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中考数学@函数专项
（四）二次函数的图象与性质
1. 已知二次函数 y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示.
(1)不等式－x2＋2x＋m＞0解集是 ；
(2)求此二次函数的解析式，并化为顶点式.
答案：(1) 1＜x＜3
(2)解：把点(3,0)代入 y＝－x2＋2x＋m，得 0＝－32＋2×3＋m，解得 m＝3。
因此二次函数的解析式为 y＝－x2＋2x＋3，
化为顶点式：y＝－(x2 2x)+3＝－(x2 2x+1 1)+3＝－(x 1)2+1+3＝－(x 1)2+4。
即顶点式为 y＝－(x 1)2+4。
1 5
2. 已知二次函数 y＝ x2－3x＋ 。2 2
(1)求二次函数图象的顶点坐标；
(2)当 1≤x≤4时，求函数的最大值和最小值。
答案：(1) 解：将函数解析式化为顶点式：
1 2 5 1 5 1 5y＝ x －3x＋ ＝ (x2 6x)+ ＝ (x2 6x+9 9)+
2 2 2 2 2 2
1 9 5 1
＝ (x 3)2 + ＝ (x 3)2 2。 因此顶点坐标为(3, 2)。
2 2 2 2
1
(2)解：由 a＝ ＞0可知，抛物线开口向上，顶点为函数的最小值点。
2
当 x＝3时，ymin＝ 2；
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当 1≤x＜3时，y随 x的增大而减小，因此在 x＝1时取得该区间的最大值：
1
y＝ ×12
5 1 5
3×1+ ＝ 3+ ＝0；
2 2 2 2
当 3＜x≤4时，y随 x的增大而增大，因此在 x＝4时取得该区间的最大值：
1 5 5 3
y＝ ×42 3×4+ ＝8 12+ ＝ 。
2 2 2 2
3
比较两个区间的最大值，0＞ ，因此当 1≤x≤4时，ymax＝0，ymin＝ 2。2
3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为(4, 3)，该图象与 x轴相交于点 A，
B，与 y轴相交于点 C，其中点 A的横坐标为 1。
(1)求该二次函数的解析式；
(2)求tan∠ABC的值。
答案：(1)解：设二次函数的顶点式为 y＝a(x 4)2 3（a≠0）。
1
将点 A(1,0)代入解析式：0＝a(1 4)2 3 ， 0＝9a 3 ， 解得 a＝ 。3
1 1 8 7
因此二次函数的解析式为 y＝ (x 4)2 3（或展开为 y＝ x2 x+ ）。
3 3 3 3
1 16 7
(2) 解：求点 C坐标：令 x＝0，代入解析式得 y＝ (0 4)2 3＝ 3＝ ，3 3 3
7 7
因此 C(0, )，即 OC＝ ；
3 3
求点 B坐标：因为抛物线顶点横坐标为 4，点 A与点 B关于对称轴 x＝4对称，点 A横坐标为 1，
所以点 B横坐标为 4+(4 1)＝7，即 B(7,0)，OB＝7；
7
OC 1 1
在 Rt△OBC中， tan∠ABC＝ ＝ 3 ＝ 。因此 tan∠ABC的值为 。
OB 7 3 3
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4. 已知直线 l：y＝kx＋b经过点(0,7)和点(1,6)。
(1)求直线 l的解析式；
(2)若点 P(m,n)在直线 l上，以点 P为顶点的抛物线 G过点(0, 3)，且开口向下，
求 m的取值范围。
b＝7
答案：(1)解：将点(0,7)和点(1,6)代入 y＝kx＋b，得方程组：
k+b＝6
将 b＝7代入第二个方程，得 k+7＝6，解得 k＝ 1。因此直线 l的解析式为 y＝ x+7。
(2) 解：因为点 P(m,n)在直线 l上，所以 n＝ m+7；
设抛物线的顶点式为 y＝a(x m)2+n（a≠0），
将点(0, 3)代入得： 3＝a(0 m)2+( m+7)整理得 am2 m+7+3＝0，
m 10
即 am2 m+10＝0，解得 a＝ 2 ；m
m 10
因为抛物线开口向下，所以 a＜0，即 ＜0。
m2
由于m2＞0（m≠0），因此分子 m 10＜0，解得 m＜10且 m≠0。
因此 m的取值范围是 m＜10且 m≠0。
5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝－x2＋ax＋b交 x轴于 A(1,0)，B(3,0)两点，
P是抛物线上第一象限内的一点，直线 BP与 y轴相交于点 C。
(1)求抛物线 y＝－x2＋ax＋b的解析式；
(2)当 P是线段 BC的中点时，求点 P的坐标；
(3)在(2)的条件下，求 sin∠OCB的值。
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12+a+b＝0
答案：(1) 解：将点 A(1,0)，B(3,0)代入抛物线解析式，得方程组： ，
32+3a+b＝0
a+b＝1
化简为： ，用第二个方程减第一个方程，得 2a＝8，解得 a＝4，
3a+b＝9
代入第一个方程得 4+b＝1，解得 b＝ 3。因此抛物线的解析式为 y＝－x2＋4x 3。
(2) 解：
设点 C(0,yC)，因为 P是线段 BC的中点，点 B(3,0)，根据中点坐标公式：
3+0 3 3
点 P的横坐标为 ＝ ，将 x＝ 代入抛物线解析式，
2 2 2
3 3 9 3 3 3
得：y＝ ( )2+4× 3＝ +6 3＝ 。因此点 P的坐标为( , )。
2 2 4 4 2 4
0+y 3 3
(3) P BC C解：因为 是 的中点，根据中点纵坐标公式， ＝ ，解得y ＝ ，2 4 C 2
3 3
即 C(0, )，所以 OC＝ ；
2 2
