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相交线与平行线 章末综合测试题 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）下年级下册
一、单选题
1．如图，直线，交于点，若增大，则（ ）
A．不变 B．增大 C．减少 D．增大
2．是直线外一点，分别是上三点，已知．若点到的距离是，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置．若，则等于　　

A． B． C． D．
4．如图,从①∠1=∠2；②∠C=∠D；③∠A=∠F；三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中,正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．如图，已知，一副三角板按如图放置，，则为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，下列推理过程及括号中所注明的推理依据正确的是（ ）
A．∵，∴（内错角相等，两直线平行）
B．∵，∴（两直线平行，内错角相等）
C．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵，∴（两直线平行，同位角相等）
7．如图，直线，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将直角梯形ABCD平移得到EFGH，若HG＝10，MC＝2，MG＝4，则图中阴影部分面积为（　　）
A．36 B．24 C．28 D．54
9．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ）

A．70° B．65° C．60° D．50°
10．如图，已知，，，给出下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是____________，结论是这两条直线平行，它是________命题（填“真”，“假”）．
12．已知是两面互相垂直的平面镜，一束光线沿经反射后沿射出，若，则_______．
13．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝24°，则∠BOD的大小为_____．
14．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 _____m．
15．一大门的栏杆如图所示，垂直地面于点A，平行于地面，则_____．
16．如图，已知，则三者之间的关系是__________．
17．如图，将周长为16的沿方向平移3个单位长度得，则四边形的周长为_________．

