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中考数学@函数专项
（三）反比例函数与一次函数综合
k
1、如图，反比例函数 y= (x 0) yx ＜ 与一次函数 ＝－
2x＋m的图象交于点 A(－1，4)，BC⊥y轴
于点 D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点 B，C.
k
(1)求反比例函数 y= y 2xx与一次函数 ＝－ ＋
m的解析式；
(2)当 OD＝1时，求线段 BC的长.
答案：
k
(1)把点 A(－1，4)代入 y= ，得 k= 1×4= 4x ，
4
∴反比例函数的解析式为 y= 。
x
把点 A(－1，4)代入 y＝－2x＋m，得 2×( 1)+m=4，解得 m=2，
∴一次函数的解析式为 y= 2x+2。
(2)∵OD＝1，∴点 B的纵坐标为 1。
4 4
将 y=1代入反比例函数 y= ，得 1= ，解得 x= 4，即点 B坐标为( 4,1)。
x x
1 1
将 y=1代入一次函数 y= 2x+2，得 1= 2x+2，解得 x= ，即点 C坐标为( ,1)。
2 2
1 9
∴线段 BC的长为 ( 4)= ，即 4.5。
2 2
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k
2、如图，一次函数 y＝－2x＋2与反比例函数 y= (x＜0)x 的图象交于点
A(－1，m).
k
(1)求 m的值和反比例函数 y= x的解析式；
(2)将直线 y＝－2x＋2向下平移 h个单位长度(h＞0)后得直线 y＝ax＋b，
k
若直线 y＝ax＋b与反比例函数 y= (x＜0)的图象的交点为 B(n，2)x ，
k
求 h的值，并结合图象求不等式 x＜
ax＋b的解集.
答案：
(1)∵点 A(－1，m)在一次函数 y＝－2x＋2的图象上，
∴m= 2×( 1)+2=4，即点 A坐标为( 1,4)。
k
将点 A代入 y= ，得 k= 1×4= 4x ，
4
∴反比例函数的解析式为 y= 。
x
4 4
(2)将点 B(n，2)代入 y= ，得 2= ，解得 n= 2，即点 B坐标为( 2,2)。
x n
直线 y＝－2x＋2向下平移 h个单位后解析式为 y= 2x+2 h，
将点 B( 2,2)代入得 2= 2×( 2)+2 h，解得 h=4，此时直线解析式为 y= 2x 2。
4
结合图象可知，不等式 ＜ 2x 2的解集为 x＜ 2。
x
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k
3、如图，反比例函数 y= (kx 为常数，
k≠0)与正比例函数 y＝mx(m为常数，m≠0)的图象交于
A(1，2)，B两点.
(1)求反比例函数和正比例函数的解析式；
(2)若 y轴上有一点 C(0，n)，△ABC的面积为 4，求点 C的坐标.
k 2
答案：(1)将点 A(1，2)代入 y= ，得 k=1×2=2，∴反比例函数的解析式为 y=x 。x
将点 A(1，2)代入 y=mx，得 m=2，∴正比例函数的解析式为 y=2x。
(2)
2
y= x=1 x= 1
联立 x ，解得
y=2x y=2
或 y= 2，∴点 B的坐标为( 1, 2)。
过 A、B作 y轴垂线，垂足为 E、F，则 AE=BF=1，OC=|n|。
1 1
由S ABC=S AOC+S BOC=4，得： ×|n|×1+ ×|n|×1=4，化简得|n|=4，2 2
∴n=4或 n= 4，∴点 C的坐标为(0,4)或(0, 4)。
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4、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，其中 A(－2，0)，C(6，0).
(1)写出线段 AB的中点 D的坐标.
k
(2)反比例函数 y= (k≠0，x＞0)x 的图象过点 D，与 BC交于点 E，求 k的值；
(3)点 P为(2)中反比例函数图象上一动点(点 P在 D，E之间运动，不与 D，E重合)，过点 P作
PM∥AB，交 y轴于点M，过点 P作 PN∥x轴，交 BC于点 N，连接MN，求△PMN面积的
最大值，并求出此时点 P的坐标.
