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20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第2课时 同步练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1． 演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西方向以海里/小时的速度航行，二号舰以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达A，B两点，相距海里，则二号舰航行的方向是（ ）
A．南偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西
2．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（ ）
A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里
3．如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（ ）
A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向
4．体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（ ）．
A．216 B．270 C．432 D．540
5．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（ ）
A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元
二、填空题
6．木工要切割一块直角三角形木板，量得木板的三边长分别为，，，则这块木板_______（填“合格”或“不合格”）．
7．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿______方向航行．
8．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为______平方米．
9．如图是某工厂的平面图经测量．
（1）则___________度；
（2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为___________米．
10．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线______千米．
11．A、B、C、D四个小城镇，它们之间（除B、C外）都有笔直的公路相连接（如图），公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：A﹣B：10元，A﹣C：12.5元，A﹣D：8元，B﹣D：6元，C﹣D：4.5元，为了B、C之间交通方便，在B、C之间建成笔直的公路，请按上述标准计算出B、C之间公共汽车的票价为_____元．
三、解答题
12．第十五届全运会由广州、深圳等广东15个地市及香港、澳门共19个城市联合承办，在区域融合、制度实践、民生发展等多个维度都影响深远．运动场馆的选择和修缮首先要考虑噪音对周边居民的影响．如图，全运会前夕、施工队正在对场馆的一边进行修缮，居民楼在场馆的一边附近的点C处，点C距离点A、B分别为和，，施工作业周围的以内为受噪声影响区域．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)居民楼会受噪声影响吗？为什么？
13．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问）
14．如图是小晨在公园里跑步的路线图，从点A到点D有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正西方处，点D在点C的正北方处．
(1)求证：；
(2)请你通过计算比较这两条路线中哪条路线更长？（参考数据：）
15．如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且．
(1)求的度数；
(2)若直线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的80米（包含80米），求被监控到的道路长度为多少？
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 C A A A A
1．C
【分析】本题考查了方位角、勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键．
由题意可知，，由勾股定理逆定理可知，结合方位角即可确定出二号舰的航行方向．
【详解】解：如图：
，
由题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴二号舰航行的方向是南偏东，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积计算，解题的关键是判断三角形的形状，再计算其面积．
先根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形的面积公式计算沙田的面积．
【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为5里，12里，13里．
，
．
这个三角形沙田是直角三角形，其中5里和12里为两条直角边．
沙田的面积为（平方里）．
故选：A．
3．A
【分析】本题考查方向角，勾股定理逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理逆定理判断即可．
【详解】解∶如图，，，
∴，，
∴，
∴，
∵长的边线为南北向，
∴长的边线方向为东西方向，
故选∶A．
4．A
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出，再证明，，据此根据这块地的面积列式求解即可．
【详解】解；如图所示，连接，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴这块地的面积，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接，先由勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形面积，然后用面积乘以单价即可．
【详解】解：连接，如图2，
∵，，，
∴
∵，，
∴，
∴
∴，
∴铺满该区域需要的费用为：（元），
故选：A．
6．合格
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的应用，根据“”可判断三角形木板为直角三角形，故可得结论．
【详解】解：∵木板的三边长分别为，，，
∴，
而，
∴，
∴三角形木板为直角三角形，
故答案为：合格．
7．西北方向
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答．
根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可．
【详解】解：由题知，海里，海里，海里，，
，
，
是直角三角形，且，
，
“海天”号沿西北方向航行．
故答案为：西北方向
8．
【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积，勾股定理的逆定理，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，，
由勾股定理得：，
∴（负值已舍去），
在中，，，
∴，
∴，
∴则这块地的面积为：
．
故答案为：
9． 160
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，等腰三角形的性质与判定，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）连接，可得，利用勾股定理可得，则可证明，再根据勾股定理的逆定理可得，即可求解；
（2）过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度．可证明，得到．求出，由勾股定理得，则，由勾股定理得，同理可得，则，据此可得答案．
【详解】解：（1）如图，连接．
∵，，
∴．
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为；；
（2）如图，过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
同理可得，
∴，
即直线上被摄像头监控到的公路长度为，
故答案为：160．
10．/
【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答．
【详解】解：
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形且；
设千米，则千米，
在中，由已知得，
由勾股定理得：，
∴，解得x=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键．
11．7.5
【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABD为直角三角形，则△BDC也为直角三角形，再根据勾股定理计算BC的长，从而算出B、C之间的票价．
【详解】根据题意，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比，
设其比例系数为（k≠0），即票价＝×路程，则路程＝k票价；
在△ABD中，AB＝10k，AD＝8k，BD＝6k，
∵AD2 + BD2 = (8k)2+(6k)2=100k2=AB2
∴△ABD为直角三角形
∴∠ ADB＝90°，
则∠ BDC＝90°；
则在Rt△BDC中，BD＝6k，CD＝4.5k；
由勾股定理可得BC2=BD2+DC2==56.25k2
∴BC＝7.5k，
则B、C之间公共汽车的票价为7.5元．
故答案为7.5
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
12．(1)是直角三角形，理由见解析
(2)居民楼不会受噪声影响，理由见解析
【分析】该题考查了勾股定理的应用．
（1）根据勾股定理逆定理即可解答；
（2）如图，过点C作于点D，根据等面积法即可求解．
【详解】（1）解：是直角三角形．
理由如下：∵，，，
∴．
∴是直角三角形，且．
（2）解：居民楼不会受噪声影响．
理由如下：如图，过点C作于点D．
则．
∴．
∴．
∵施工作业周围的以内为受噪声影响区域，，
∴居民楼不会受噪声影响．
13．(1)海港受台风影响，理由见解析
(2)台风中心移动的速度为
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）过点作于点，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，利用面积法求出的长，比较与的大小，从而判断海港是否受台风影响；
（2）设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，利用勾股定理求出的长度，进而得到的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可．
【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下：
过点作于点，如图：
、、
是直角三角形，
即
海港受台风影响；
（2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图，过点作于点
时，正好影响海港，
又∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
台风影响海港持续的时间为5小时
∴台风中心移动的速度为
答：台风中心移动的速度千米/小时．
14．(1)见解析
(2)路线更长
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理判定即可；
（2）根据勾股定理可求的长度，比较和即可．
【详解】（1）证明：在中，，，，
，，
，
，
；
（2）解：在中，，，
由勾股定理，得，
，
．
，
路线更长．
15．(1)
(2)被监控到的道路长度为米
【分析】（1）根据题目易得，，由勾股定理求出的长度,然后由勾股定理的逆定理即可求解；
（2）过D作，由轴对称的性质，得到,最后可根据勾股定理求解．
本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，正确利用勾股定理是解题关键．
【详解】（1）解：连接，
，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：过D作，然后作点A关于的对称点F，连接，如图
∴，，
由（1）：，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
在中，有，
∴，
∴，
∴被监控到的道路长度为米．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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