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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.3用待定系数法求二次函数解析式
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A．0 B．4 C．8 D．
2．（本题3分）若抛物线经过点，则b的值是（ ）
A． B． C．3 D．2
3．（本题3分）抛物线经过点和原点．该抛物线的对称轴是（ ）
A．轴 B． C． D．
4．（本题3分）假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）已知二次函数 的图象经过点，，，则a的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（本题3分）老师在画二次函数（为常数，）的图象时列表如下：
甲、乙、丙、丁四位同学根据表格得到如下结论，甲：；乙：该函数的对称轴为直线；丙：当时，随的增大而减小；丁：该函数的图象开口向下，其中，所得到的结论不正确的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（本题3分）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8．（本题3分）在平面直角坐标系中，若点满足，则称点P为“三倍点”，像点、、…，均为“三倍点”，若抛物线上有且只有一个“三倍点”，则该抛物线的顶点坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）已知一个二次函数满足以下两个条件：①这个二次函数有最大值；②它的图像经过原点，请写出一个符合要求的二次函数表达式：________．
10．（本题3分）如图，已知二次函数的图象经过两点，则该函数的解析式为____．
11．（本题3分）已知二次函数的图像经过点和．则这个二次函数的解析式为_____．
12．（本题3分）已知抛物线的对称轴为直线，且过点和，则这个二次函数的关系式是____________________ ．
13．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴正半轴于点，点是轴负半轴上一点，点关于点的对称点恰好落在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接、．若点的横坐标为，则四边形的面积为____．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知二次函数的图象经过点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当时，求自变量的取值范围．
15．（本题8分）已知抛物线经过点和．
(1)求b，c的值；
(2)求抛物线的顶点坐标．
16．（本题8分）如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上．
(1)求二次函数的表达式．
(2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积．
17．（本题8分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
(2)求这条抛物线的对称轴、顶点坐标．
18．（本题9分）二次函数图象与轴交于点，．
(1)求该二次函数解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
19．（本题10分）已知抛物线（a，b，c是常数，，且）的最小值是．
(1)若该抛物线的对称轴为直线，并且经过点，求抛物线对应的函数表达式．
(2)若直线经过抛物线的顶点．
①求抛物线的顶点坐标；
②，是抛物线上的两点，且，求p的取值范围．
20．（本题12分）【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式；
【探究二】研究心形叶片的尺寸
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明是等腰直角三角形并求出线段的长度；
【探究三】探究幼苗叶片的特征
（3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值．
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.3用待定系数法求二次函数解析式
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A．0 B．4 C．8 D．
解：∵抛物线经过和两点，
∴，
解得：．
故选：C．
2．（本题3分）若抛物线经过点，则b的值是（ ）
A． B． C．3 D．2
解：∵抛物线经过点，
∴，
即，
解得．
故选：D．
3．（本题3分）抛物线经过点和原点．该抛物线的对称轴是（ ）
A．轴 B． C． D．
解：∵抛物线经过点和原点．
∴把和代入，
得
解得，，
则该抛物线的对称轴是直线，
故选：B．
4．（本题3分）假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（ ）
A． B．
C． D．
解：设二次函数解析式为，
把、和代入得，，
解得，
∴二次函数解析式为，
故选：．
5．（本题3分）已知二次函数 的图象经过点，，，则a的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
解：二次函数 的图象经过点，，，
则
解得
因此a的值为，
故选：A．
6．（本题3分）老师在画二次函数（为常数，）的图象时列表如下：
甲、乙、丙、丁四位同学根据表格得到如下结论，甲：；乙：该函数的对称轴为直线；丙：当时，随的增大而减小；丁：该函数的图象开口向下，其中，所得到的结论不正确的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解：∵ 二次函数为，
代入点得，即；
代入点得，即，化简得；
解方程组，
解得，
∴ 解析式为；
验证结论：
甲：当时，，即，正确；
乙：对称轴，正确；
丙：∵ ，开口向下，对称轴，
∴ 当时随增大而减小，时包括区间，在时，此时随增大而增大，故丙不正确；
丁：∵ ，
∴ 开口向下，正确；
∴ 不正确的是丙；
故选：C．
7．（本题3分）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
解：∵抛物线的形状、开口方向与相同，
∴．
∵顶点为，
∴抛物线的解析式为．
故选：C．
8．（本题3分）在平面直角坐标系中，若点满足，则称点P为“三倍点”，像点、、…，均为“三倍点”，若抛物线上有且只有一个“三倍点”，则该抛物线的顶点坐标为（　　）
A． B． C． D．