答案：
(1) 由 A(－2，0)，C(6，0)得 AC=8，
∵AC=BC，∠ACB=90°，∴B(6,8)。
2+6 0+8
根据中点坐标公式，Dx= =2，Dy= =4，∴点 D的坐标为(2,4)。2 2
k
(2) 将 D(2,4)代入 y= ，得 k=2×4=8，即 k=8x 。
8 4 4
(3) 反比例函数解析式为 y= ，点 E横坐标为 6，代入得 y= ，即 E(6, )。x 3 3
8 8
设点 P坐标为(t, )（2＜t＜6），∵PN∥x轴，∴N(6, )，PN=6 t。
t t
延长 NP交 y轴于 Q，由 PM∥AB，∠BAC=45°，得△PQM为等腰直角三角形，PQ=QM=t。
1 1 1 9
S PMN= ×PN×QM= (6 t)t= (t 3)2+ ，2 2 2 2
9 8
当$t=3$时，面积最大值为 ，此时点 P坐标为(3, )。2 3
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5、如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝－x＋m与直线 y＝2x相交于点 A(2，a)，
k
与 x轴交于点 B(b，0)，点 C在反比例函数 y= (k＜0)x 的图象上
.
(1)求 a，b，m的值；
(2)若以 O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，求点 C的坐标和 k的值；
(3)过 A，C两点的直线与 x轴负半轴交于点 D，点 E与点 D关于 y轴对称.若有且只有一点 C，
使得△ABD与△ABE相似，求 k的值.
答案：(1)将 A(2，a)代入 y=2x，得 a=4，即 A(2,4)。
将 A代入 y= x+m，得 4= 2+m，解得 m=6，直线解析式为 y= x+6。
将 B(b,0)代入 y= x+6，得 0= b+6，解得 b=6。综上，a=4，b=6，m=6。
(2)
分三种情况：
当 OB为边时，AC∥OB且 AC=6，得 C ( 4,4)，C (8,4)不在 k<0的反比例函数上，舍去；
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k
当 OB为对角线时，得 C (4, 4)。将 C 、C 代入 y= ，得 k= 4×4= 16x ，
k=4×( 4)= 16。
∴点 C坐标为( 4,4)或(4, 4)，k= 16。
(3)
设 D(t,0)（t<0），则 E( t,0)，
由△ABD∽△EBA，得 AB2=EB×BD，AB2=(6 2)2+(0 4)2=32，EB=6+t，BD=6 t，
∴32=(6+t)(6 t)，解得 t= 2，即 D( 2,0)。
y=x+2
直线 AC解析式为 y=x+2，联立 k ，得x2+2x k=0。
y=
x
∵只有一个交点 C，∴Δ=4+4k=0，解得 k= 1。
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（三）反比例函数与一次函数综合
k
1、如图，反比例函数 y= (xx ＜
0)与一次函数 y＝－2x＋m的图象交于点 A(－1，4)，BC⊥y轴
于点 D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点 B，C.
k
(1)求反比例函数 y= 与一次函数 y＝－2x＋mx 的解析式；
(2)当 OD＝1时，求线段 BC的长.
k
2、如图，一次函数 y＝－2x＋2与反比例函数 y= (x 0)x ＜ 的图象交于点
A(－1，m).
k
(1)求 m的值和反比例函数 y= x的解析式；
(2)将直线 y＝－2x＋2向下平移 h个单位长度(h＞0)后得直线 y＝ax＋b，
k
若直线 y＝ax＋b与反比例函数 y= (x＜0)x 的图象的交点为
B(n，2)，
k
求 h的值，并结合图象求不等式 x＜
ax＋b的解集.
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k
3、如图，反比例函数 y= (k为常数，k≠0)与正比例函数 y＝mx(m为常数，m≠0)x 的图象交于
A(1，2)，B两点.
(1)求反比例函数和正比例函数的解析式；
(2)若 y轴上有一点 C(0，n)，△ABC的面积为 4，求点 C的坐标.
4、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，其中 A(－2，0)，C(6，0).
(1)写出线段 AB的中点 D的坐标.
k
(2)反比例函数 y= (k≠0，x＞0)x 的图象过点 D，与 BC交于点 E，求 k的值；
(3)点 P为(2)中反比例函数图象上一动点(点 P在 D，E之间运动，不与 D，E重合)，过点 P作
PM∥AB，交 y轴于点M，过点 P作 PN∥x轴，交 BC于点 N，连接MN，求△PMN面积的
最大值，并求出此时点 P的坐标.
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5、如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝－x＋m与直线 y＝2x相交于点 A(2，a)，
k
与 x轴交于点 B(b，0)，点 C在反比例函数 y= (k＜0)x 的图象上
.
(1)求 a，b，m的值；
(2)若以 O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，求点 C的坐标和 k的值；
(3)过 A，C两点的直线与 x轴负半轴交于点 D，点 E与点 D关于 y轴对称.若有且只有一点 C，
使得△ABD与△ABE相似，求 k的值.
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