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高阶速练
第2讲整式与因式分解
1.(2025·湖南中考)先化简，再求值：(+2)(x-2)+x(1-x),其中x=6。
2.若多项式x2-mx+6分解因式后，有一个因式是x-3,求m的值。
3.当m,n为何值时，多项式m2-2mn+2n2-4n+25有最小值，并求出这个最小值。
4.在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式
的变形加以说明。例如：利用图1中边长分别为a,b的正方形，以及长为4，宽为b的长方
形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式。请你解答下
面的问题：
(1)利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：
(2)利用图1中三种卡片若干张拼出一个面积为a2+4ab+3b2的长方形，请你分析这个长方形
的长和宽。
图1
图2
图3
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第 2讲 整式与因式分解
1. （2025·湖南中考）先化简，再求值：(x+2)(x 2)+x(1 x)，其中 x=6。
答案：先利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开化简：
(x+2)(x 2)+x(1 x) = x2 4+x x2 = x 4
将 x=6代入化简后的式子：原式=6 4=2
2. 若多项式x2 mx+6分解因式后，有一个因式是 x 3，求 m的值。
答案：
设多项式分解后的另一个因式为 x+a，根据因式分解与整式乘法的逆运算关系，可得：
(x+a)(x 3)=x2+( 3+a)x 3a
与原多项式x2 mx+6 3a=6对应系数相等，因此建立方程组： 3+a= m
由 3a=6解得 a= 2，将 a= 2代入 3+a= m，
得： 3+( 2)= m m=5 ， 故 m的值为 5。
3. 当 m，n为何值时，多项式m2 2mn+2n2 4n+25有最小值，并求出这个最小值。
答案：通过配方将多项式变形为平方和形式：
m2 2mn+2n2 4n+25 = m2 2mn+n2+n2 4n+4+21 = (m n)2+(n 2)2+21
因为平方数具有非负性(m n)2≥0，(n 2)2≥0，
当两个平方项均为 0 m n=0时，多项式取得最小值： n 2=0 解得 m=n=2，
此时最小值为 0+0+21=21。综上，当 m=2且 n=2时，多项式有最小值 21。
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4. 在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式
的变形加以说明。例如：利用图 1中边长分别为 a，b的正方形，以及长为 a，宽为 b的长方
形卡片若干张拼成图 2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式。请你解答下
面的问题：
（1）利用图 1中的三种卡片若干张拼成图 3，可以解释等式：________；
（2）利用图 1中三种卡片若干张拼出一个面积为a2+4ab+3b2的长方形，请你分析这个长方形
的长和宽。
图 1 图 2 图 3
答案：
（1）观察图 3的几何意义，其长为 2a+b，宽为 a+b，面积可表示为(2a+b)(a+b)；
同时，图 3由 2张边长为 a的正方形、3张长 a宽 b的长方形、1张边长为 b的正方形组成，
面积和为 2a2+3ab+b2，因此等式为：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2
（2）
对多项式a2+4ab+3b2
进行因式分解：a2+4ab+3b2=(a+3b)(a+b)
根据长方形面积公式“面积=长×宽”，结合几何拼图的实际意义，
长方形的长为 a+3b，宽为 a+b（长大于宽，故长取 a+3b）。
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