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2025-2026人教版七年级数学下分层精析精练
7.1.2 两条直线垂直
知识点1、垂直的定义
1．如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图所示，直线相交于点O，于O，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点O为直线上一点，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，射线，则射线表示的方向是（ ）
A．南偏西 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏东
5．如图所示，直线，相交于点O，，，，的度数为 ．
6．如图，直线，相交于点O，，平分．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
7．如图所示，是直线上的点，，平分．
(1)求的度数．
(2)若，求的度数．
8．如图，直线与相交于点，于点，若，求的度数．
知识点2 垂线的画法
9．经过直线上的一点，能用三角板或量角器画直线的垂线吗画出的垂线有几条经过直线外的一点呢
10．如图，已知点A、B、C，根据下列语句画图（画图均不写作法，但要保留作图痕迹）：
(1)分别画出直线，射线；
(2)在线段的延长线上截取线段，使得；
(3)连接；
(4)画出的余角．
11．如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）．
12．如图，已知直线和点E，过点E分别画出直线的垂线．
13．如图，P是的边上的一点．
(1)过点P画的垂线，垂足为C；点P到直线的距离是线段________的长度．
(2)过点P画的垂线，交于点D．
(3)比较与的大小，并说明理由．
14．如图，点，分别是的边，上的点．
(1)过点画的垂线，交于点；
(2)过点画的垂线，垂足为，连接；
(3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离；
(4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____．
知识点3垂线的性质
15．已知C，D，E三点在直线上，P为直线外一点，，，，则点P到直线的距离（ ）
A．等于1 B．小于1 C．大于1 D．不大于1
16．如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
18．如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ．
19．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ．
20．如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ．
21．如图，从书店到公路最近的是 号路线，理由是 ．
22．如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度．
易错点
未给出图形，考虑不周出错
23．直线，垂足为点，直线经过点，若锐角，则 ．
24．已知，点为直线上一点，过点作射线，．
(1)如图1，则的度数为_______；
(2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数；
(3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数．
1．如图，与互为补角，有以下三条信息：
①平分，②，③平分．
请你从以上3条信息中选择2条作为条件，1条作为结论，组成一个正确的结论，并说明理由．
你选择的条件是：______，结论是：______．
理由：
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分．
(1)若，则________________（用含α的式子表示）．
(2)若，，求的度数．
3．已知直线，，交于点，是的角平分线．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若，，证明：．
4．如图，直线与相交于点O，，平分．
(1)如果，则______；
(2)如果，则______（用含n的代数式表示）；
(3)如果比大，求的度数．
5．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分．
(1)如图1，如果，求的度数；
(2)如图2，如果，则的度数为___________．
6．点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分．
(1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数．
(2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数．
(3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数．
7．如图所示，，相交于点O，平分，，，求、的度数．
8．如图，直线相交于点，，垂足为．从点出发在的内部引一条射线．
(1)的对顶角是___________，与_______________互为邻补角；
(2)若，射线平分，求的度数；
(3)若，求的度数．
1．如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）．
(1)如图，为直线上一点，于点，于点，的垂角是________，的垂角是________；
(2)在（1）的条件下，若的垂角比大40°，求的度数．
2．如图，直线、相交于点O，，且平分．
(1)【探究发现】若时，则的度数是 ；
(2)【类比延伸】若时，求的度数 ；
(3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明．
3．如图1，，射线在平面内．
(1)如图，垂直，平分，则的度数为______；
(2)若与互补，求的大小；
(3)若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______．
4．按照下列要求完成画图及相应的问题解答．
（1）画直线；
（2）画；
（3）画线段；
（4）过点画直线的垂线，垂足为点；
（5）点到直线的距离是线段 的长度﹒
5．如图，，，相交于点O，平分，，．
(1)线段_______的长度表示点M到的距离；
(2)比较与的大小（用“”号连接）：_______，并说明理由：______．
(3)求的度数．
2025-2026人教版七年级数学下分层精析精练
7.1.2 两条直线垂直（解析版）
知识点1、垂直的定义
1．如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题主要考查垂线的定义，角的概念，对顶角、邻补角的定义，准确识图，理解垂线的定义，对顶角、邻补角的定义是解决问题的关键．
