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中考数学@几何计算与证明
（一）与三角形有关
1、如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交 AB于点 E。
(1)求证：∠EBD＝∠EDB；
(2)当 AB＝AC时，请判断 CD与 ED的大小关系，并说明理由。
2、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线 BD交边 AC于点 D，AE⊥BC于点 E。已知∠ABC
＝60°，∠C＝45°。
(1)求证：AB＝BD；
(2)若 AE＝3，求△ABC的面积。
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中考数学@几何计算与证明
3、如图，在△ABC中，AD是边 BC上的中线，CE⊥AD。 延长 DA至点 F，连接 FC，使
∠F＝∠BAD，延长 ED至点 G，使 DG＝DE，连接 BG。
(1)求证：BG⊥FG；
3
(2)若 DE＝ ，2 求 AF的长。
4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边 BC上的一点，过点 D作 AD的垂线交 AB于
4
点 E。 若 BE＝DE，tan∠BAD＝ ，5 AC＝20，求 BD的长。
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5。 如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC，点 F，E分别在线段 BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，
AC＝AD。
(1)求证：DE＝AF；
(2)若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF·CE.
6。 等腰三角形 ABC中，AB＝AC＝4 3，∠BAC＝120°，点 D，E为 BC边上的两动点，且
∠DAE＝60°，
(1)若 BD＝CE，求 DE的长；
(2)若 CE＝2，求△ADE的面积；
(3)当 E点在边 BC上的什么位置时，线段 BD，DE，CE满足 DE2＋CE2＝BD2.
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（一）与三角形有关
1、如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交 AB于点 E。
(1)求证：∠EBD＝∠EDB；
答案：证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD。
∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB。∴∠EBD＝∠EDB。
(2)当 AB＝AC时，请判断 CD与 ED的大小关系，并说明理由。
答案：CD＝ED。 理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC。
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC。∴∠ADE＝∠AED。
∴AD＝AE。∴CD＝BE。
由(1)，得∠EBD＝∠EDB。∴EB＝ED。∴CD＝ED。
2、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线 BD交边 AC于点 D，AE⊥BC于点 E。已知∠ABC
＝60°，∠C＝45°。
(1)求证：AB＝BD；
答案：证明：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°。∵∠C＝45°，∴∠EAC＝45°。
∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠BAE＝30°。
∴∠BAD＝∠BAE＋∠EAD＝75°，∠BDA＝∠DBC＋∠C＝75°。
∴∠BAD＝∠BDA。∴AB＝BD。
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中考数学@几何计算与证明
(2)若 AE＝3，求△ABC的面积。
答案：∵∠C＝∠EAC＝45°，∴AE＝CE＝3。
AE 3
在 Rt△ABE中，∠ABE＝60°，∴BE＝ ＝ ＝ 3.
3 3
1 1 3 3+9
∴S ABC＝ ·BC·AE＝ ×( 3＋3)×3＝ .2 2 2
3、如图，在△ABC中，AD是边 BC上的中线，CE⊥AD。 延长 DA至点 F，连接 FC，使
∠F＝∠BAD，延长 ED至点 G，使 DG＝DE，连接 BG。
(1)求证：BG⊥FG；
答案：证明：∵AD是边 BC上的中线，∴BD＝CD。
BD＝CD
在△BDG和△CDE中， ∠BDG＝∠CDE ， ∴△BDG≌△CDE(SAS)。∴∠BGD＝∠CED。
DG＝DE
∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°。∴∠BGD＝∠CED＝90°。∴BG⊥FG。
3
(2)若 DE＝ ，2 求 AF的长。
3
答案：∵DG＝DE，DE＝ ，2 ∴EG＝2DE＝3。
由(1)，得△BDG≌△CDE。∴BG＝CE。
∠BAG＝∠F
在△ABG和△FCE中， ∠AGB＝∠FEC ， ∴△ABG≌△FCE(AAS)。∴AG＝FE。
BG＝CE
∴AE＋EG＝AE＋AF。∴AF＝EG＝3。
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中考数学@几何计算与证明
4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边 BC上的一点，过点 D作 AD的垂线交 AB于
4
点 E。 若 BE＝DE，tan∠BAD＝ ，5 AC＝20，求 BD的长。
答案：如图，过点 E作 EF⊥BD于点 F。
∴∠FED＋∠EDF＝90°。
∵AD⊥DE，∴∠EDF＋∠ADC＝90°。∴∠FED＝∠ADC。
DE DF
∵∠DCA＝∠EFD＝90°，∴△DEF∽△ADC。∴ ＝ .AD AC
4 DE DF 4
∵tan∠BAD＝ ，AC＝20，∴ ＝ ＝ ，∴DF＝16.
