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20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第1课时 同步练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．2，3，5 C．4，4，8 D．4，6，12
2．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形中，，，，，．则（ ）
A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小
4．已知：在中，，则的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．14 C．24 D．26
二、填空题
7．若的三边分别是a．b．c，且a，b，c满足，则______
8．如图所示，边长为1的正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则∠BAC的度数为 ___°．
9．在中，若，则∠______．
10．如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为_____．
11．如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为_______ ．
三、解答题
12．如图，在中，已知是边上的中线，若，求的度数．
13．如图，有一块三角形菜园，其中，，．
(1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由；
(2)现要扩大菜园，在边的延长线上找一点，使边的长为，求菜园的面积扩大了多少．
14．画图题，请你在方格纸上按照如下要求设计图形，每个单元格的边长为．
(1)请在图中设计一个直角三角形，使它三边中有两边边长是无理数；
(2)请在图中设计一个直角三角形，使它的三边边长都是无理数．
15．如图，在四边形中，，，，．连接．
(1)求的长度；
(2)求的度数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A A B C C D
1．A
【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边．分别计算各选项两条较短边的和与最长边比较即可．
【详解】解：A项：，满足两边之和大于第三边，∴能组成三角形，故A正确；
B项：，等于第三边，∴不能组成三角形，故B错误；
C项：，等于第三边，∴不能组成三角形，故C错误；
D项：，∴不能组成三角形，故D错误．
故选：A．
2．A
【分析】分别求四个选项中各边长，根据勾股定理的逆定理可以判定直角三角形，即可解题．
【详解】解：A、三角形各边长为、、，，故该三角形为钝角三角形，符合题意；
B、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意；
C、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意；
D、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．
3．B
【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B
4．C
【分析】先判断是直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴的面积是：．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．
5．C
【分析】本题考查的是勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．以及勾股定理的逆定理，根据勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．
【详解】解：A、∵，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵，本选项结论错误，符合题意；
D、∵
∴，
∴是直角三角形，且，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题关键．在直角三角形中，，，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而求出，即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：，，，
，，
，，
，
是直角三角形，，
，
图中阴影部分的面积为，
故选：D
7．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，．
故答案为：
8．90
【分析】根据勾股定理可以得到AC、AB、BC的长，然后根据勾股定理的逆定理即可判断出△ABC的形状，从而可以得到∠BAC的度数．
【详解】解：由图可得，
AC=，AB=，BC=5，
∵AC2+AB2=（）2+（2）2=52=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是会用股定理的逆定理判断三角形的形状．
9．
【分析】根据，可得到，根据勾股定理可得到为三角形的斜边，所以．
【详解】解：∵，
∴，故满足勾股定理，
∴为的斜边，
∴，
故填：．
【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
10．3.5
【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
先由勾股定理的逆定理得到，求出，然后由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理即可求出的长，进而求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3.5．
11．24
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，关键是由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理推出．连接，，由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理得到，求出，即可求出△的面积．
【详解】解：连接，，
，分别是和中垂线，
，，
，
，
，
，
，
△的面积．
故答案为：24．
12．
【分析】本题考查了三角形中线的性质和勾股定理的逆定理，解此题的关键是注意数形结合思想的应用．已知是边上的中线，可求出的长度．由根据勾股定理可以确定为直角三角形，从而得出．
【详解】解： 是边上的中线，，
．
，，
．
为直角三角形．
．
13．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理．
（1）根据题目所给数据，得出，推出，即可解答；
（2）根据勾股定理求出，进而得出，最后求出的面积即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴．
∴菜园的面积扩大了．
14．(1)画图见解析（答案不唯一）；
(2)画图见解析（答案不唯一）．
【分析】此题考查了勾股定理与无理数，勾股定理逆定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据网格与勾股定理即可画图；
（）根据网格与勾股定理即可画图．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
理由：，，
∴，
∴为直角三角形，
∴满足条件；
（2）解：如图，即为所求；
理由：，，
∴，
∴为直角三角形，
∴即为所求．
15．(1)2
(2)
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形性质，角度计算等．
（1）根据题意利用勾股定理即可得到本题答案；
（2）根据题意利用勾股定理逆定理可得，继而得到本题答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，即，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
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