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第三课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
知识点一｜有关三角形面积的计算
问题　已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？
【知识梳理】
1.三角形的面积计算公式
（1）S＝a·ha＝b·hb＝c·hc（ha，hb，hc分别表示a，b，c上的高）；
（2）S＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
（3）S＝（a＋b＋c）·r（r为△ABC内切圆的半径）.
2.△ABC中的常用结论
（1）A＋B＋C＝　　　　，sin（A＋B）＝　　　　，cos（A＋B）＝　　　　；
（2）大边对大角，即a＞b A＞B sin A＞sin B cos A＜cos B.
【例1】　（1）设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，b＝6，cos C＝－，则△ABC的面积为（　　）
A.6　　 B.6
C.12　　 D.8
（2）若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则AB＝　　　　.
【规律方法】
求三角形面积的解题思路
在应用三角形面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B求解时，一般是已知哪个角就使用哪一个公式.
训练1　（1）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为，且b＝2，c＝，则A＝（　　）
A.30° B.60°
C.150° D.120°或60°
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2－8＝（b－c）2，A＝，则△ABC的面积是（　　）
A.4　　　 B.2
C.4　　　 D.2
知识点二｜求解平面几何问题
【例2】　如图，在圆内接四边形ABCD中，B＝120°，AB＝2，AD＝2，△ABC的面积为.求：
（1）AC；
（2）∠ACD.
【规律方法】
多边形中计算问题的解题思路
（1）正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，还要善于应用正弦定理、余弦定理.只需通过解三角形，一般问题便能很快解决；
（2）解决此类问题的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件.
训练2　如图，在Rt△ABC中，∠ACB为直角，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且cos B＝.
（1）求B的大小；
（2）若c＝3，D为AB边上一点，且AD＝1，求sin∠BCD.
知识点三｜正弦、余弦定理的综合应用
【例3】　在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＝3，sin B＋sin A＝2.
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的面积.
【规律方法】
利用正弦定理、余弦定理求解综合问题
（1）三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，寻找三角形中的边角关系；
（2）抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键.
训练3　在△ABC中，已知＝且a（sin A－sin B）＝（c－b）（sin C＋sin B），试判断△ABC的形状.
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，b＝4，C＝，则△ABC的面积为（　　）
A.2 B.
C. D.
2.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝，则C＝（　　）
A.60°或120° B.30°
C.60° D.45°
3.在△ABC中，sin B＝2sin A，a＋c＝3，且cos C＝，则a＝　　　　.
4.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sin B＝　　　　.
1.理清单 （1）三角形面积的计算； （2）利用正弦、余弦定理解平面几何问题； （3）正弦、余弦定理的综合应用. 2.应体会 结合条件能顺利选择三角形的面积公式、正确选择正弦或余弦定理结合三角恒等变换实现边与角的互化，应用转化与化归、数形结合的思想方法. 3.避易错 利用正弦定理进行边和角的相互转化时易出现不等价变形.
提示：完成课后作业　第六章　6.4　6.4.3　第三课时
1 / 1第三课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
知识点一｜有关三角形面积的计算
问题　已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？
提示：边b上的高h为asin C，故面积为S＝bh＝absin C.
【知识梳理】
1.三角形的面积计算公式
（1）S＝a·ha＝b·hb＝c·hc（ha，hb，hc分别表示a，b，c上的高）；
（2）S＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
（3）S＝（a＋b＋c）·r（r为△ABC内切圆的半径）.
2.△ABC中的常用结论
（1）A＋B＋C＝　180°　，sin（A＋B）＝　sin C　，cos（A＋B）＝　－cos C　；
（2）大边对大角，即a＞b A＞B sin A＞sin B cos A＜cos B.
【例1】　（1）设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，b＝6，cos C＝－，则△ABC的面积为（　B　）
A.6 B.6
C.12 D.8
解析：（1）∵0＜C＜π，∴sin C＝＝，∴S△ABC＝absin C＝×4×6×＝6.故选B.
（2）若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则AB＝　2　.
解析：（2）法一　由S△ABC＝AC·BC·sin C＝，得AC＝2，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 60°＝22＋22－2×2×2×＝4，所以AB＝2，即边AB的长度为2.
法二　由S△ABC＝AC·BC·sin C＝，得AC＝2，所以AC＝BC＝2，又C＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以AB＝2，即边AB的长度为2.
【规律方法】
求三角形面积的解题思路
在应用三角形面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B求解时，一般是已知哪个角就使用哪一个公式.
训练1　（1）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为，且b＝2，c＝，则A＝（　D　）
A.30° B.60°
C.150° D.120°或60°
解析：（1）已知S△ABC＝bcsin A＝，则有×2×sin A＝，所以sin A＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°或120°.故选D.