解：因为点是“三倍点”，
所以，即．
把代入，得，即．
因为抛物线上有且只有一个“三倍点”，
即有且只有一个解，亦即有且只有一个解，
所以，即，
把代入，得：，即，
所以，则，
所以抛物线为，
所以顶点坐标为．
故选：A．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）已知一个二次函数满足以下两个条件：①这个二次函数有最大值；②它的图像经过原点，请写出一个符合要求的二次函数表达式：________．
解：设该二次函数的表达式为，
∵二次函数有最大值，
∴二次项系数，
∵函数图象经过原点，
∴将代入，得，即，
取，，则该二次函数的表达式为，
故答案为：（答案不唯一）．
10．（本题3分）如图，已知二次函数的图象经过两点，则该函数的解析式为____．
解：
∵二次函数的图象经过两点，
∴
解得
∴二次函数的解析式为．
故答案为：．
11．（本题3分）已知二次函数的图像经过点和．则这个二次函数的解析式为_____．
解：∵二次函数的图像经过点和．
∴将点和代入，
则，解得
∴二次函数解析式为
故答案为：．
12．（本题3分）已知抛物线的对称轴为直线，且过点和，则这个二次函数的关系式是____________________ ．
解∵抛物线的对称轴为直线，且经过点，
∴根据二次函数的对称性，可得抛物线经过点，
设抛物线的交点式 为，
将点 代入，得 ，
解得 ，
∴ ．
13．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴正半轴于点，点是轴负半轴上一点，点关于点的对称点恰好落在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接、．若点的横坐标为，则四边形的面积为____．
解：∵点在轴正半轴上，点关于点的对称点恰好落在抛物线上，点的横坐标为，
∴，
∵抛物线交轴正半轴于点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，即，
当时，，
解得：，，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
故答案为：
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知二次函数的图象经过点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当时，求自变量的取值范围．
（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：令，则：，
，
解得，
∵二次函数的二次项系数大于，抛物线开口向上，
∴当时，或．
15．（本题8分）已知抛物线经过点和．
(1)求b，c的值；
(2)求抛物线的顶点坐标．
（1）解：∵抛物线经过点和，
，
解得；
（2）解：由（1）得抛物线函数表达式为，
∴抛物线的顶点坐标为．
16．（本题8分）如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上．
(1)求二次函数的表达式．
(2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积．
（1）解：∵顶点在函数的图象上，
∴可设点M的坐标为，
∴可设二次函数的表达式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：由（1）得：点M到x轴的距离为2，
由平移的性质得：，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形的面积为．
17．（本题8分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
(2)求这条抛物线的对称轴、顶点坐标．
（1）解：抛物线经过点和点，

解得
这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：．
（2）解：，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
18．（本题9分）二次函数图象与轴交于点，．
(1)求该二次函数解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
（1）解：∵二次函数图象与轴交于点，，
∴把，代入解析式得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，有最大值，为9；
又当时，；
当时，；
所以，当时，．
19．（本题10分）已知抛物线（a，b，c是常数，，且）的最小值是．
(1)若该抛物线的对称轴为直线，并且经过点，求抛物线对应的函数表达式．
(2)若直线经过抛物线的顶点．
①求抛物线的顶点坐标；
②，是抛物线上的两点，且，求p的取值范围．
（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为．
设抛物线对应的函数表达式为，
把代入，可得
解得，
抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：①根据，
可得二次函数的顶点为，
把代入，
得，
化简，得．
，
，
，
，
抛物线的顶点坐标为；
②设抛物线对应的函数表达式为．
，．
．
，
，
，
，
．
20．（本题12分）【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式；
【探究二】研究心形叶片的尺寸
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明是等腰直角三角形并求出线段的长度；
【探究三】探究幼苗叶片的特征
（3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值．
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为，
∴
解得：，，
∴抛物线的解析式为．
当时，．
解得，，
∴C点坐标为；
（2）∵直线与坐标轴交于，两点，
∴令，得，令，则，，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点，
∴，，
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵C点坐标为，
∴，
∴，
∴；
（3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，
设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得
，
解得，
∴，
设M点坐标为，则，
，
∵，，
∴当时，的最大值为2．
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