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9.1.1　简单随机抽样
1.了解随机抽样的必要性和重要性（数学抽象）. 2.理解随机抽样的目的和基本要求（数学抽象）. 3.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数法（数学抽象）. 4.熟练掌握用样本平均数估计总体平均数的方法（数据分析）.
　　
知识点一｜全面调查和抽样调查
问题1　一天，爸爸叫儿子去买一包糖果.临出门前，爸爸嘱咐儿子要买甜的.儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家.
“糖都甜吗？”爸爸问.
“都甜.”
“你这么肯定？”
儿子把糖递过来，兴奋地说：“我每颗都尝过啦.”
在这则笑话中，儿子采用的是什么调查方式？这种调查方式好不好？适宜采用什么方法调查？
【知识梳理】
调查方式 全面调查（普查） 抽样调查
定义 对　　　　调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中抽取　　　　个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出　　　　和　　　　的调查方法，称为抽样调查
相关概念 总体：在一个调查中，调查对象的　　　称为总体. 个体：组成总体的每一个调查　　　　称为个体 样本：从总体中抽取的那部分　　　　称为样本. 样本量：样本中包含的　　　　称为样本容量，简称样本量
　　提醒：（1）全面调查的优点是精确，缺点是不宜经常进行，需要耗费巨大的财力、物力；（2）抽样调查的优点是花费少、效率高、易操作，缺点是不够精确.
【例1】　（1）判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）　
①样本和样本量是同一个概念.（　　）
②为了调查参加运动会的1 000名运动员的平均年龄，从中抽取了100名运动员进行调查，抽取的100名运动员是样本.（　　）
③从某市参加升学考试的学生中随机抽查500名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本量指的是500名学生.（　　）
（2）下列调查方式，你认为最合适的是（　　）
A.了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查
B.旅客上飞机前的安检，采用抽样调查
C.了解北京居民“建党百年庆祝大会”期间的出行方式，采用全面调查
D.日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查
【规律方法】
1.一般地，如果调查对象比较少，容易调查，则适合普查；如果调查对象较多或者具有破坏性，则适合抽样调查.
2.应注意“总体”“个体”“样本”“样本量”四个名词的区别.
训练1　（1）下列问题可以用全面调查的方式进行调查的是（　　）
A.检验一批汽车的安全性能 B.检验10件某产品的尺寸
C.检验一批钢材的抗拉强度 D.检验流水生产线上生产的饮料的容量
（2）某学校为了解高一年级800名新入学同学的数学学，从中随机抽取100名同学的中考数学成绩进行分析，在这个问题中，下列说法正确的是（　　）
A.800名同学是总体 B.100名同学是样本
C.每名同学是个体 D.样本量是100
知识点二｜简单随机抽样
问题2　假设口袋中有蓝色和白色共1 000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同.你能通过抽样调查的方式估计袋中蓝球所占的比例吗？请提出你的解决方案.
【知识梳理】
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中　　　抽取n（1≤n＜N）个个体作为样本
如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都　　　，这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内　　　　　　　　被抽到的概率都相等，这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
简单随机抽样：　 　　简单随机抽样和　　 　简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
　　提醒：简单随机抽样的特点：①有限性；②逐一性；③等可能性.
【例2】　（1）下列抽样方法是简单随机抽样的是（　　）
A.将500个零件逐个做质量检验
B.课上，李老师在全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的学生
C.老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性
D.某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑
（2）从总体容量为N的一批零件中，通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N＝（　　）
A.120 B.200 C.150 D.100
【规律方法】
简单随机抽样的特点
（1）被抽取的样本的总体个数N是有限的；
（2）逐个抽取n个个体作为样本；
（3）若不加以说明则抽取是不放回的；
（4）每个个体入样的可能性均为.
训练2　（1）下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是（　　）
A.某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本
B.为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查
C.从全班30名学生中，任意选取5名进行家访
D.为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计
（2）炎炎夏日，冰淇淋成为许多人的热宠，现用简单随机抽样的方法检测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性是　　　　，“第二次被抽到”的可能性是　　　　.
