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9.2.4　总体离散程度的估计
1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差）（数据分析）. 2.理解离散程度参数的统计含义（数学运算）.
　　
知识点一｜方差、标准差
问题　有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4
乙：9　5　7　8　7　6　8　6　7　7
（1）你能用平均数、中位数、众数对甲、乙两位运动员的射击情况作出评价吗？
（2）如图，是甲、乙两人成绩的频率分布条形图，据图你又有什么发现？
（3）你还有其他方法说明甲、乙两人的射击情况有差异吗？
【知识梳理】
1.平均距离：假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的　　　　作为“距离”，即｜xi－｜（i＝1，2，…，n）作为xi到的“距离”.可以得到这组数据x1，x2，…，xn到的“平均距离”为｜xi－｜.
2.方差、标准差：绝对值改用平方来代替，即（xi－）2＝　　　　　　　　，我们称为这组数据的　　　　.取它的算术平方根，即，我们称为这组数据的　　　　.
3.总体方差、总体标准差
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝　　　　　　　为总体方差，S＝　　　　为总体标准差.
加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i＝1，2，…，k），则总体方差为S2＝　　　　　　　　　.
4.样本方差和标准差：如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝　　　　　　　　　为样本方差，s＝　　　　为样本标准差.
5.标准差的意义：标准差刻画了数据的　　　　　　或　　　　　　，标准差越大，数据的离散程度越　　　　；标准差越小，数据的离散程度越　　　　.
【例1】　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据如下：
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
（1）分别计算两组数据的平均数及方差；
（2）根据计算结果，判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
【规律方法】
1.计算方差常用公式
（1）定义法：s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]；
（2）简化法：s2＝[（＋＋…＋）－n].　
2.具有线性关系的数据的平均数和方差
若数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn之间满足关系yi＝axi＋b，且数据x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为和s2，那么y1，y2，…，yn的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为｜as｜.
特别地，若yi＝xi±b，则y1，y2，…，yn的平均数为±b，方差为s2，标准差为s；
若yi＝kxi，则y1，y2，…，yn的平均数为k，方差为k2s2，标准差为｜ks｜.
训练1　（1）现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
（2）（2025·开封月考）一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，求原来数据的平均数和方差.
知识点二｜分层随机抽样的方差
【知识梳理】
假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2.则＝xi，s2＝（xi－x）2，＝yi，t2＝（yj－）2.若记样本平均数为，样本方差为b2，则可以算出＝（xi＋yi）＝，b2＝＝［（ms2＋nt2）＋（－）2］.
【例2】　（链接教材P213 例6）甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？
【规律方法】
分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为，，…，，方差分别为，，…，，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝wi[＋（－）2]（为总样本平均数）.
训练2　（1）（2025·温州月考）在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 30 2
乙 20 3
其中＝，则甲、乙两个班数学成绩的方差为（　　）
A.2.2　　　B.2.6 C.2.5　　　D.2.4
（2）某高校新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2025年高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生的平均分为658分，方差为208.则该专业所有学生在2025年高考中的方差为　　　　.
知识点三｜方差、标准差与统计图表的综合应用
【例3】　甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）的频数条形统计图如图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差，，的大小关系是（　　）
A.＜＜ B.＜＜
C.＜＜ D.＜＜
【规律方法】
根据统计图表确定方差（标准差）的大小关系的两个方法
（1）根据统计图表中所提供的数据与方差（标准差）的计算公式求出其数值，然后比较大小；
（2）若统计图表中没有反映出具体的数据或计算较为繁琐，可根据统计图表所反映的数据的波动性大小来比较大小.