根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
【详解】解：①∵直线，相交于点，，
∴，
故条件①能说明；
②∵直线，相交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故条件②能说明；
③∵直线，相交于点，
∴，
根据已知条件，不能得到，
故条件③不能说明；
④∵直线，相交于点，
∴，
∵，
∴，
故条件④能说明，
综上所述：能说明的条件有①②④，共3个．
故选：C．
2．如图所示，直线相交于点O，于O，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂线，角的和差计算，解题的关键是掌握以上知识点．
根据垂直的定义与角的和差计算即可．
【详解】解：于点O，
，
，
，
故选：C．
3．如图，点O为直线上一点，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直的定义，掌握垂直的定义是解题的关键．根据垂直的定义可得，即可得解．
【详解】解：，
，
，
故选：．
4．如图，射线，则射线表示的方向是（ ）
A．南偏西 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏东
【答案】B
【分析】本题主要考查方位角及垂线的定义，熟练掌握方位角及垂线的定义是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴射线表示的方向是南偏东；
故选B．
5．如图所示，直线，相交于点O，，，，的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查垂线的性质（两直线垂直则夹角为）与对顶角的性质（对顶角相等），熟练运用这两个性质是解决此类角度计算问题的关键．先依据垂线的性质确定直角（），再通过角度差求出，结合对顶角相等得到，最后利用角度和求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
6．如图，直线，相交于点O，，平分．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）先根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得；
（2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
7．如图所示，是直线上的点，，平分．
(1)求的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）由邻补角的性质得，进而根据角平分线的定义即可求解；
（）由垂直的定义得，再根据角的和差关系即可求解；
本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴，
由（）知，
∴．
8．如图，直线与相交于点，于点，若，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查垂直、对顶角、在几何中计算角的问题等，关键是掌握对顶角相等，垂直的定义．先通过对顶角求出，再通过垂直求出，然后根据求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
知识点2 垂线的画法
9．经过直线上的一点，能用三角板或量角器画直线的垂线吗画出的垂线有几条经过直线外的一点呢
【答案】经过直线上一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条；经过直线外一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条．
【分析】本题主要考查了画已知直线的垂线，熟练掌握同一平面内，过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键．
三角板画法：将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边过点A（或点B），过点A（或点B）沿直角边向已知直线画直线即可 ，这条直线就是的垂线；量角器画法：将量角器的刻度线与已知直线重合，沿已知直线移动量角器，使刻度线经过已知点，作出刻度线上的另一点，用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线．
【详解】解：三角板画法：将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边过点A（或点B），过点A（或点B）沿直角边向已知直线画直线即可 ，这条直线就是的垂线，在同一平面内，过一点只能画一条直线的垂线；
量角器画法：将量角器的刻度线与已知直线重合，沿已知直线移动量角器，使刻度线经过已知点，作出刻度线上的另一点，用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线；
故经过直线上一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条；经过直线外一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条．
10．如图，已知点A、B、C，根据下列语句画图（画图均不写作法，但要保留作图痕迹）：
(1)分别画出直线，射线；
(2)在线段的延长线上截取线段，使得；
(3)连接；
(4)画出的余角．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题考查了画射线、线段与直线、作线段，作垂线，以及余角，熟练掌握尺规作图是解题关键．
（1）根据直线、射线的定义即可作图；
（2）在延长线上截取，使即可；
（3）把点连接即可；
（4）过点作直线的垂线，则即为的余角．
【详解】（1）解：如图，直线，射线即为所求；
（2）解：如图，线段即为所求；
（3）解：如图，即为所求；
（4）解：如图，即为所求．
11．如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【分析】采用三角板的直角辅助作图：利用三角板的直角，使其一边与目标直线重合，另一边经过点P，沿该边画出过P的垂线．
【详解】解：
【点睛】本题考查过一点作已知直线的垂线的作图方法，掌握利用三角板的直角边辅助作垂线的操作方法是解题的关键．
12．如图，已知直线和点E，过点E分别画出直线的垂线．
【答案】作图见详解
【分析】本题考查了垂线的概念和基本作图方法，属于初中几何的基础知识点，解题的关键是理解垂线的定义（两条直线相交成角），并掌握过一点作已知直线垂线的操作步骤；易错点在于作图时可能未准确保证垂直关系，或垂线未经过给定点，导致作图失误．明确垂线的几何性质：过点作直线的垂线，需作一条通过点且与垂直的直线；同理作的垂线．
【详解】
作的垂线：
①将三角板的一条直角边紧贴直线；
②平移三角板，使另一直角边恰好经过点；
③沿三角板的这条直角边画直线，该直线即为过点且垂直于的垂线．