知识点三｜简单随机抽样的方法
问题3　学校要从某班选取8人参加该校组织的读书活动，应如何选取？若要从全校学生中选8人，还可以采用上述方法吗？
【知识梳理】
1.抽签法
把总体中的N个个体　　　　，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌.最后从盒中不放回地　　　　抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需的个数.
2.随机数法
（1）定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生总体范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数；
（2）产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数.
　　提醒：抽签法与随机数法的异同点：相同点：①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限；②都是从总体中逐个不放回地进行抽取.
不同点：①抽签法比随机数法操作简单；②随机数法更适用于总体中个体数较多的情况，而抽签法适用于总体中个体数较少的情况，所以当总体中的个体数较多时，应当选用随机数法，可以节约大量的人力和制作号签的成本.
【例3】　某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程.
【规律方法】
1.抽签法、随机数法的步骤
2.抽签法、随机数法的注意事项
（1）利用抽签法抽取样本时，号签的大小、形状要相同，必须“搅拌均匀”，已抽取号签不能放回；
（2）利用随机数法抽取样本时，如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，要剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的个数.
训练3　（1）抽签法确保样本具有代表性的关键是（　　）
A.制签 B.搅拌均匀
C.逐一抽取 D.抽取不放回
（2）总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为（　　）
66 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48
A.54 B.14
C.35 D.32
知识点四｜用样本平均数估计总体平均数
问题4　用随机数法从某中学高二年级抽取一个容量为60的样本，测量这60名学生的身高，通过这些数据，我们可以计算出样本的平均数为166.4，据此，我们可以估计高二年级全体学生的平均身高吗？
【知识梳理】
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝　　　　　　　　＝Yi为总体均值，又称总体平均数.如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝yi为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数.
　　提醒：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i＝1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝fiYi.　
【例4】　个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店所有7位工作人员8月份的工资表（单位：元）：
李某 大厨 二厨 采购员 杂工 服务生 会计
30 000 4 500 3 500 4 000 3 200 3 200 4 100
（1）计算所有7位工作人员8月份的平均工资；
（2）计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什么？
【规律方法】
样本平均数与总体平均数的关系
（1）在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数；
（2）总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性；
（3）一般情况下，样本容量越大，估计值越准确.
训练4　（1）某校组织了一次知识竞赛.在参加的同学中随机抽取100位同学的回答情况进行统计，答题情况如下：答对5题的有10人，答对6题的有30人，答对7题的有30人，答对8题的有15人，答对9题的有10人，答对10题的有5人，则可以估计在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数为　　　　；
（2）为了调查某校高一学生每天午餐消费情况，通过简单随机抽样从该校高一学生中抽查了20名学生，这20名学生每天午餐消费数据如下（单位：元）：
10　12　8　8　10　14　17　8　10　8　12
10　10　17　8　10　12　10　10　12
试估计该校高一学生每天午餐的平均费用以及午餐费用不低于12元的比例.
1.下列抽样试验中，适合用抽签法的是（　　）
A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
2.为了大致了解某公司员工的身高情况，决定从50名员工（已编号为00～49）中选取10名进行测量.如果利用随机数法进行抽取，得到如下4组编号，则符合要求的编号是（　　）
A.26，94，29，27，43，99，55，19，81，06
B.20，26，31，40，24，36，19，34，03，48
C.02，38，22，41，38，24，49，44，03，11
D.04，00，45，32，44，22，04，11，08，49
3.以下问题中，适合使用简单随机抽样的是　　　　.（填写编号）
①某市人均寿命调查；②某校高一年级学生体能素质调查；③30个灯泡的使用寿命调查.
4.通过简单随机抽样从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数：4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次.试估计该训练营中学员投篮投中的比例为　　　　.
1.理清单 （1）全面调查和抽样调查； （2）简单随机抽样； （3）简单随机抽样的方法； （4）用样本平均数估计总体平均数. 2.应体会 数据分析. 3.避易错 在简单随机抽样中，每个个体被抽取的可能性相等.