5 AD AC 5
∵BE＝DE，EF⊥BD，∴BD＝2DF＝2×16＝32。
5。 如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC，点 F，E分别在线段 BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，
AC＝AD。
(1)求证：DE＝AF；
答案：证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACF。
∠ADE＝∠CAF
在△ADE和△CAF中， AD＝CA ∴△ADE≌△CAF(ASA)。∴DE＝AF。
∠DAE＝∠ACF
(2)若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF·CE.
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中考数学@几何计算与证明
答案：∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFB。
∵∠DAF＝∠DAE＋∠FAC，∠DEC＝∠DAE＋∠ADE，∴∠DAF＝∠DEC。∴∠AFB＝∠DEC。
AF CE
又∵∠ABC＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE。∴BF＝DE .
AF CE
由(1)得，DE＝AF。∴BF＝ .∴A
F2＝BF·CE.
AF
6。 等腰三角形 ABC中，AB＝AC＝4 3，∠BAC＝120°，点 D，E为 BC边上的两动点，且
∠DAE＝60°，
(1)若 BD＝CE，求 DE的长；
答案：∵AB＝AC＝4 3，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°。
∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE。∴AD＝AE。
∵∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形。∴∠ADE＝60°，DE＝AE。
∴∠BAD＝∠ADE－∠B＝30°。∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝90°。
3
∵AB＝4 3，∠B＝30°，∴AE＝AB·tan B＝4 3× ＝4. ∴DE＝AE＝43 。
(2)若 CE＝2，求△ADE的面积；
答案：如图，
将△ACE绕点 A顺时针旋转 120°至△ABF，此时 AC与 AB重合，连接 FD，过点 A作 AM⊥BC
于点M，过点 F作 FN⊥BC于点 N。
∵AB＝AC＝4 3，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°。
1 AM
∵AM⊥BC，∴AM＝ AB＝2 3，CM＝BM＝ ＝ 3AM＝6.2 tan ABC ∴BC＝2BM＝12。∠
由旋转得 BF＝CE＝2，AE＝AF，∠ABF＝∠C＝ 30°，∠BAF＝∠CAE。
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中考数学@几何计算与证明
∵∠DAE＝60°，∠BAC＝120°，∴∠BAD＋∠CAE＝∠BAC－∠DAE＝60°。
∴∠FAD＝∠BAD＋∠BAF＝∠BAD＋∠CAE＝60°。∴∠FAD＝∠DAE。
又 AD＝AD，∴△ADF≌△ADE。∴DF＝DE。
∵∠FBD＝∠ABF＋∠ABC＝60°，∴∠BFN＝30°。
1 BN
∴BN＝ BF＝1，FN＝ ＝ 3BN＝ 3.
2 tan∠BFN
设 DE＝DF＝x，∴DN＝BC－BN－DE－CE＝12－1－x－2＝9－x。
在 Rt△FND中，FN2＋DN2＝FD2，
2 2 2 14 14即( 3) ＋(9－x) ＝x ，解得 x＝ .∴DE＝ .
3 3
1 1 14 14 3
∴S ADE＝ DE·AM＝ × ×2 3＝ .2 2 3 3
(3)当 E点在边 BC上的什么位置时，线段 BD，DE，CE满足 DE2＋CE2＝BD2.
解：(3)同(2)作法可得 BF＝CE，DF＝DE，∠FBD＝ 60°，∠BFN＝30°，
∵DE2＋CE2＝BD2，∴FD2＋BF2＝BD2. ∴∠BFD＝90°. ∴∠BDF＝30°.
180° ∠BDF
由(2)可得∠ADF＝∠ADE＝ 2 ＝75°.
∵∠DAE＝60°，∴∠AED＝180°－∠DAE－∠ADE＝45°.
∴△AME是等腰直角三角形. ∴ME＝AM＝2 3 . ∴CE＝CM－ME＝6－2 3 ，
即点 E在边 BC上距离点 C 6－2 3 处.
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