训练3　（2025·周口月考）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试中的成绩统计如图，则下列说法错误的是（　　）
A.若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则＞
B.若甲、乙两组数据的方差分别为，，则＞
C.甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D.甲成绩比乙成绩稳定
1.下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是（　　）
A.极差 B.平均数
C.方差 D.标准差
2.若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为（　　）
A.2 B.4
C.6 D.8
3.张华和李明两名同学参加数学竞赛的预选赛，他们分别同时进行了5次模拟测试，测试成绩如表（单位：分）：
张华 100 80 90 90 90
李明 100 100 70 90 90
如果希望在张华、李明两人中选发挥比较稳定的1人入选，则入选的人应是　　　　.
4.某校为调查高三年级的体育成绩情况，随机调查了高三（1）班10名学生，体育成绩平均分是90，方差是3；高三（2）班15名学生，体育成绩平均分是85，方差是5，则这25名学生体育成绩的方差为　　　　.
1.理清单 （1）方差、标准差； （2）分层随机抽样的方差； （3）方差、标准差与统计图表的综合应用. 2.应体会 数据统计、数据分析. 3.避易错 方差、标准差易混淆.
提示：完成课后作业　第九章　9.2　9.2.4
1 / 19.2.4　总体离散程度的估计
课标要求 情境导入
1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差）（数据分析）. 2.理解离散程度参数的统计含义（数学运算）. 　　平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策.这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识.
知识点一｜方差、标准差
问题　有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4
乙：9　5　7　8　7　6　8　6　7　7
（1）你能用平均数、中位数、众数对甲、乙两位运动员的射击情况作出评价吗？
提示：计算可得甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7，两名运动员没有差别.
（2）如图，是甲、乙两人成绩的频率分布条形图，据图你又有什么发现？
提示：从图上看，甲的成绩比较分散，乙的成绩比较集中.
（3）你还有其他方法说明甲、乙两人的射击情况有差异吗？
提示：①利用极差：根据甲、乙两人的射击成绩可以得到甲命中环数的极差＝10－4＝6，乙命中环数的极差＝9－5＝4.可以发现甲的成绩波动范围比乙的大.②利用“平均距离”：我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远.因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度.
【知识梳理】
1.平均距离：假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的　绝对值　作为“距离”，即｜xi－｜（i＝1，2，…，n）作为xi到的“距离”.可以得到这组数据x1，x2，…，xn到的“平均距离”为｜xi－｜.
2.方差、标准差：绝对值改用平方来代替，即（xi－）2＝　－　，我们称为这组数据的　方差　.取它的算术平方根，即，我们称为这组数据的　标准差　.
3.总体方差、总体标准差
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝　（Yi－）2　为总体方差，S＝　　为总体标准差.
加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i＝1，2，…，k），则总体方差为S2＝　fi（Yi－）2　.
4.样本方差和标准差：如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝　（yi－）2　为样本方差，s＝　　为样本标准差.
5.标准差的意义：标准差刻画了数据的　离散程度　或　波动幅度　，标准差越大，数据的离散程度越　大　；标准差越小，数据的离散程度越　小　.
【例1】　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据如下：
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
（1）分别计算两组数据的平均数及方差；
（2）根据计算结果，判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
解：（1）＝×（99＋100＋98＋100＋100＋103）＝100，
＝×（99＋100＋102＋99＋100＋100）＝100.
＝×[（99－100）2＋（100－100）2＋（98－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2＋（103－100）2]＝，
＝×[（99－100）2＋（100－100）2＋（102－100）2＋（99－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2]＝1.
（2）两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又＞，所以乙机床加工零件的质量更稳定.
【规律方法】
1.计算方差常用公式
（1）定义法：s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]；
（2）简化法：s2＝[（＋＋…＋）－n].
2.具有线性关系的数据的平均数和方差
若数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn之间满足关系yi＝axi＋b，且数据x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为和s2，那么y1，y2，…，yn的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为｜as｜.
特别地，若yi＝xi±b，则y1，y2，…，yn的平均数为±b，方差为s2，标准差为s；
若yi＝kxi，则y1，y2，…，yn的平均数为k，方差为k2s2，标准差为｜ks｜.
