资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
20.1 勾股定理及其应用 第2课时 同步练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4米，则梯子顶端到离地面（ ）
A．2米 B．3米 C．4米 D．4.5米
2．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（ ）
A． B． C． D．
3．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米．当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（ ）
A．11米 B．12米 C．13米 D．14米
4．如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点，再在河一侧岸边选定点和点，使，测得米，，根据测量数据可计算小河宽度为（ ）
A．米 B．20米 C．米 D．米
5．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
二、填空题
6．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，且，若梯子的顶端沿墙下滑到点处，这时梯子的底端也向右移动到点处，则的长度为_____．
7．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是______米．
8．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______．
9．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问______米．
三、解答题
10．每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米．
(1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长；
(2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米．
11．如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米．
(1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行）
(2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间．
12．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测量校园内旗杆的高度
测量工具 皮尺等
模型抽象 注：线段表示旗杆，垂直地面于点
测绘过程 第一次操作：如图，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度．第二次操作：如图，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点处用皮尺量出的长度．
数据信息 图中的长度为；图中的长度为．
请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度．
13．小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会产生相互干扰，，．
(1)出发时，遥控信号是否会产生相互干扰？
(2)出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？
14．如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是．
(1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？
(2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？
15．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？
16．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米．
(1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？
(2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 B C B A B
1．B
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：梯子的长度为5米，梯子底端离地面4米，
将梯子长度看作直角三角形的斜边，梯子底端离地面距离看作一条直角边，
梯子顶端到地面的距离为：（米），
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意将实际问题转化为数字问题是解题的关键．
2．C
【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．
【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：．
∴该河流的宽度为．
故选：C．
3．B
【分析】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键．根据题意设旗杆的高为x，则绳子的长为，再利用勾股定理即可求得的长，即旗杆的高．
【详解】解：画出示意图如下所示：
设旗杆的高为x，则绳子的长为，
在中，，
，
解得：，
，
即旗杆的高是．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据垂直定义可得，然后在中，利用30度角的性质得，然后利用勾股定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得米（负值舍去），
故选：A．
5．B
【分析】此题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
∴折断处离地面的高度是尺，
故选：．
6．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，即可求解．
【详解】解：设，
由题意得：，，，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
7．15
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度．
【详解】解：根据题意可知米，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
该河的宽度为15米．
故答案为：15．
8．
【分析】本题考查了勾股定理的应用．掌握勾股定理是解题的关键．设，表示出，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：设秋千绳索，
，，
，
，
在中，，即，
解得，
秋千绳索的长度是．
故答案为：．
9．8
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．在△中，根据勾股定理求出的长，在△中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论．
【详解】解：在△中，
米，米，
（米，
米，米，
（米，
（米，
（米．
故答案为：8．
10．(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可得出结论；
（2）根据勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴由勾股定理得，
即，
解得：，
即云梯顶端C与墙角O的距离的长为．
（2）解：∵，，
∴，
在中，，，
由勾股定理得，
即，
解得：，
∵，
∴．
即云梯底端在水平方向上滑动的距离为．
11．(1)米
(2)航行总时间为67.5秒
【分析】（1）根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离．
（2）根据时间路程速度，求出行驶的时间即可．
【详解】（1）解：设米，则米，
在中，根据勾股定理得：
，
解得：，
答：河宽240米．
（2）解：（秒），
（秒），
（秒），
答：航行总时间为67.5秒．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键．
12．学校旗杆的高度为
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
设学校旗杆的高度为，则图②中，，，，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设学校旗杆的高度为，则图中，，，，
在中，由勾股定理得：
∴．
解得：，
答：学校旗杆的高度为．
13．(1)出发时，遥控信号不会产生相互干扰
(2)出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰
【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意可得，，再根据勾股定理即可求解．
（2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，出发时，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴出发时，遥控信号不会产生相互干扰．
（2）解：设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，
根据题意得，，
解得：，（舍去），
∴出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰．
14．(1)如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区
(2)
【分析】本题考查行程问题，方向角；
（1）求出当台风中心移动到距时，轮船是否通过点即可判断；
（2）分别确定轮船停止和重新开始移动时台风中心的位置，根据台风中心移动的时间就是停止时间求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，
方法一：
设小时后，当台风中心在点时，轮船在点，此时，则，，
∵，
∴，
整理得，
解得，
当时，，此时轮船还没有经过，
∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；
方法二：当台风中心移动到距时，移动时间小时，
此时轮船航行距离，即还没有通过点，如果不改变航向，后续必定会进入台风影响区，
∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；
（2）解：如图，取点、，使，
当轮船运动到警戒线的点时，此时台风中心移动到点处，运动时间，此时；
轮船从点运动到点用时（小时），
设台风中心小时从移动到，则，
∴当轮船重新开始移动到点时，此时台风中心距离刚好，此后都不再受台风影响，
∴在轮船停止航行时间段，台风从移动到点，，
∴轮船停止航行时间为（小时），
∴设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，它至少需要停止航行小时．
15．(1)旗杆在距离地面处折断
(2)行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险
【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理并正确计算是解题的关键．
（1）设的长度为，则的长度为，根据勾股定理列方程，解方程即可求出的的长度．
（2）根据的长度，求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，与作比较，即可求解．
【详解】（1）解：设的长度为，则的长度为，
由勾股定理，可得，
解得．
答：旗杆在距离地面处折断．
（2）解：，
，
，
由勾股定理，可得，
，
行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险．
答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险．
16．(1)两赛车之间的距离是30米
(2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论；
（2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，
出发秒钟时，米，米
米，米
米，米
（米）
答：两赛车之间的距离是30米．
（2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得，，解得
此时，
此时，
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰，
答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