提示：完成课后作业　第九章　9.1　9.1.1
1 / 19.1.1　简单随机抽样
课标要求 情境导入
1.了解随机抽样的必要性和重要性（数学抽象）. 2.理解随机抽样的目的和基本要求（数学抽象）. 3.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数法（数学抽象）. 4.熟练掌握用样本平均数估计总体平均数的方法（数据分析）. 　　在工业生产中，我们常用测试一部分产品来确定其质量；农业生产中，一般是先试种新的农作物种子来确定其是否值得推广，等等.这种利用部分数据来估计总体的思想正是统计学的基本思想.如何进行数据的收集、整理、分析与判断，以及如何评价这一判断的合理性，是统计学研究的主要内容.
　　
知识点一｜全面调查和抽样调查
问题1　一天，爸爸叫儿子去买一包糖果.临出门前，爸爸嘱咐儿子要买甜的.儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家.
“糖都甜吗？”爸爸问.
“都甜.”
“你这么肯定？”
儿子把糖递过来，兴奋地说：“我每颗都尝过啦.”
在这则笑话中，儿子采用的是什么调查方式？这种调查方式好不好？适宜采用什么方法调查？
提示：全面调查；不好；抽样调查.
【知识梳理】
调查方式 全面调查（普查） 抽样调查
定义 对　每一个　调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中抽取　一部分　个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出　估计　和　推断　的调查方法，称为抽样调查
相关概念 总体：在一个调查中，调查对象的　全体　称为总体. 个体：组成总体的每一个调查　对象　称为个体 样本：从总体中抽取的那部分　个体　称为样本. 样本量：样本中包含的　个体数　称为样本容量，简称样本量
　　提醒：（1）全面调查的优点是精确，缺点是不宜经常进行，需要耗费巨大的财力、物力；（2）抽样调查的优点是花费少、效率高、易操作，缺点是不够精确.
【例1】　（1）判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
①样本和样本量是同一个概念.（　×　）
②为了调查参加运动会的1 000名运动员的平均年龄，从中抽取了100名运动员进行调查，抽取的100名运动员是样本.（　×　）
③从某市参加升学考试的学生中随机抽查500名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本量指的是500名学生.（　×　）
（2）下列调查方式，你认为最合适的是（　A　）
A.了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查
B.旅客上飞机前的安检，采用抽样调查
C.了解北京居民“建党百年庆祝大会”期间的出行方式，采用全面调查
D.日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查
解析：（2）A选项，了解北京每天的流动人口数，调查范围广，应采用抽样调查，故A正确；B选项，旅客上飞机前的安检，涉及安全，事关重大，应采用全面调查，故B错误；C选项，了解北京居民“建党百年庆祝大会”期间的出行方式，调查范围广，应采用抽样调查，故C错误；D选项，日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，由于调查具有破坏性，应采用抽样调查，故D错误.
【规律方法】
1.一般地，如果调查对象比较少，容易调查，则适合普查；如果调查对象较多或者具有破坏性，则适合抽样调查.
2.应注意“总体”“个体”“样本”“样本量”四个名词的区别.
训练1　（1）下列问题可以用全面调查的方式进行调查的是（　B　）
A.检验一批汽车的安全性能
B.检验10件某产品的尺寸
C.检验一批钢材的抗拉强度
D.检验流水生产线上生产的饮料的容量
解析：（1）选项A、C都是破坏性检验，不适合用全面调查的方式；选项D由于生产的饮料的容量很大，用全面调查的方式浪费人力、物力，故不适合用全面调查的方式；选项B适合用全面调查的方式.
（2）某学校为了解高一年级800名新入学同学的数学学，从中随机抽取100名同学的中考数学成绩进行分析，在这个问题中，下列说法正确的是（　D　）
A.800名同学是总体 B.100名同学是样本
C.每名同学是个体 D.样本量是100
解析：（2）据题意，总体是指800名新入学同学的中考数学成绩，样本是指抽取的100名同学的中考数学成绩，个体是指每名同学的中考数学成绩，样本量是100，故只有D正确.
知识点二｜简单随机抽样
问题2　假设口袋中有蓝色和白色共1 000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同.你能通过抽样调查的方式估计袋中蓝球所占的比例吗？请提出你的解决方案.
提示：方案一：我们可以从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复，即可用蓝球出现的频率估计出蓝球所占的比例.
方案二：采用不放回地摸球去估计蓝球所占的比例.