训练1　（1）现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
（1）解析：A　由s2＝－，得s2＝×100－32＝1，∴s＝1.
（2）（2025·开封月考）一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，求原来数据的平均数和方差.
（2）解：法一　设原来的数据为x1，x2，x3，…，xn，则新数据为2x1－80，2x2－80，2x3－80，…，2xn－80，所以＝1.2，所以＝1.2，则原来数据的平均数为＝40.6.[（2x1－80－1.2）2＋（2x2－80－1.2）2＋…＋（2xn－80－1.2）2]＝4.4，即[（2x1－81.2）2＋（2x2－81.2）2＋…＋（2xn－81.2）2]＝4.4，则原来数据的方差为[（x1－40.6）2＋（x2－40.6）2＋…＋（xn－40.6）2]＝[（2x1－81.2）2＋（2x2－81.2）2＋…＋（2xn－81.2）2]＝×4.4＝1.1.
法二　设原数据的平均数为，方差为s2，则数据中的每一个数都乘2，再都减80，得一组新数据后，新数据的平均数为2－80，方差为22s2，由题意得解得
知识点二｜分层随机抽样的方差
【知识梳理】
假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2.则＝xi，
s2＝（xi－x）2，＝yi，t2＝（yj－）2.若记样本平均数为，样本方差为b2，则可以算出＝（xi＋yi）＝，b2＝＝［（ms2＋nt2）＋（－）2］.
【例2】　（链接教材P213 例6）甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？
解：由题意可知＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝＝，
＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝＝，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为
＝w甲＋w乙＝×60＋×70＝68（kg），
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝w甲[＋（－）2]＋w乙[＋（－）2]
＝[200＋（60－68）2]＋[300＋（70－68）2]＝296.
【规律方法】
分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为，，…，，方差分别为，，…，，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝wi[＋（－）2]（为总样本平均数）.
训练2　（1）（2025·温州月考）在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 30 2
乙 20 3
其中＝，则甲、乙两个班数学成绩的方差为（　D　）
A.2.2 B.2.6
C.2.5 D.2.4
解析：（1）由题意知，甲、乙两个班数学成绩的平均数为＝＝，则两个班数学成绩的方差为s2＝[2＋（－）2]＋[3＋（－）2]＝＋＝2.4.故选D.
（2）某高校新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2025年高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生的平均分为658分，方差为208.则该专业所有学生在2025年高考中的方差为　187　.
解析：（2）由题意得甲班学生成绩的平均数＝665，方差＝131，乙班学生成绩的平均数＝658，方差＝208，则总体平均数＝＋＝661，方差s2＝×[131＋（665－661）2]＋×[208＋（658－661）2]＝187.
知识点三｜方差、标准差与统计图表的综合应用
【例3】　甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）的频数条形统计图如图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差，，的大小关系是（　　）
A.＜＜ B.＜＜
C.＜＜ D.＜＜
解析：A　方差表示数据稳定程度，越稳定方差越小，丙的成绩集中在6环，乙的成绩平均分散，甲的成绩分散在两边，所以丙的成绩最稳定，方差最小；甲的成绩最不稳定，方差最大，所以＜＜.
【规律方法】
　　根据统计图表确定方差（标准差）的大小关系的两个方法
（1）根据统计图表中所提供的数据与方差（标准差）的计算公式求出其数值，然后比较大小；
（2）若统计图表中没有反映出具体的数据或计算较为繁琐，可根据统计图表所反映的数据的波动性大小来比较大小.
训练3　（2025·周口月考）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试中的成绩统计如图，则下列说法错误的是（　　）
A.若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则＞
B.若甲、乙两组数据的方差分别为，，则＞
C.甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D.甲成绩比乙成绩稳定
解析：B　对于A，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，A正确；对于B，由折线图可知，甲同学的成绩较乙同学的成绩更稳定，所以＜，B错误；对于C，由折线图可知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，C正确；对于D，甲成绩比乙成绩稳定，D正确.