作的垂线：
①将三角板的一条直角边紧贴直线；
②平移三角板，使另一直角边经过点；
③沿直角边画直线，该直线即为过点且垂直于的垂线．
最终，两条垂线应分别通过点，且与、垂直（相交成角）．
13．如图，P是的边上的一点．
(1)过点P画的垂线，垂足为C；点P到直线的距离是线段________的长度．
(2)过点P画的垂线，交于点D．
(3)比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析
(3)，垂线段最短
【分析】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图．
（1）根据题意画垂线，根据点到直线的距离的定义得到点到直线的距离是线段的长度；
（2）根据题意画垂线；
（3）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到．
【详解】（1）解：如图所示，点到直线的距离是线段的长度；
（2）解：如图所示；
（3）解：，理由：垂线段最短．
14．如图，点，分别是的边，上的点．
(1)过点画的垂线，交于点；
(2)过点画的垂线，垂足为，连接；
(3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离；
(4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____．
【答案】(1)图见详解
(2)图见详解
(3)射线，线段
(4)，点到直线的距离，垂线段最短
【分析】本题主要考查垂线的定义及点到直线的距离，熟练掌握垂线的定义及点到直线的距离是解题的关键；
（1）根据格点特征及垂线的定义可进行作图；
（2）根据格点特征及垂线的定义可进行作图；
（3）根据点到直线的距离可进行求解；
（4）根据点到直线的距离，垂线段最短可进行求解．
【详解】（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：所作图形如图所示；
（3）解：线段的长度是点到射线的距离，线段的长度是点到直线的距离；
故答案为射线，线段；
（4）解：由图可知：，理由是点到直线的距离，垂线段最短；
故答案为，点到直线的距离，垂线段最短．
知识点3垂线的性质
15．已知C，D，E三点在直线上，P为直线外一点，，，，则点P到直线的距离（ ）
A．等于1 B．小于1 C．大于1 D．不大于1
【答案】D
【分析】本题考查了垂线段最短的性质．掌握垂线段最短是解答本题的关键．根据垂线段最短的性质，点P到直线的距离不大于从P到上任意点的线段长度．
【详解】解：垂线段最短，
∴点P到直线的距离不大于、、．
，，，
．
点P到直线的距离不大于，即不大于1．
故选：D．
16．如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键．先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点C到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等．
【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点C到所在直线的距离，是从C向所作垂线段的长度，
观察图形，，因此的长度就是点C到的距离．
故选：D．
17．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【分析】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．根据点到直线的距离，即可求解．
【详解】解：如图：
符合条件的直线共有4条；
故选：D．
18．如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ．
【答案】垂线段最短
【分析】根据题意可直接进行求解．
本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是理解题意．
【详解】解：由题意可知运用到的数学知识是：直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
19．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ．
【答案】垂线段最短
【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可．
【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
20．如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ．
【答案】
【分析】根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短。此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度．
【详解】解：根据垂线段最短可知，当时，最短．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂线段最短的性质和三角形面积公式的应用，解题关键是利用 “垂线段最短” 确定的最短位置，再通过面积法建立等式求解长度．
21．如图，从书店到公路最近的是 号路线，理由是 ．
【答案】 ① 垂线段最短
【分析】本题主要考查了距离垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键；因此此题可根据垂线段最短进行求解即可．
【详解】解：由图可知：从书店到公路最近的是①号路线，理由是垂线段最短；
故答案为：①，垂线段最短．
22．如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度．
【答案】
【分析】本题考查了点到直线的距离．由点到直线的距离定义，即可求解．
【详解】解：因为，
所以点C到直线的距离是线段的长度．
故答案为：
易错点
未给出图形，考虑不周出错
23．直线，垂足为点，直线经过点，若锐角，则 ．
【答案】60或120
【分析】本题主要考查了对顶角、垂直的意义，角的和差计算，解题的关键是注意分类讨论的思想．
由垂直得到，由对顶角得到，再由角的和差计算求解即可．
【详解】解：由题意，需讨论以下两种情况：
①如图1
∵，
∴，
∵与是对顶角，
∴，
∴．
②如图2
∵，
∴；
∵与是对顶角，
∴，
∴．
综上：或．
故答案为：或．
24．已知，点为直线上一点，过点作射线，．
(1)如图1，则的度数为_______；
(2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数；
(3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据邻补角的性质求解即可；
（2）首先由（1）可知，结合垂直的定义可得，再结合角平分线的定义可得，然后由求解即可；
（3）由（2）知，结合与互余，可求得，然后分射线在内部和射线在外部两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
