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20.1 勾股定理及其应用 第1课时 同步练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，在中，，，，则的长为（ ）

A．12 B．13 C．14 D．15
2．在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知点，则线段的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
3．如图，字母所代表的正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．点C在第二象限，距离y轴3个单位长度，距离原点个单位长度，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．16 C．12 D．6
7．如图，在单位长度为1的的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　）
A． B． C． D．
8．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，几乎不用文字解释，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．统计思想 D．公理化思想
二、填空题
9．在中，，如果，那么___________．
10．已知点和，则线段的长度为______．
11．如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长为_____．
12．如图，在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与格点三角形全等，则这样的格点三角形最多可以画出______个．
三、解答题
13．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
14．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，求的值．
15．勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究．
【问题提出】
（1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积；
【深入探究】
（2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积；
【应用】
（3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B A B C D A
1．B
【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是关键．
直接根据勾股定理求解即可．
【详解】∵，，，
，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．直接利用两点之间的距离公式解答即可得．
【详解】解：∵为坐标原点，点，
∴线段的长为，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理，由题意得，，然后根据勾股定理求出即可得到答案，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，，
由题意得，，，
∴，
∴所代表的正方形的面积是，
故选：．
4．A
【分析】本题考查求根据勾股定理网格中的线段长，由图形可知，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由图形可知，，且是直角三角形，
则斜边，
故选A．
5．B
【分析】此题考查了点的坐标，勾股定理．先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标．
【详解】解：∵点C在第二象限，
∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵点距离y轴3个单位长度，距离原点个单位长度，
∴点距离x轴个单位长度，
∴点的坐标为．
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积．由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：是以为斜边的直角三角形，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积为，
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查了勾股定理的知识，由勾股定理分别计算，，，的长度，即可获得答案．
【详解】解：由勾股定理可得，，，，．
故选：D．
8．A
【分析】本题是对数学思想的考查，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法回答即可．
【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，
如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，
由图形到数学规律的转化体现的数学思想为：数形结合思想，
故选：A．
9．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．在直角三角形中，根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和．根据，因此为斜边，和为直角边．代入已知值计算即可．
【详解】解：在中，，如果，
由勾股定理得：．
故答案为：．
10．6
【分析】本题主要考查两点间的距离公式，根据两点间的距离公式求解即可．
【详解】由两点间距离公式，．
故答案为：6．
11．14
【分析】本题考查求三角形周长，涉及勾股定理、垂直平分线性质等知识，熟记勾股定理及垂直平分线性质是解决问题的关键．
先由勾股定理求出，再由垂直平分线性质得到，再由三角形周长公式得到的周长为，代值计算即可得到答案．
【详解】解：在中，，，，则由勾股定理可得，
边的垂直平分线交于点，
，
则的周长为，
故答案为：．
12．4
【分析】本题考查网格作图、勾股定理、全等三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．
由网格知，，根据勾股定理解得的长，再由全等三角形对应边相等的性质，作图即可．
【详解】解：如图：
共4个．
故答案为：4．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查中垂线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）根据中垂线的性质，得到，等边对等角，得到，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；
（2）设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵的垂直平分线交于点D，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
设，则，，
在中，由勾股定理，得：，
即，
解得；
∴．
14．
【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．连接，利用勾股定理的几何意义解答即可．
【详解】解：如图，连接，
由题意可知：，，，．
在直角和中，，
即，
∵，
，
∴．
15．（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查勾股定理的证明及运用，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
（1）通由勾股定理得，，得到，结合得到，最后根据阴影部分的面积求解即可；
（2）由题意得，，，得到，再代入计算即可；
（3）由勾股定理得到，即，再代入求值即可．
【详解】解：（1）由勾股定理得，，
即，
因为，
所以，
由图形可知，阴影部分的面积，
所以阴影部分的面积；
（2）由题意得，，
所以，
因为正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，
所以，
所以，
（3）由题意可知：，，，，
如解图，连接，
在和中，，
即，
所以．
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