1.下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是（　　）
A.极差 B.平均数
C.方差 D.标准差
解析：B　易知A、C、D都能反映样本数据的分散程度、波动情况.
2.若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为（　　）
A.2 B.4
C.6 D.8
解析：D　数据x1，x2，…，x9的方差s2＝2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为22s2＝8.故选D.
3.张华和李明两名同学参加数学竞赛的预选赛，他们分别同时进行了5次模拟测试，测试成绩如表（单位：分）：
张华 100 80 90 90 90
李明 100 100 70 90 90
如果希望在张华、李明两人中选发挥比较稳定的1人入选，则入选的人应是　张华　.
解析：张华成绩的平均分为＝＝90，方差为＝＝40，李明成绩的平均分为＝＝90，方差为＝＝120，因为＜，所以张华、李明两人中发挥比较稳定的是张华，故入选的人应是张华.
4.某校为调查高三年级的体育成绩情况，随机调查了高三（1）班10名学生，体育成绩平均分是90，方差是3；高三（2）班15名学生，体育成绩平均分是85，方差是5，则这25名学生体育成绩的方差为　10.2　.
解析：由题意可知，这25名学生体育成绩的平均数为＝＝87，所以这25名学生体育成绩的方差为s2＝×[3＋（90－87）2]＋×[5＋（85－87）2]＝10.2.
课堂小结
1.理清单 （1）方差、标准差； （2）分层随机抽样的方差； （3）方差、标准差与统计图表的综合应用. 2.应体会 数据统计、数据分析. 3.避易错 方差、标准差易混淆.
1.甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是（　　）
A.甲 B.乙
C.甲、乙相同 D.不能确定
解析：A　因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62，即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲发挥更稳定.故选A.
2.（2025·莆田月考）有一农场在同一块稻田中种植一种水稻，连续8年的亩产量（单位：kg）如下：450，430，460，440，450，440，470，460，则其方差为（　　）
A.120 B.80
C.15 D.150
解析：D　因为连续8年的亩产量的平均数为×（450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋460）＝450，所以其方差为×[（450－450）2＋（430－450）2＋（460－450）2＋（440－450）2＋（450－450）2＋（440－450）2＋（470－450）2＋（460－450）2]＝150.
3.（2025·广州月考）若一组10个数据a1，a2，…，a10的平均数为3，方差为6，则＋＋…＋＝（　　）
A.50 B.100
C.150 D.200
解析：C　由题意可知，这10个数据的平均数为＝ai＝3，方差为s2＝（ai－）2＝（－10）＝（－90）＝6，解得＋＋…＋＝＝150.
4.已知样本容量为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如图所示，则标准差最大的是（　　）
解析：D　选项A中，样本数据都为5，数据没有波动幅度；选项B中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6；选项C中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7；选项D中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，故标准差最大的是D.也可由样本数据的离散程度的大小反映标准差，从题图中可以看出D中的数据波动最大.
5.如图，一组数据x1，x2，x3，…，x9，x10的平均数为5，方差为，去除x9，x10这两个数据后，平均数为，方差为，则（　　）
A.＞5，＞ B.＜5，＜
C.＝5，＜ D.＝5，＞
解析：D　由题意可得，xi＝5，x9＝1，x10＝9，则xi＝50，故＝xi＝（xi－x9－x10）＝（50－1－9）＝5，因为x9，x10是波动幅度最大的两个点的值，所以去除x9，x10这两个数据后，整体波动幅度减小，故＞.
6.〔多选〕（2025·金华月考）一组数据x1，x2，…，xn的平均数为6，方差为1，则关于新数据2x1－3，2x2－3，…，2xn－3，下列说法正确的是（　　）
A.这组新数据的平均数为6
B.这组新数据的平均数为9
C.这组新数据的方差为1
D.这组新数据的方差为4
解析：BD　由题意得：x1＋x2＋…＋xn＝6n，（x1－6）2＋（x2－6）2＋…＋（xn－6）2＝n，则＝＝9，
＝＝4，所以这组新数据的平均数为9，方差为4.故选B、D.