（2）解：由（1）可知，，
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知，
∵与互余，
∴，
∴，
当射线在内部时，如下图所示：
；
当射线在外部时，如下图，
．
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题主要考查了补角和余角、垂直的定义、角平分线以及几何图形中角度计算，熟练掌握相关定义和性质是解题关键．
1．如图，与互为补角，有以下三条信息：
①平分，②，③平分．
请你从以上3条信息中选择2条作为条件，1条作为结论，组成一个正确的结论，并说明理由．
你选择的条件是：______，结论是：______．
理由：
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线的性质，与补角的相关计算，分三种情况：选择的条件是①②，结论是③；选择的条件是①③，结论是②；选择的条件是②③，结论是①；分别求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：选择的条件是：①②，结论是：③；
理由：∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
∵与互为补角，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
选择的条件是：①③，结论是：②；
理由：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵与互为补角，
∴，
∴,
∴，即；
选择的条件是：②③，结论是：①；
理由：∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
∵与互为补角，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分．
(1)若，则________________（用含α的式子表示）．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)的度数为或
【分析】（1）先利用对顶角相等得到的度数，再由角平分线得出的度数，结合平角的性质，用含的式子表示；
（2）先根据对顶角、角平分线求出的度数，再分在两侧的情况，结合垂直的性质计算的度数．
【详解】（1）解：∵直线相交于，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
（2）解：①当点F，A在直线CD的同侧时，如图①．
∵，
∴．
∵OE平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
②当点F，A在直线CD的异侧时，如图②．
同理可得．
∵，
∴，
∴．
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了对顶角、角平分线、垂直的性质，掌握对顶角相等、角平分线分角为相等的两部分、垂直的角为90°是解题的关键，注意第二问需考虑位置的不同情况．
3．已知直线，，交于点，是的角平分线．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若，，证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）先利用两角之差算出，然后利用互补计算出即可；
（2）先算出，再算出即可论证结果．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的和差倍分、角平分线、垂直的定义、邻补角的定义，关键是角的和差倍分．
4．如图，直线与相交于点O，，平分．
(1)如果，则______；
(2)如果，则______（用含n的代数式表示）；
(3)如果比大，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可；
（2）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可；
（3）设，则，由角平分线的定义得，根据列方程并解方程，再由邻补角的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：根据对顶角相等得，
∵平分，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：设，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴的度数为．
5．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分．
(1)如图1，如果，求的度数；
(2)如图2，如果，则的度数为___________．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义．
（1）求解，，，结合角平分线的定义进一步求解即可．
（2）设，可得，，，，进一步列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴．
（2）解：设，
∵，平分，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
6．点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分．
(1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数．
(2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数．
(3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)的度数是或或或
【分析】（1）根据，，求出，根据平分，即可得出结果；
（2）先用表示出，再根据表示出，根据平分，即可得出结果；
（3）分四种情况进行讨论，分别求出与的关系，用含的代数式表示的度数即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵平分，
∴．
（2）解：，
，
∵，
∴，
∴
∵平分，
∴．
（3）解：①当，在直线的上方时，如图所示：
，
∵平分，
∴，
即．
②当，在直线的下方时，如图所示：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
即．
③当，在直线的上方时，如图所示：
，
，
∵平分，
∴，
即．
④当，在直线的下方时，如图所示：
∵，
，
∵平分，
∴，
即．
综上分析可知， 或或或．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据的大小和的位置分类讨论，是解决本题的关键．
7．如图所示，，相交于点O，平分，，，求、的度数．
【答案】；．