【知识梳理】
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中　逐个　抽取n（1≤n＜N）个个体作为样本
如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都　相等　，这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内　未进入样本的各个个体　被抽到的概率都相等，这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
简单随机抽样：　放回　简单随机抽样和　不放回　简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
　　提醒：简单随机抽样的特点：①有限性；②逐一性；③等可能性.
【例2】　（1）下列抽样方法是简单随机抽样的是（　D　）
A.将500个零件逐个做质量检验
B.课上，李老师在全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的学生
C.老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性
D.某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑
解析：（1）选项A是普查；选项B老师表扬的是发言积极的，对每一个个体而言，不具备“等可能性”；选项C错在总体容量是无限的.
（2）从总体容量为N的一批零件中，通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N＝（　A　）
A.120 B.200
C.150 D.100
解析：（2）因为从含有N个个体的总体中通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本，每个个体被抽到的可能性为，所以＝0.25，解得N＝120.
【规律方法】
简单随机抽样的特点
（1）被抽取的样本的总体个数N是有限的；
（2）逐个抽取n个个体作为样本；
（3）若不加以说明则抽取是不放回的；
（4）每个个体入样的可能性均为.
训练2　（1）下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是（　C　）
A.某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本
B.为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查
C.从全班30名学生中，任意选取5名进行家访
D.为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计
解析：（1）A中不同年级的学生身体发育情况差别较大，B、D的总体容量较大，C的总体容量较小，适宜用简单随机抽样.
（2）炎炎夏日，冰淇淋成为许多人的热宠，现用简单随机抽样的方法检测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性是　　，“第二次被抽到”的可能性是　　.
解析：（2）在抽样过程中，个体A每一次被抽到的可能性是相等的，因为总体容量为21，所以个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为.
知识点三｜简单随机抽样的方法
问题3　学校要从某班选取8人参加该校组织的读书活动，应如何选取？若要从全校学生中选8人，还可以采用上述方法吗？
提示：抽签；不可以，人数太多.
【知识梳理】
1.抽签法
把总体中的N个个体　编号　，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌.最后从盒中不放回地　逐个　抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需的个数.
2.随机数法
（1）定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生总体范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数；
（2）产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数.
　　提醒：抽签法与随机数法的异同点：相同点：①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限；②都是从总体中逐个不放回地进行抽取.
不同点：①抽签法比随机数法操作简单；②随机数法更适用于总体中个体数较多的情况，而抽签法适用于总体中个体数较少的情况，所以当总体中的个体数较多时，应当选用随机数法，可以节约大量的人力和制作号签的成本.
【例3】　某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程.
解：（1）利用抽签法步骤如下：
第一步：将这50名学生编号，编号为01，02，03，…，50；
第二步：将50个号码分别写在外观、质地均无差别的小纸片上，并揉成团，制成号签；
第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀；
第四步：从容器中逐个不放回地抽取6个号签，并记录上面的号码.
对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生.
（2）利用随机数法步骤如下：
第一步：将这50名学生编号，编号为00，01，02，…，49；
第二步，准备10个大小、质地一样的小球，小球上分别写上数字0，1，2，…，9，把它们放入一个不透明的袋中.从袋中有放回地摸取两次，每次摸取前充分搅拌，并把第一、二次摸到的数字分别作为十、个位数，这样就生成了一个二位随机数.如果这个二位数在00～49范围内，就代表对应编号的学生被抽中，否则舍弃编号；
第三步，重复第二步，若产生的随机数重复，则剔除，继续摸球，直到选到所需的样本量；
第四步，符合条件的编号对应的学生即是参加该项活动的学生.
【规律方法】
1.抽签法、随机数法的步骤
2.抽签法、随机数法的注意事项
（1）利用抽签法抽取样本时，号签的大小、形状要相同，必须“搅拌均匀”，已抽取号签不能放回；
（2）利用随机数法抽取样本时，如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，要剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的个数.
训练3　（1）抽签法确保样本具有代表性的关键是（　B　）
A.制签 B.搅拌均匀
C.逐一抽取 D.抽取不放回
解析：（1）若要样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要将号签搅拌均匀.
