答案为：．
（3）解：，三角形中边上的高为，
．
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