在 Rt△OBC中，OB＝3，
2 2 2 3 2 9 45 3 5由勾股定理得 BC＝ OB +OC ＝ 3 +( ) ＝ 9+ ＝ ＝ ；
2 4 4 2
OB 3 2 2 5 2 5
sin∠OCB＝ BC＝ ＝ ＝ 5 。因此
sin∠OCB的值为 5 。3 5 5
2
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1
6. 抛物线 y＝ x2－x－4与 x轴交于 A，2 B两点(点 A在点 B的左侧)，与 y轴交于点 C，抛物
线的对称轴与 x轴交于点 D，过点 D作 DE∥BC交 y轴于点 E。
(1)求点 A，B，C的坐标；
(2)点 P为抛物线上第四象限的一个动点，过点 P作
PF⊥x轴于点 F，当 PF＝AF时，求 PE的长；
(3)在(2)的条件下，若点 Q是 x轴上一点，则平面内是否存在一点 G，使以 P，E，Q，G为顶
点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 G的坐标；若不存在，请说明理由。
答案：
(1) 解：求点 C坐标：令 x＝0，代入抛物线解析式得 y＝ 4，因此 C(0, 4)；
1
求点 A、B坐标：令 y＝0，则 x2－x－4＝0，两边乘 2得x2 2x 8＝0，
2
因式分解为(x 4)(x+2)＝0，解得 x＝4或 x＝ 2。
因为点 A在点 B左侧，所以 A( 2,0)，B(4,0)。
综上，点 A坐标为( 2,0)，点 B坐标为(4,0)，点 C坐标为(0, 4)。
1 1
(2) 解：设点 P(n, n2 n 4)（0＜n＜4），因为 PF⊥x轴，所以 PF＝| n2 n 4|，2 2
1 1
由于点 P在第四象限，PF＝ ( n2 n 4)＝ n2+n+4；
2 2
1
AF＝n ( 2)＝n+2，由 PF＝AF得方程： n2+n+4＝n+2
2
1
化简得 n2+2＝0，即n2＝4，解得 n＝2或 n＝ 2（舍去）；
2
1
当 n＝2时，y＝ ×22 2 4＝2 2 4＝ 4，因此 P(2, 4)；
2
4k+b＝0
求直线 BC的解析式：将 B(4,0)，C(0, 4)，代入 y＝kx+b，得 ，
b＝ 4
解得 k＝1，b＝ 4，所以直线 BC的解析式为 y＝x 4；
b 1
因为 DE∥BC，设直线 DE的解析式为 y＝x+m，抛物线对称轴为 x＝ 2a＝
＝1，
2× 12
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所以 D(1,0)，代入得 0＝1+m，解得 m＝ 1，
因此直线 DE的解析式为 y＝x 1，令 x＝0得 y＝ 1，即 E(0, 1)；
由两点间距离公式，PE＝ (2 0)2+( 4 ( 1))2＝ 4+9＝ 13。
因此 PE的长为 13。
7 1
(3) 解：存在，点 G的坐标为( , 3)、(6,3)、( , 5)或( 4, 1)。2 2
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1. 已知二次函数 y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示.
(1)不等式－x2＋2x＋m＞0解集是 ；
(2)求此二次函数的解析式，并化为顶点式.
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2. 已知二次函数 y＝ x2－3x＋ 。2 2
(1)求二次函数图象的顶点坐标；
(2)当 1≤x≤4时，求函数的最大值和最小值。
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3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为(4, 3)，该图象与 x轴相交于点 A，
B，与 y轴相交于点 C，其中点 A的横坐标为 1。
(1)求该二次函数的解析式；
(2)求tan∠ABC的值。
4. 已知直线 l：y＝kx＋b经过点(0,7)和点(1,6)。
(1)求直线 l的解析式；
(2)若点 P(m,n)在直线 l上，以点 P为顶点的抛物线 G过点(0, 3)，且开口向下，
求 m的取值范围。
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5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝－x2＋ax＋b交 x轴于 A(1,0)，B(3,0)两点，
P是抛物线上第一象限内的一点，直线 BP与 y轴相交于点 C。
(1)求抛物线 y＝－x2＋ax＋b的解析式；
(2)当 P是线段 BC的中点时，求点 P的坐标；
(3)在(2)的条件下，求 sin∠OCB的值。
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6. 抛物线 y＝ x2－x－4与 x轴交于 A，2 B两点(点 A在点 B的左侧)，与 y轴交于点 C，抛物
线的对称轴与 x轴交于点 D，过点 D作 DE∥BC交 y轴于点 E。
(1)求点 A，B，C的坐标；
(2)点 P为抛物线上第四象限的一个动点，过点 P作
PF⊥x轴于点 F，当 PF＝AF时，求 PE的长；
(3)在(2)的条件下，若点 Q是 x轴上一点，则平面内是否存在一点 G，使以 P，E，Q，G为顶
点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 G的坐标；若不存在，请说明理由。
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