7.〔多选〕春节7天假期期间，高速公路免费通行.如图是某部门统计的甲、乙两个收费站在第n天的通行车辆数量统计图，则下列结论正确的是（　　）
A.甲收费站的平均通行车辆数多于乙收费站的平均通行车辆数
B.甲收费站通行车辆数的极差大于乙收费站通行车辆数的极差
C.甲收费站通行车辆数的中位数大于乙收费站通行车辆数的中位数
D.甲收费站通行车辆数的方差大于乙收费站通行车辆数的方差
解析：AB　对于A，甲收费站的平均通行车辆数为≈1 371，乙收费站的平均通行车辆数为≈1 343，故甲收费站的平均通行车辆数多于乙收费站的平均通行车辆数，故A正确；对于B，甲收费站通行车辆数的极差为2 000－800＝1 200，乙收费站通行车辆数的极差为1 800－800＝1 000，故B正确；对于C，甲收费站通行车辆数为800，1 200，1 200，1 200，1 600，1 600，2 000，中位数为1 200，乙收费站通行车辆数为800，800，1 200，1 600，1 600，1 600，1 800，中位数为1 600，故C错误；对于D，通过方差公式计算甲、乙收费站通行车辆数的方差，可以判断甲收费站通行车辆数的方差小于乙收费站通行车辆数的方差，故D错误.
8.某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215.则在这次测试中全班学生方差为　265　.
解析：依题意＝130，＝115，＝110，＝215，∴＝×130＋×110＝115（分），∴全班学生成绩的方差为s2＝[＋（－）2]＋[＋（－）2]＝×（115＋225）＋×（215＋25）＝85＋180＝265.
9.已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为，方差为s2，则＝　5　，s2＝　1.6　.
解析：设这10个数据分别为：x1，x2，…，x7，x8＝4，x9＝5，x10＝6，根据题意＝5 x1＋x2＋…＋x7＝35，＝2 （x1－5）2＋（x2－5）2＋…＋（x7－5）2＝14，所以＝＝＝5，
s2＝
＝＝1.6.
10.（2025·江门模拟）某果园试种了 A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和.
A（单位/kg） 60 50 40 60 70 80 70 30 50 90
B（单位/kg） 40 60 50 80 80 50 60 20 80 70
（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；
（2）求，，，；
（3）果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由.
解：（1）这10棵A品种桃树的产量从小到大分别为30，40，50，50，60，60，70，70，80，90，
这10棵A品种桃树产量的极差为90－30＝60，中位数为＝60，
这10棵B品种桃树产量从小到大分别为20，40，50，50，60，60，70，80，80，80，
这10棵B品种桃树产量的极差为80－20＝60，中位数为＝60.
（2）＝×（30＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋70＋80＋90）＝60，
＝×（20＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋80＋80＋80）＝59，
＝×[（30－60）2＋（40－60）2＋（50－60）2＋（50－60）2＋（60－60）2＋（60－60）2＋（70－60）2＋（70－60）2＋（80－60）2＋（90－60）2]＝300，
＝×[（20－59）2＋（40－59）2＋（50－59）2＋（50－59）2＋（60－59）2＋（60－59）2＋（70－59）2＋（80－59）2＋（80－59）2＋（80－59）2]＝349.
（3）由（1）可知这两个品种极差和中位数都相等，由（2）可知＞，＜，
则A品种桃树平均产量高，波动小，所以应该选种A品种桃树.