（2）总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为（　B　）
66 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48
A.54 B.14
C.35 D.32
解析：（2）生成的随机数中落在编号01，02，…，39，40内的有06，35，02，35（重复），32，14.故第5个个体的编号为14.
知识点四｜用样本平均数估计总体平均数
问题4　用随机数法从某中学高二年级抽取一个容量为60的样本，测量这60名学生的身高，通过这些数据，我们可以计算出样本的平均数为166.4，据此，我们可以估计高二年级全体学生的平均身高吗？
提示：可以，估计高二年级全体学生的平均身高为166.4 cm.
【知识梳理】
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝　　＝Yi为总体均值，又称总体平均数.如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝yi为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数.
　　提醒：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i＝1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝fiYi.
【例4】　个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店所有7位工作人员8月份的工资表（单位：元）：
李某 大厨 二厨 采购员 杂工 服务生 会计
30 000 4 500 3 500 4 000 3 200 3 200 4 100
（1）计算所有7位工作人员8月份的平均工资；
解：（1）这7个人8月份的平均工资是×（30 000＋4 500＋3 500＋4 000＋3 200＋3 200＋4 100）＝7 500（元）.
（2）计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什么？
（2）计算出的平均工资不能反映打工人员当月收入的一般水平，可以看出，打工人员的工资都低于该平均工资，因为这7个值中有一个异常值——李某的工资特别高，所以他的工资对平均工资的影响较大.
【规律方法】
样本平均数与总体平均数的关系
（1）在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数；
（2）总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性；
（3）一般情况下，样本容量越大，估计值越准确.
训练4　（1）某校组织了一次知识竞赛.在参加的同学中随机抽取100位同学的回答情况进行统计，答题情况如下：答对5题的有10人，答对6题的有30人，答对7题的有30人，答对8题的有15人，答对9题的有10人，答对10题的有5人，则可以估计在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数为　7　；
解析：因为答对5题的有10人，答对6题的有30人，答对7题的有30人，答对8题的有15人，答对9题的有10人，答对10题的有5人，所以答对题目的平均数是
＝7.
（2）为了调查某校高一学生每天午餐消费情况，通过简单随机抽样从该校高一学生中抽查了20名学生，这20名学生每天午餐消费数据如下（单位：元）：
10　12　8　8　10　14　17　8　10　8　12　10　10　17　8　10　12　10　10　12
试估计该校高一学生每天午餐的平均费用以及午餐费用不低于12元的比例.
解：样本平均数为＝＝10.8，
样本中午餐消费不低于12元的比例为＝0.35，
所以估计该校高一学生每天午餐的平均费用为10.8元，在高一学生中，午餐费用不低于12元的比例约为0.35.
1.下列抽样试验中，适合用抽签法的是（　　）
A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
解析：B　当个体数和样本容量较小时适合用抽签法，排除A、D；C中，甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，也不适合.
2.为了大致了解某公司员工的身高情况，决定从50名员工（已编号为00～49）中选取10名进行测量.如果利用随机数法进行抽取，得到如下4组编号，则符合要求的编号是（　　）
A.26，94，29，27，43，99，55，19，81，06
B.20，26，31，40，24，36，19，34，03，48
C.02，38，22，41，38，24，49，44，03，11
D.04，00，45，32，44，22，04，11，08，49
解析：B　观察选项A中的编号，有不在00～49内的数字，故排除选项A；选项C、D中都有重复的编号，故排除选项C和D.故选B.
3.以下问题中，适合使用简单随机抽样的是　③　.（填写编号）
①某市人均寿命调查；②某校高一年级学生体能素质调查；③30个灯泡的使用寿命调查.
解析：根据简单随机抽样的概念，可知简单随机抽样在总体个数不多时使用，所以适合使用简单随机抽样的是③.
4.通过简单随机抽样从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数：4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次.试估计该训练营中学员投篮投中的比例为　0.6　.
解析：10名学员投中的平均次数为＝6，所以投中的比例约为＝0.6.
课堂小结
1.理清单 （1）全面调查和抽样调查； （2）简单随机抽样； （3）简单随机抽样的方法； （4）用样本平均数估计总体平均数. 2.应体会 数据分析. 3.避易错 在简单随机抽样中，每个个体被抽取的可能性相等.