18．如图，有一块长为32 m、宽为24 m的长方形草坪，其中有两条直道将草坪分为四块，则分成的四块草坪的总面积是________m2．
三、解答题
19．如图，在直角三角形中，，在三角形内有一点．
(1)在上找一点，使得是点到的最短距离；
(2)过点作直线，作直线；并直接写出直线与所夹的角与有怎样的大小关系？
20．如图，已知，是延长线上一点，与交于点，，，求证：．
请你补全下面的证明过程，并在括号内填写相应的理由．
证明：，，
，
（__________________），
______．
，
，
______，
（__________________）．
21．近来古风文化盛行，很多人受到影响后也对古风文化产生了兴趣．如图①是古筝的示意图，其支撑架可抽象成如图②所示图形，已知，且平分，平分，求证：．
22．如图，在网格图中，平移三角形使点平移到点，每个小格代表1个单位长度．
(1)画出平移后的三角形；
(2)求三角形的面积．
23．如图，已知点在上，平分，平分．
(1)试说明：；
(2)若，，则与平行吗？为什么？
24．如图，AD∥BC，∠EAD＝∠C．
（1）试判断AE与CD的位置关系，并说明理由；
（2）若∠FEC＝∠BAE，∠EFC＝50°，求∠B的度数．
25．如图①是某工业风餐厅的吊灯，图②是抽离出来的几何模型．已知，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
26．（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本中的一道习题：
如图①，如果，那么（ ）
【类比探究】
（2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图②，不变，当点移动到点的位置时，请写出，，之间的等量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图③，将图①的部分与图②重合，不变，当，分别平分和时，请写出与之间的等量关系，并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B D B B A A A B
1．B
本题考查了对顶角的性质，由对顶角相等即可求解；掌握对顶角的性质是解题的关键．
解：由题意得
，
增大，
增大，
故选：B．
2．A
本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解答本题的关键．根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答即可．
解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离，即．
故选：A．
3．B
此题主要考查了平行线的性质、轴对称的性质等，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
根据平行线的性质可得，再由折叠可得，再根据平角定义可得答案．
解：，，
，
由折叠可得，
，
故选：．
4．D
如图所示：
当①∠1=∠2，则∠3=∠2，故DB∥EC，则∠D=∠4；
当②∠C=∠D，故∠4=∠C，则DF∥AC，可得：∠A=∠F，
即①②可证得③；
当①∠1=∠2，则∠3=∠2，故DB∥EC，则∠D=∠4，
当③∠A=∠F，故DF∥AC，则∠4=∠C，故可得：∠C=∠D，
即①③可证得②；
当③∠A=∠F，故DF∥AC，则∠4=∠C，
当②∠C=∠D，则∠4=∠D，故DB∥EC，则∠2=∠3，可得：∠1=∠2，
即②③可证得①.
故正确的有3个．
故选D．
点睛：本题主要考查了平行线的判定和性质，正确掌握并熟练运用平行线的判定与性质是解题关键．
5．B
根据平行线的性质和判定求解即可．
∵
∴
∵
∴
∴．
故选：B．
本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
6．B
根据平行线的性质及平行线的判定定理解答．
解：A．∵，∴（内错角相等，两直线平行），故选项错误，不符合题意；
B．∵，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），故选项正确，符合题意；
C．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补），故选项错误，不符合题意；
D．∵，∴（同位角相等，两直线平行），故选项错误，不符合题意；
故选：B．
此题考查平行线的性质定理及平行线的判定定理，熟记定理是解题的关键．
7．A
本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
8．A
根据图形可知图中阴影部分的面积等于梯形的面积减去梯形的面积，恰好等于梯形的面积减去梯形的面积．
解：阴影部分的面积等于梯形的面积减去梯形的面积，
等于梯形的面积减去梯形的面积，
阴影部分的面积等于梯形的面积，
，，，
．
故选：．
主要考查了梯形的性质和平移的性质，要注意：平移前后图形的形状和大小不变．本题的关键是能得到：图中阴影部分的面积等于梯形的面积减去梯形的面积，恰好等于梯形的面积减去梯形的面积．
9．A
根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．
解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
10．B
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解决本题的关键．
由平行线的性质，即“两条直线平行，同位角相等”可判断①；由“内错角相等，两直线平行”可判断②；由可判断③和④．
解：∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
但由已知信息无法推断，
故不一定成立，故③错误；
∵，
∴，
∵，
但不一定成立，故④错误，
∴正确的为①和②，共2个．
故选：B．
11． 平行于同一条直线的两条直线 真
根据命题及真假命题的概念可直接进行求解．
解：命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是平行于同一条直线的两条直线，结论是这两条直线平行，它是真命题；
故答案为平行于同一条直线的两条直线，真．
本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握命题的概念及真假命题的判断是解题的关键．
12．25
此题考查的是平行线的性质，熟知入射角等于反射角和掌握平行线的性质是解题的关键．根据入射角等于反射角得出，，由得出，得出，即可得答案．
解：∵入射角等于反射角，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．42°
根据直角的定义可得∠COE＝90°，然后求出∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠AOC＝∠AOF ∠COF求出∠AOC，再根据对顶角相等解答．
∵∠COE是直角，
∴∠COE＝90°，
∴∠EOF＝∠COE ∠COF＝90° 24°＝66°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝66°，
∴∠AOC＝∠AOF ∠COF＝66° 24°＝42°，
∴∠BOD＝∠AOC＝42°．
故答案为：42°．
本题主要考查了角度的计算，熟练掌握相关概念是解题关键.
14．140
将小桥横，纵两方向都平移到一边可知，小桥总长中矩形周长的一半，为140m．
15．
本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．过B作，则．根据平行线的性质即可求解．
解：过B作，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
本题考查平行线的性质，掌握这三个性质定理是解题的关键．
根据平行线的性质得到，，，再结合代入整理即可．
解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．22
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到，，再利用等线段代换得到四边形的周长．
解：∵将周长为16的沿方向平移3个单位长度得，
∴，，
∴，
∴四边形的周长．
故答案为：22．
18．660．
解：如图，两条直道分成的四块草坪分别为甲、乙、丙、丁，
把丙和丁都向左平移2米，然后再把乙和丁都向上平移2米，组成一个长方形，长为32－2＝30米，宽为24－2＝22米，所以四块草坪的总面积是30×22＝660（㎡）．
故答案为：660．
本题考查了平移的应用，将草坪平移组成一个长方形是解决此题的关键．
19．(1)见解析
(2)图见解析，相等或互补
（1）过点作于点，则点即为所求作；
（2）按照画平行线的方法作出直线、，然后利用平行线的性质及互补的定义即可得出直线与所夹的角与之间的大小关系．
（1）解：如图，点即为所求作；
（2）解：如图，直线、即为所求作，
答：直线与所夹的角与相等或互补．
本题主要考查了画垂线，垂线段最短，画平行线，两直线平行同位角相等，互补的定义等知识点，熟练掌握基本的作图方法与技巧及与之相关的性质是解题的关键．
20．见解析
本题主要考查了同位角相等两直线平行，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
由垂线的性质可得，由同位角相等两直线平行可得，由两直线平行同位角相等可得，进而可得，由同位角相等两直线平行可得，由两直线平行内错角相等即可得出结论．
解：补全证明过程如下：
，，
，
（同位角相等，两直线平行），
，
，
，
，
（两直线平行，内错角相等）．
21．见解析
本题主要考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的定义．解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．由可得，可得出．再由角平分线的定义可得，，得出，最后由平行线的判定可得结论．
证明：，
，
．
平分，平分，
，，
，
．
22．(1)见解析
(2)
本题考查了平移作图，割补法求面积，掌握平移的性质是解题关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）利用割补法求面积即可．
（1）解：如图所示，三角形即为所求．
（2）解：．
23．(1)见解析
(2)，理由见解析．
本题考查了平行线的判定，平行公理推论，角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线定义是解题的关键．
（1）先利用角平分线的定义得到，，根据平角的定义得到，根据垂直的定义求解即可；
（2）根据平行线的判定及平行公理推论即可求解；
（1）解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2），理由如下：
由（1）得，∠3＝∠4．
∵，，
∴，，
∴，，
∴．
24．（1）AE∥CD，理由见解析；（2）50°
（1）根据平行线的性质得出∠D+∠C＝180°，求出∠EAD+∠D＝180°，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质和三角形的外角性质求出即可．
解：（1）AE∥CD，
理由是：∵AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∵∠EAD＝∠C，
∴∠EAD+∠D＝180°，
∴AE∥CD；
（2）∵AE∥CD，∠EFC＝50°，
∴∠AEF＝∠EFC＝50°，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠FEC，
又∵∠FEC＝∠BAE，
∴∠B＝∠AEF＝50°．
此题考查平行线的判定与性质，三角形的外角性质，解题关键在于掌握判定定理.
25．(1)见解析
(2)
此题主要考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理及对顶角的性质，解答此题的关键是根据平行线的判定推出．
（1）首先根据三角形内角和定理及对顶角的性质可得，再由平行线的判定可得结论；
（2）首先根据平行线的性质可得，再由，，可得，得出，从而证得．再推导得出，最后求解即可．
（1）证明：，，
且，
，
，
即；
（2）解：由（1）知，
．
，，
，
，
．
，
，
解得．
26．（1）C；（2），理由见解析；（3），理由见解析
本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质及角平分线的性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质及等式的的性质求解即可；
（2）过点作，再根据平行线的性质与判定求解；
（3）利用（1）（2）的结论及角平分线的定义求解．
解：（1），
，，
，
故选：C；
（2）．
理由：过点作，点在点的左侧，
．
，
，
，
；
（3）．
理由：，分别平分和，
，．
由（1）可得，
，
即．
由（2）可得，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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