11.在某市高三第一次诊断性考试后，各班级都有外出学习艺体的同学回归校园学习文化课.假设某位回归校园的同学的“一诊”数学成绩刚好是班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确的是（　　）
A.平均分变大，方差不变
B.平均分变小，方差不变
C.平均分不变，方差变大
D.平均分不变，方差变小
解析：D　设该班原有n位同学，数学成绩记为a1，a2，a3，…，an，原平均分＝，原方差＝，该同学回归校园后新平均分＝＝＝，即平均分不变.该同学回归校园后新方差＝
＝＝＜，即方差变小.故选D.
12.〔多选〕在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.以下为过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息.
甲地：中位数为2，极差为5；
乙地：平均数为2，众数为2；
丙地：平均数为1，方差大于0；
丁地：平均数为2，方差为2.6.
则一定符合该标志的是（　　）
A.甲地 B.乙地
C.丙地 D.丁地
解析：AD　对于A选项，因为甲地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于2＋5＝7，故A正确；对于B选项，若乙地过去10日每天新增疑似病例分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B错误；对于C选项，若丙地过去10日每天新增疑似病例分别为0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C错误；对于D选项，若至少有一天疑似病例超过7人，则必有方差s2＞×（8－2）2＝3.6＞2.6，与条件方差为2.6矛盾，故过去10日，每天新增疑似病例不超过7人，故D正确.
13.某校高二年级有男生400人和女生600人，为分析期末物理调研测试成绩，按照男女比例通过分层随机抽样的方法取到一个样本，样本中男生的平均成绩为80分，方差为10，女生的平均成绩为60分，方差为20，由此可以估计该校高二年级期末物理调研测试成绩的方差为　112　.
解析：由400∶600＝2∶3，不妨设样本由男生2人（x1，x2）和女生3人（y1，y2，y3）组成.由题设得（x1＋x2）＝80，即x1＋x2＝160；（y1＋y2＋y3）＝60，即y1＋y2＋y3＝180，所以样本的平均分＝×（160＋180）＝68，样本的方差s2＝×[10＋（80－68）2]＋×[20＋（60－68）2]＝112，即估计该校高二年级期末物理调研测试成绩的方差为112.
14.某市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下：
住户编号 1 2 3 4 5 6
A小区（分钟） 220 180 210 220 200 230
B小区（分钟） 200 190 240 230 220 210
（1）分别计算A、B两个小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；
（2）假设A小区有1 000户，为更好地进行生活垃圾分类，市环卫局与A小区物业及住户协商，初步实施下列方案：
方案一：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错，每位工作人员的月工资按照3 000元（按照28天计算标准）计算；
方案二：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职人员对生活垃圾分类的效果相当于4位普通居民对生活垃圾分类的效果，每位专职人员（每天工作8小时）的月工资按照4 000元（按照28天计算标准）计算.
①若选择方案一，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
②若选择方案二，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
③试分析哪个方案的惠民力度大，更值得推广.
解：（1）＝×（220＋180＋210＋220＋200＋230）＝210（分钟），
＝×（200＋190＋240＋230＋220＋210）＝215（分钟），
＝×[（220－210）2＋（180－210）2＋（210－210）2＋（220－210）2＋（200－210）2＋（230－210）2]＝，
＝×[（200－215）2＋（190－215）2＋（240－215）2＋（230－215）2＋（220－215）2＋（210－215）2]＝.
（2）①A小区一个月至少需要1 000÷200＝5位工作人员进行检查和纠错，其费用是5×3 000＝15 000（元），
每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为＝15（元）.
②由（1）知，A小区平均每位住户每周需要210分钟进行生活垃圾分类，
则A小区全部住户一个月平均需要210×4×1 000＝840 000（分钟）进行生活垃圾分类，
则A小区一个月至少需要专职人员≈16（位），
则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为＝64（元）.
③按照每位住户每个月需要承担的生活垃圾分类费来说，选择方案一惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；对于高档小区的居民，可以选择方案二，这只是方便个别高收入住户.
综上，方案一的惠民力度大，更值得推广.
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