1.从全校2 000名女学生中用随机数法抽取300名调查其身高，得到样本量的平均数为148.3 cm，则可以推测该校女学生的平均身高（　　）
A.一定为148.3 cm B.高于148.3 cm
C.低于148.3 cm D.约为148.3 cm
解析：D　由抽样调查的意义可知该校女学生的平均身高约为148.3 cm.
2.（2025·宿迁月考）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（　　）
0347 4373 8636 9647 3661 4698
6371 6233 2616 8045 6011 1410
A.36 B.16
C.11 D.14
解析：C　从题中给的随机数表第一行第3列开始从左往右开始读取，重复的数字只读一次，读到的小于40的前5个编号分别为36，33，26，16，11.所以选出来的第5个零件编号是11.故选C.
3.某年级美术特长班有4个班级，每班各有40位学生（其中男生8人，女生32人）.若从该年级美术特长生中以简单随机抽样的方法抽出20人，则下列选项中正确的是（　　）
A.每班至少会有一人被抽中
B.抽出来的女生人数一定比男生人数多
C.已知小文是男生，小美是女生，则小文被抽中的可能性小于小美被抽中的可能性
D.若学生甲和学生乙在同一个班，学生丙在另外一个班，则甲、乙两人同时被抽中的可能性跟甲、丙两人同时被抽中的可能性一样
解析：D　在抽样过程中，每个个体被抽到的可能性都相等，从该年级美术特长生中以简单随机抽样的方法抽出20人，所有班的学生被抽到的可能性都一样，男生、女生被抽到的可能性都一样，其中任何两人被同时抽到的可能性一样.
4.某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.2，则n＝（　　）
A.80 B.160
C.200 D.280
解析：C　由题意可知，＝0.2，解得n＝200.
5.有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3 000个数据，统计如下表：
数据x 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99
个数 800 1 300 900
平均数 78.1 85 91.9
请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为（　　）
A.92.16 B.85.23
C.84.73 D.77.97
解析：B　这3 000个数据的平均数为＝85.23.用样本平均数估计总体平均数，可知这4万个数据的平均数约为85.23.故选B.
6.〔多选〕下列抽样中是简单随机抽样的是（　　）
A.从无数个个体中抽取50个个体作为样本
B.仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查
C.一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中不放回地逐个抽取6个号签
D.箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里
解析：CD　根据简单随机抽样的特点逐个判断.A项不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的；B项不是简单随机抽样，虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”；C项是简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样；D项是简单随机抽样，因为它是放回简单随机抽样.
7.〔多选〕某班级有52名学生，其中有31名男生和21名女生.年级主任随机询问了该班5名男生和5名女生在某次物理测验中的成绩，得到5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90；5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，则下列说法正确的是（　　）
A.本次抽样的样本量是10
B.可以估计该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
C.可以估计该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
D.可以据此估计该班本次物理测验的平均分
解析：ACD　A项明显正确；计算样本中5名男生成绩的平均数＝×（86＋94＋88＋92＋90）＝90；5名女生成绩的平均数＝×（88＋93＋93＋88＋93）＝91.可见样本中5名男生成绩的平均数小于5名女生成绩的平均数，据此估计该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，C正确，B错误；通过计算10个样本的平均数，据此估计总体的平均数，故D正确.
8.已知x1＝－1，x2＝0，x3＝1，x4＝2，x5＝3，y1＝－2，y2＝0，y3＝2，y4＝4，y5＝6，则（xi＋yi）＝　0　.
解析：（xi＋yi）＝xi＋yi＝（－1＋0＋1）＋（－2＋0＋2）＝0.
9.某学校用简单随机抽样的方法抽取了100位老师，调查了他们的年龄，得到数据如下：
年龄 （单位：岁） 32 34 38 40 42 43 45 46 48
频数 2 4 20 20 26 10 8 6 4
则估计该校老师年龄不低于40岁的比例是　0.74　.
解析：抽取的100位老师中，年龄不低于40岁的人数为74，＝0.74，故估计该校老师年龄不低于40岁的比例为0.74.
10.选择合适的抽样方法抽样，并写出抽样过程.