【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，角平分线的有关计算等知识，由邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义即可求出，再利用邻补角的定义即可求出．
【详解】解：∵，相交于点O ，，
∴，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
8．如图，直线相交于点，，垂足为．从点出发在的内部引一条射线．
(1)的对顶角是___________，与_______________互为邻补角；
(2)若，射线平分，求的度数；
(3)若，求的度数．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了对顶角和邻补角、垂直、角平分线，熟练掌握角平分线的运算是解题关键．
（1）根据对顶角和邻补角的定义即可得；
（2）先根据垂直的定义可得，则可得，再根据角平分线的定义可得，则可得，然后根据对顶角相等即可得；
（3）先根据垂直的定义可得，再根据对顶角相等可得，然后根据求解即可得．
【详解】（1）解：的对顶角是，
∵，
∴与互为邻补角，
故答案为：，．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴，
由对顶角相等得：．
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
1．如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）．
(1)如图，为直线上一点，于点，于点，的垂角是________，的垂角是________；
(2)在（1）的条件下，若的垂角比大40°，求的度数．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了角的相关定义以及角度计算，一元一次方程求解等知识点，解题的关键是准确理解垂角的定义，并根据题目条件列出一元一次方程来求解角度．
（1）根据垂角定义两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，即可求得；
（2）设的度数为，则的度数为，根据的垂角比大40°，列方程进行求解即可．
【详解】（1）解：；，．
，
，
，即的垂角是．
，即的垂角是．
，
，
，即的垂角是．
∴的垂角是，的垂角是和．
（2）解：设的度数为，则的度数为．
的垂角比大40°，
，
解得，则的度数是．
2．如图，直线、相交于点O，，且平分．
(1)【探究发现】若时，则的度数是 ；
(2)【类比延伸】若时，求的度数 ；
(3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明．
【答案】(1)
(2)
(3)，证明见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的角的计算，垂直的定义，对顶角性质，熟练掌握角平分线定义和角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键．
（1）先根据垂直定义，求得，根据从而可求得，，继而求得，然后根据角平分线定义与对顶角性质求出，即可由求解；
（2）设，由，根据角平分线定义与对顶角性质求得，根据，即，求解即可；
（3）设，则，根据角平分线定义与对顶角性质求得，再根据，得出，解得，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
即，
解之得：，
即．
（3）解：猜想：
理由：设
∵
∴
∵
∴
又∵平分，
∴，
∴
∴，
则，
解之得，
即．
3．如图1，，射线在平面内．
(1)如图，垂直，平分，则的度数为______；
(2)若与互补，求的大小；
(3)若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______．
【答案】(1)
(2)或
(3)秒或秒或秒或秒
【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，垂线的定义，一元一次方程的应用．
（1）根据垂直的定义和角平分线的定义可得出结论；
（2）根据题意需要分两种情况：①当在的左侧时；②当在的下方时，分别画出图形求解即可得出结论；
（3）根据题意需要分三种情况：当为的角平分线时（分停止前和停止后）；当为的角平分线时；当为的角平分线时分别求解即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1
∵垂直，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）解：如图2-1当在的左侧时，设，则，
由题意可知，，
解得；
如图2-2，当在的右侧时，设，则，
由题意可知，，
解得；
综上，符合题意的的度数为或；
（3）解：如图， 为的平分线时，
由题意可知，
解得，
如图（已停止），为的平分线时，
由题意可知，
解得；
如图，为的平分线时，则，
解得；
如图，为的平分线时，则，
解得；
综上，射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间为秒或秒或秒或秒．
故答案为：秒或秒或秒或秒．
4．按照下列要求完成画图及相应的问题解答．
（1）画直线；
（2）画；
（3）画线段；
（4）过点画直线的垂线，垂足为点；
（5）点到直线的距离是线段 的长度﹒
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）CD
【分析】（1）画直线AB即可；
（2）画∠BAC即可；
（3）画线段BC即可；
（4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D即可；
（5）根据点到直线的距离即可得点C到直线AB的距离．
【详解】解：
如图所示：
（1）直线AB即为所求作的图形；
（2）∠BAC即为所求作的图形；
（3）线段BC即为所求作的图形；
（4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D，CD即为所求作的图形；
（5）点C到直线AB的距离为线段CD的长．
【点睛】本题考查了作图，作直线、射线、线段、垂线、点到直线的距离，解决本题的关键是根据语句准确画出图形．
5．如图，，，相交于点O，平分，，．
(1)线段_______的长度表示点M到的距离；
(2)比较与的大小（用“”号连接）：_______，并说明理由：______．
(3)求的度数．
【答案】(1)
(2)；垂线段最短
(3)
【分析】本题考查的是点到直线的距离．
（1）根据点到直线的距离解答即可；
（2）根据垂线段最短解答即可；
（3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可．
【详解】（1）解：线段的长度表示点M到的距离，
故答案为：；
（2）解：比较与的大小为：，是因为垂线段最短，
故答案为：；垂线段最短；
（3）解：∵，平分，
∴，
∴．
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