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中考数学@几何计算与证明
(三)与圆有关
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E,
交BC于点F,连接DF,与OE交于点M.
(I)求证：四边形EMFC是矩形；
(2)若AE=V5,⊙O的半径为2，求FM的长，
E
B
2、如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE=BC,延长CE交AD
于点D,AD=AC
(1)求证：AD是⊙0的切线；
1
(2)若tan∠ACE=3,OE=3，求BC的长
B
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中考数学@几何计算与证明
3、如图，AB是OO的直径，直线DC与⊙O相切于点E,过A,B分别作AD⊥DC,BC⊥DC,
垂足分别为点D,C,连接AE.
(I)求证：DE=CE;
(2)若BC=1,CE=2,求⊙0的半径
A
E
4、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙0的直径，AC=V5,BC=2V5,点F在AB
上，连接CF并延长，交⊙O于点D,连接BD,作BE⊥CD,垂足为E.
(I)求证：△DBE∽△ABC;
(2)若AF=2,求DE的长，
B
D
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（三）与圆有关
1、如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，点 D在 AB上，以 BD为直径的☉O与 AC相切于点 E，
交 BC于点 F，连接 DF，与 OE交于点M.
(1) 求证：四边形 EMFC是矩形；
(2) 若 AE= 5，☉O的半径为 2，求 FM的长.
答案：(1)证明：∵ BD是☉O的直径，
∴∠DFB=90 ，即∠MFC=90 .∵AC与☉O相切于点 E，∴∠OEC=90 .
又∵∠C=90 ，∴∠C=∠MEC=∠MFC=90 ，
∴ 四边形 EMFC是矩形.
(2)解：由(1)知四边形 EMFC是矩形，
∴∠EMF=90 ，则∠DMO=90 ，即 OM⊥DF，∴DM=FM.
在 Rt△AEO中，AE= 5，OE=2（☉O半径），
由勾股定理得：AO= AE2+OE2= ( 5)2+22= 5+4=3
∵∠C=∠DFB=90 ，∴AC∥DF，∴ AEO DMO，
AE DM
则 = ，代入 AE= 5，AO=3，DO=2，
AO DO
5 DM 2 5 2 5
得： = ，解得 DM= ，∴FM=DM= .
3 2 3 3
2、如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，E为 AB上一点，BE＝BC，延长 CE交 AD
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中考数学@几何计算与证明
于点 D，AD＝AC.
(1) 求证：AD是☉O的切线；
1
(2) 若tan∠ACE= ，3 OE = 3 ，求 BC的长.
答案：(1)证明：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90 ，即∠ACE+∠BCE=90 .
∵AD=AC，BE=BC，∴∠ACE=∠D，∠BCE=∠BEC.
又∵∠BEC=∠AED，∴∠AED+∠D=90 ，∴∠DAE=90 ，即 AD⊥AE.
∵ OA是☉O的半径，∴AD是☉O的切线.
1 1
(2)解：由 tan∠ACE= ，且∠ACE=∠D，得 tan∠D= .3 3
设 AE=a，则 AD=3a，∵AD=AC，∴AC=3a.∵OE=3，
设☉O半径为 r，则 OA=r，AE=OA-OE=r-3，即 a=r-3，BE=OB+OE=r+3，
又 BE=BC，故 BC=r+3.
在 Rt△ABC中，由勾股定理： AB2=AC2+BC2
代入 AB=2r，AC=3(r-3)，BC=r+3，
得： (2r)2=[3(r-3)]2+(r+3)2
展开整理得： 4r2=9(r2-6r+9)+r2+6r+9
4r2=10r2-48r+90
6r2-48r+90=0
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r2-8r+15=0
解得 r = 5 ， r = 3 舍去，此时 AE = 0 ，∴ BC = 5 + 3 = 8 .
3、如图，AB是☉O的直径，直线 DC与☉O相切于点 E，过 A，B分别作 AD⊥DC，BC⊥DC，
垂足分别为点 D，C，连接 AE.
(1) 求证：DE＝CE；
(2) 若 BC = 1 ， CE = 2 ，求☉O的半径.
答案：(1)证明：连接 OE，∵ 直线 DC与☉O相切于点 E，∴OE⊥CD.
∵AD⊥DC，BC⊥DC，∴AD∥OE∥BC .
又∵ AO = OB （☉O半径相等），
∴ DE = CE （平行线分线段成比例定理）.
(2)解：在 Rt△BCE中， BC = 1 ， CE = 2 ，
由勾股定理得： BE= BC2+CE2= 12+22= 5
∵AB是☉O的直径，∴∠AEB=90 ，
∴∠BEC+∠AED=90 .又∵∠BEC+∠EBC=90 ，∴∠EBC=∠AED.
BC DE
∵∠C=∠D=90 ，∴ BEC EAD，则 = .
CE AD
1 2
由(1)知 DE=CE=2，代入得： = ，解得 AD=4.
2 AD
在 Rt△ADE中，DE=2，AD=4，
由勾股定理得： AE= DE2+AD2= 22+42= 4+16=2 5
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在 Rt△ABE中，BE= 5，AE=2 5，
由勾股定理得：AB= BE2+AE2= ( 5)2+(2 5)2= 5+20= 25=5
AB 5
∴☉O的半径为 = .
2 2
4、如图，△ABC是☉O的内接三角形，AB是☉O的直径，AC = 5 ，BC=2 5，点 F在 AB
上，连接 CF并延长，交☉O于点 D，连接 BD，作 BE⊥CD，垂足为 E.
(1) 求证：△DBE∽△ABC；
(2) 若 AF = 2 ，求 DE的长.
答案：
(1)证明：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90 .∵BE⊥CD，
∴∠DEB=90 ，∴∠ACB=∠DEB.
又∵∠CAB=∠CDB（同弧 CB所对的圆周角相等），
∴ DBE ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.
(2)解：
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在 Rt△ABC中，AC= 5，BC=2 5，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2= ( 5)2+(2 5)2= 5+20=5
AC 5
过点 C作 CG⊥AB于 G，在 Rt△ACG中， cosA= = ，
AB 5
5
则 AG=AC cosA= 5× =1.
5
∵AF=2，∴FG=AF-AG=2-1=1，即 AG=FG，CG垂直平分 AF，
故 AC=FC= 5，∴∠CAF=∠CFA=∠BFD=∠CDB，∴BD=BF=AB-AF=5-2=3.
DB DE
由(1)知 DBE ABC，则 = ，代入 DB=3，AB=5，AC= 5，
AB AC
3 DE 3 5
得： 5 = ，解得 DE= 5 .5
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