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20.1 勾股定理及其应用 第3课时 同步练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　）
A． B． C． D．
2．勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．34
3．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
4．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（ ）．
A． B．
C． D．
5．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．如图，在数轴上点表示的实数是________．
7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中直角三角形的两条直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为__________．

8．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为___________．

9．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则______．
10．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．

11．如图，在门上方离地面的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该灯及内，灯就会自动发光．小明身高，他走到点D处时（即），灯刚好发光，则___________．
12．如图①所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）切掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为______cm．
三、解答题
13．已知如图所示．
(1)若，，边上的高，求边的长．
(2)若，为上的任意一点，求证：．
14．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)求秋千的长度；
(2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？
15．如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点．
(1)求点到点之间的距离；
(2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程．
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 C C D A D
1．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，正确利用勾股定理求出是解题的关键．先利用勾股定理求出，再根据题意得到，则点所表示的数为．
【详解】解：由题意得，
∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，
∴，
∴点表示的数为，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了勾股定理的背景图，解题关键是掌握它们的面积与正方形边长的关系，以及各边长之间的关系，据此即可求解．
【详解】解：如图，令直角三角形的三边长分别为，
∴，
∴正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积，
∴正方形B的面积是，
∴正方形B的边长是2，
故选：C ．
3．D
【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可．
【详解】解：如图示，
∴在中，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键．
4．A
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得．
【详解】由题意，画出图形如下：
由勾股定理得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键．
5．D
【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可．
【详解】解：设与交于点，
∵，
∴，，，，
∴，
整理得，
故选：D．
6．
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系．根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解．
【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长，
∴点A表示的实数是，
故答案为：．
7．13
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意，大正方形的边长为直角三角形的斜边，
∴大正方形的面积为，
故答案为：13．
【点睛】本题考查勾股定理，理解勾股定理几何应用是解答的关键．
8．
【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：

因为和都是等腰直角三角形，，
即
故
故答案为：
【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键．
9．34
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，根据勾股定理得：，，
∴，
∵，，
∴
．
故答案为：34．
10．17
【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
【详解】解：∵，
由勾股定理得，
故答案为：17．
【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
11．4
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练地掌握勾股定理．过点C作于点E，则人离墙的距离为， 在中，根据勾股定理列式计算即可得到答案．
【详解】解：如图，传感器A距地面的高度为，人高，
过点C作于点E，则人离墙的距离为，
由题意可知，，
当人离传感器A的距离时，灯发光．
此时，在中，根据勾股定理可得，
，
∴，
∴，
即人走到离墙远时，灯刚好发光．
故答案为：．
12．/
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可画出最短路径，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：由题意可得最短路径为，如图所示：
由图可知：，，，
∴是等边三角形，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
13．(1)
(2)见解析
【分析】本题主要运用勾股定理求解三角形的边长以及通过勾股定理和线段关系证明等式，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在中，过点作，交于点，在直角三角形中利用勾股定理求出两条直角边，进而得到的长；
（2）连接，过点作，交于点．根据等腰三角形三线合一可证明，根据勾股定理可证、，两式相减可得到，根据线段的和差关系结合平方差公式即可证明．
【详解】（1）解：如图①，在中，过点作，交于点．
在中，．
在中，，
．
（2）证明：如图②，连接，过点作，交于点．
，，
，
在中，．
同理，，
．
又，，
，
．
【点睛】
14．(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理求线段长，涉及矩形的判定与性质等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键．
（1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案；
（2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意知，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴，
设秋千的长度为，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
即秋千的长度是；
（2）解：设时，，
∵，
∴，
由（1）可知，，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，则 ，
解得，
即此时踏板离地的垂直高度为．
15．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可．
（2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可．
【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
即点到点的距离为．
（2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图．
如图2所示，，
如图3所示，，
如图4所示，，
因为，
所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为．
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