（1）现有一批电子元件600个，从中抽取6个进行质量检测；
（2）现有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样.
解：（1）总体中个体数较大，用随机数法.
第一步，给元件编号为001，002，003，…，099，100，…，600；
第二步，用随机数工具产生1～600范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的电子元件进入样本；
第三步，依次操作，如果生成的随机数有重复，则剔除并重新产生随机数，直到样本量达到6；
第四步，以上这6个号码对应的元件就是要抽取的对象.
（2）总体中个体数较小，用抽签法.
第一步，将30个篮球编号为01，02，…，30；
第二步，将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的小纸条上，揉成小球状，制成号签；
第三步，把号签放入一个不透明的盒子中，充分搅拌；
第四步，从盒子中逐个不放回地抽取3个号签，并记录上面的号码；
第五步，找出和所得号码对应的篮球.
11.一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为（　　）
A.0.6 B.0.7
C.0.8 D.0.9
解析：D　设20个数据分别为x1，x2，…，x20，且x20就是输错的数据，则求出的平均数为＝，实际平均数＝，∴求出的平均数与实际平均数的差为－＝＝0.9.
12.利用简单随机抽样的方法，从n（n＞14）个个体中抽取14个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为（　　）
A. B.
C. D.
解析：C　第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则＝，即n－1＝65，则n＝66，∴在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为＝.
13.为了调查某市城区某条河流的水体污染状况，某学校甲班的同学就某个指标抽取了样本量为50的样本5个，乙班的同学抽取了样本量为100的样本5个，得到如下数据：
抽样序号 1 2 3 4 5
样本量为50的平均数 123.1 120.2 125.4 119.1 123.6
样本量为100的平均数 119.8 120.1 121.0 120.3 120.2
据此可以认定　乙　班的同学调查结果能够更好地反映总体，估计这两个班的同学调查的该项指标约为　120（答案不唯一，只要合理即可）　.
解析：由抽样调查的意义可以知道，增加样本量可以提高估计效果，所以乙班同学的调查结果能够更好地反映总体，由题表可知，该项指标约为120.
14.某些商家为消费者提供免费塑料袋，使购物消费更加方便快捷，但是我们更应关注它对环境的潜在危害.为了解某市所有家庭每年丢弃塑料袋个数的情况，统计人员采用了科学的方法，随机抽取了200户，对他们某日丢弃塑料袋的个数进行了统计，结果如下表：
每户丢弃塑料袋个数 1 2 3 4 5 6
家庭数/户 15 60 65 35 20 5
（1）求当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数；
（2）假设某市现有家庭100万户，据此估计全市所有家庭每年（以365天计算）丢弃塑料袋的总数.
解：（1）×（1×15＋2×60＋3×65＋4×35＋5×20＋6×5）＝×600＝3，
故当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数为3.
（2）3×365×100＝109 500，
由此估计全市所有家庭每年丢弃塑料袋109 500万个.
15.（2025·开封月考）为了节约用水，制定阶梯水价，同时又不加重居民生活负担，某市物价部门在8月份调查了本市某小区300户居民中的50户居民，得到如下数据：
用水 量/m3 18 19 20 21 22 23 24 25 26
频数 2 4 4 6 12 10 8 2 2
物价部门制定的阶梯水价实施方案为：
月用水量 水价/（元/m3）
不超过21 m3 3
超过21 m3的部分 4.5
（1）计算这50户居民的用水的平均数；
（2）写出水价的函数关系式，并计算用水量为28 m3时的水费；
（3）物价部门制定的水价合理吗？为什么？
解：（1）这50户居民用水的平均数为×（18×2＋19×4＋20×4＋21×6＋22×12＋23×10＋24×8＋25×2＋26×2）＝22.12（m3）.
（2）设月用水量为x m3，
则水价为f（x）＝
当x＝28时，f（28）＝4.5×28－31.5＝94.5（元）.
（3）不合理.从时间上看，物价部门是在8月份调查的居民用水量，而这个月，该市的居民用水量普遍偏高，不能代表居民全年的月用水量；从居民比例上看，仅仅有16户居民，即32％的居民月用水量没有超过21 m3，加重了大部分居民的生活负担.
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