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第二十章 勾股定理 章末测试题 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．在中，若，，，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
2．在直角坐标系中，点A(3，2)到原点的距离是（　　）
A． B． C． D．2
3．如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（ ）
A．6 B．5 C．8 D．7
4．课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（ ）
A．①行，②不行 B．①不行，②行 C．①，②都行 D．①，②都不行
5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一根长为的竹竿斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．2
10．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积是( )
A． B． C． D．
12．如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________．
14．已知：如图，四边形， ， ，，且．则四边形的面积为_______．

15．如图，一只蚂蚁从处出发沿台阶爬行到达处，已知每级台阶的宽度和高度分别是和，台阶长度，则蚂蚁爬行的最短路程为________．
16．甲、乙两艘客轮分别用和速度同时离开港口，甲、乙客轮分别都用到达A、B两点，若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是___________．（只填序号）
①北偏西 ②南偏西 ③南偏东 ④南偏西
三、解答题
17．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长．
18．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上．
(1)______．
(2)利用正方形网格，证明（1）中的结论．
19．如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且∠ABC=90°，连接AC．
（1）求AC的长度；
（2）试判断三角形ACD的形状.
20．如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为米，C处与B村的距离为米，且．

(1)求A，B两村之间的距离；
(2)为了安全起见，爆破点C周围半径米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
22．明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯（如图1），其示意图如图2，已知，与的张角记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是，为固定张角α大小的锁链．
(1)求锁链长度的最大值；
(2)若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离．（结果保留根号）
23．在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
24．如图，在中，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．
(1)求边的长；
(2)当为直角三角形时，求的值．
25．［核必素养］勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小明利用图①证明勾股定理的过程．
如图①，，求证：．
证明：连接，过点作交的延长线于点，则，
则．
又，
，
．
请参照上述证法，利用图②进行证明．
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中，连接．求证：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D A D C C C C D
题号 11 12
答案 A D
1．C
【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理直接计算即可；掌握勾股定理内容是关键．
【详解】解：，，，
；
故选：C．
2．C
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，AB⊥x轴于点B，
∵A（3，2），
∴OB=3，AB=2，
∴OA=，
∴点A（3，2）到原点的距离是，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
3．D
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可知面积为4和面积为3的正方形的边长的平方和等于面积为S的正方形边长的平方，据此可得答案．
【详解】解：每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，
每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方，
∴由勾股定理得：；
故选：D．
4．A
【分析】根据图①可以得到（a+b）2＝ab×4+c2，然后化简即可；根据图①，无法确定a、b、c的关系．
【详解】解：由图①可得，
（a+b）2＝ab×4+c2，
化简，得：a2+b2＝c2，
故图①可以证明勾股定理；
根据图②中的条件，无法证明勾股定理；
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．D
【分析】是直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意可知，是直角三角形，
在中，，，
∴，，
在中，，，则，
∴，
∴小巷的宽为，
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键．
6．C
【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．
【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：．
∴该河流的宽度为．
故选：C．
7．C
【分析】直接利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：由题意得：，，，
则，
即该竹竿的顶端离地竖直高度为，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
8．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，正确利用勾股定理求出是解题的关键．先利用勾股定理求出，再根据题意得到，则点所表示的数为．
【详解】解：由题意得，
∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，
∴，
∴点表示的数为，
故选：C．
9．C
【分析】本题考查与直角三角形的三边有关的图形的面积，根据题意，得到小正方形的边长等于两条直角边的差值，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：中间小正方形的边长，
∴小正方形的面积为：；
故选C．
10．D
【分析】首先根据勾股定理求出的长度即可判断A，B，C选项，然后利用勾股定理逆定理得到，最后根据度角直角三角形的性质即可判断D选项．
【详解】根据勾股定理可得，，故A选项正确，不符合题意；
根据勾股定理可得，，故B选项正确，不符合题意；
根据勾股定理可得，，故C选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了勾股定理和网格的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
11．A
【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，得到，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
，，
，
，
，，
，
为直角三角形，且，
，
故选：A．
12．D
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键．
首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出．
【详解】解：∵，中为上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
，
，
∴，
故选：D．
13．12
【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12．
【详解】解：如图，
∵，，
，
∴，
∵在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS），
∴AB=CD，BC=DE，
∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8，
同理可证FG2+LK2=HL2=4，
∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键．
14．
【分析】本题主要考查的是勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．连接，由已知条件结合勾股定理求得、的面积，从而求得四边形的面积．
【详解】解：连接，

∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形的面积为，
故答案为：．
15．275
【分析】本题考查求最短路径问题—勾股定理，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
每级台阶的宽度和高度分别是和，
台阶平面展开图为长方形，长，宽，
蚂蚁从A点沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：，
故答案为：275．
16．①/③
【分析】作出图形，根据勾股定理逆定理证明和是直角三角形，再利用角的和差即可求解．
【详解】解：如图，O表示港口，
根据题意得：OA=20×40=800，OB=15×40=600，AB==1000，
∴OA2+OB2=AB2，
∴是直角三角形，且∠AOB=90°，
同理，是直角三角形，且=90°，
∵甲客轮沿着北偏东的方向航行，即，
∴或等于60°，所以乙客轮的航行方向可能是北偏西 或南偏东 ．
故答案为：①或③
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键．
17．53
【分析】由BC=20、CD=16、BD=12由勾股定理逆定理易证∠BDC=90°，再设AD=x，则AC=AB=AD+BD=12+x，在Rt△ACD中由勾股定理建立方程，解出x的值，即可求得△ABC的周长了.
【详解】解：设AD=xcm ,
∵BD2+CD2=122+162=400，BC2=202=400，
∴BD2+CD2=BC2 ，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠BDC=90°，∠ADC=90°，
∴在 Rt△ACD中：AD2+CD2 =AC2 ，
∴x2+162=(x+12)2，解得：x=
∴AB=AC=12+=
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=++20=.
【点睛】本题解题的要点是由“BC=20、CD=16、BD=12”利用勾股定理的逆定理证得∠BDC=90°，从而得到∠ADC=90°，这样结合AB=AC即可由勾股定理建立方程使问题得到解决.
18．(1)45°
(2)见解析
【分析】（1）根据网格特点和三角形外角的性质分析求解即可；
（2）延长BA交格点于D，连接CD，利用勾股定理逆定理证明，然后根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】（1）解：，
故答案为：45°；
（2）证明：如图，延长BA交格点于D，连接CD，
则，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形外角的性质，根据网格特点求出是解题的关键．
19．（1）；（2）△ACD是直角三角形．
【详解】解：（1）∵∠B=90°，AB=1，BC=2，
∴AC2=AB2+BC2=1+4=5，
∴AC=；
（2）△ACD是直角三角形．理由如下：
∵AC2+CD2=5+4=9，AD2=9，
∴AC2+CD2=AD2
∴△ACD是直角三角形．
20．(1)米；
(2)段公路需要封锁，需要封锁的路段长度为米．
【分析】此题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定和性质等知识．
（1）由勾股定理即可求解；
（2）过C作于D.先用等积法求出，比较得到结论：段公路需要封锁．以点C为圆心，米为半径画弧，交于点E，F，连接，，利用勾股定理和等腰三角形的性质即可求出需要封锁的路段长度．
【详解】（1）解：在中，米，米，
（米）.
答：A，B两村之间的距离为米；
（2）公路有危险而需要封锁.
理由如下：如图，过C作于D.
，
（米）．
由于米米，故有危险，
因此段公路需要封锁．
以点C为圆心，米为半径画弧，交于点E，F，连接，，
米，
（米），是等腰三角形，
∴
∴（米），
则需要封锁的路段长度为米．
21．(1)风筝的高度CE为16.6米
(2)他应该往回收线7米
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米，
答：风筝的高度为16.6米；
（2）解：由题意得，，
，
（米，
（米，
他应该往回收线7米．
22．(1)锁链长度的最大值为
(2)桑梯顶端D到地面的距离为
【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等等；
（1）根据当时，锁链长度的最大，可得是等边三角形，即可求解；
（2）过点D作，垂足为E，在中，用勾股定理即可求解
【详解】（1）解：（1）由题意得：当时，锁链长度的最大，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴锁链长度的最大值为；
（2）（2）过点D作，垂足为E，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中， ，
∴
∴此时桑梯顶端D到地面的距离为．
23．2或2或3
【分析】根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．
【详解】∵AC=4，BC=2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，
∠ACB=90°．
分三种情况：如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
∵DE⊥CB，
∴∠BED=∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°.
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=BD，∠ABD=90°，
∴∠CBA+∠DBE=90°，
∴∠CAB=∠EBD.
在△ACB与△BED中，
∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD，
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BE=AC=4，DE=CB=2，
∴CE=6.根据勾股定理得
如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．
∵BC⊥CA，∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠EAD+∠EDA=90°.
∵△ABD为等腰直角三角形，∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠CAB+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠ADE.在△ACB与△DEA中，
∵∠ACB=∠DEA，∠CAB=∠EDA， AB=DA，
∴△ACB≌△DEA（AAS），
∴DE=AC=4，AE=BC=2，
∴CE=6，根据勾股定理得
如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°.
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°.
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF.
∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，
∴△AFD≌△DEB，则ED=AF.
由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，则四边形CEFA是矩形，故CE=AF，EF=AC=4.
设DF=x，则BE=x，故EC=2+x，AF=DE=EF-DF=4-x，则2+x=4-x，解得x=1，
故EC=DE=3，
则
【点睛】考查勾股定理的逆定理, 全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想以及数形结合思想在解题中的应用，不要漏解.
24．(1)
(2)4或
【分析】本题考查了勾股定理以及分类讨论．
（1）由勾股定理求解即可；
（2）①由题意得：，分两种情况：①当时，点P与点C重合，则，得；
②当时，，在和中，由勾股定理得：，求解即可．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理，
得，
；
（2）解：由题意，得，分以下两种情况：
①如图，当时，点与点重合，
即，
；
②如图，当时，，
，
在中，，
在中，，
即，
解得．
综上所述：当为直角三角形时，的值为4或．
25．见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明、三角形面积的计算方法、多边形面积的计算方法．根据，可得出结论．
【详解】证明：如答图，连接，过点作交的延长线于点，则．
，
，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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