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2－8＝（b－c）2，A＝，则△ABC的面积是（　D　）
A.4 B.2
C.4 D.2
解析：（2）由a2－8＝（b－c）2，得b2＋c2－a2＝2bc－8，因为A＝，所以由余弦定理得cos A＝＝＝，解得bc＝8，所以△ABC的面积是bcsin A＝×8×＝2.故选D.
知识点二｜求解平面几何问题
【例2】　如图，在圆内接四边形ABCD中，B＝120°，AB＝2，AD＝2，△ABC的面积为.求：
（1）AC；
解：（1）因为△ABC的面积为，
所以AB·BCsin B＝.
又因为B＝120°，AB＝2，所以BC＝2.
由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，所以AC＝2.
（2）∠ACD.
解：（2）因为四边形ABCD为圆内接四边形，且B＝120°，所以D＝60°.
又AD＝2，由正弦定理可得＝，
故sin∠ACD＝＝＝.
因为AC＞AD，所以0°＜∠ACD＜60°，
所以∠ACD＝45°.
【规律方法】
多边形中计算问题的解题思路
（1）正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，还要善于应用正弦定理、余弦定理.只需通过解三角形，一般问题便能很快解决；
（2）解决此类问题的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件.
训练2　如图，在Rt△ABC中，∠ACB为直角，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且cos B＝.
（1）求B的大小；
解：（1）∵∠ACB＝，
∴cos B＝＝＝，
整理得2a2－c2＋ac＝0，
即（2a－c）（a＋c）＝0.
∵a＋c＞0，∴2a－c＝0，即2a＝c.
∴cos B＝，
∵B为△ABC的内角，∴B∈（0，π），∴B＝.
（2）若c＝3，D为AB边上一点，且AD＝1，求sin∠BCD.
解：（2）依题意，知c＝AB＝3，BD＝AB－AD＝2，BC＝AB·cos B＝.
在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos B＝＋4－2××2×＝，
∴CD＝.
在△BCD中，由正弦定理得＝，
∴sin∠BCD＝＝＝.
知识点三｜正弦、余弦定理的综合应用
【例3】　在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＝3，sin B＋sin A＝2.
（1）求角A的大小；
解：（1）由题意，结合正弦定理得＝，
∴sin B＝3sin A，
根据sin B＋sin A＝2，联立得sin A＝，
∵△ABC为锐角三角形，∴A∈（0，），∴A＝.
（2）求△ABC的面积.
解：（2）由题意，结合余弦定理得a2＝c2＋9－6c·cos ＝7，解得c＝1或c＝2.
当c＝1时，cos B＝＝－＜0，故B为钝角，这与△ABC为锐角三角形矛盾，故不满足条件.
当c＝2时，满足题意，此时△ABC的面积为bc·sin A＝×3×2×＝.
【规律方法】
利用正弦定理、余弦定理求解综合问题
（1）三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，寻找三角形中的边角关系；
（2）抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键.
训练3　在△ABC中，已知＝且a（sin A－sin B）＝（c－b）（sin C＋sin B），试判断△ABC的形状.
解：由＝及正弦定理得＝，即ac＋a2＝b2＋bc，∴a2－b2＋ac－bc＝0，
∴（a－b）（a＋b＋c）＝0，∴a＝b.
由a（sin A－sin B）＝（c－b）（sin C＋sin B）及正弦定理，得a（a－b）＝（c－b）（c＋b），即a2＋b2－c2＝ab.∴cos C＝＝，
又C∈（0，π），∴C＝.∴△ABC为等边三角形.
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，b＝4，C＝，则△ABC的面积为（　　）
A.2 B.
C. D.
解析：B　由题意可知，a＝，b＝4，C＝，所以S△ABC＝absin C＝××4×＝.
2.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝，则C＝（　　）
A.60°或120° B.30°
C.60° D.45°
解析：C　在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝AB·ACsin A＝，可得sin A＝1.因为0°＜A＜180°，所以A＝90°，所以C＝180°－A－B＝60°.
3.在△ABC中，sin B＝2sin A，a＋c＝3，且cos C＝，则a＝　1　.
解析：由sin B＝2sin A及正弦定理，得b＝2a，又a＋c＝3，∴c＝3－a，由余弦定理的推论，得cos C＝＝＝，整理得a2＋2a－3＝0，解得a＝1（负值舍去）.
4.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sin B＝　　.
解析：由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB＝120°，AC＝2，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB，即AB＝2，由正弦定理，得＝，则sin B＝＝.
课堂小结
1.理清单 （1）三角形面积的计算； （2）利用正弦、余弦定理解平面几何问题； （3）正弦、余弦定理的综合应用. 2.应体会 结合条件能顺利选择三角形的面积公式、正确选择正弦或余弦定理结合三角恒等变换实现边与角的互化，应用转化与化归、数形结合的思想方法. 3.避易错 利用正弦定理进行边和角的相互转化时易出现不等价变形.
1.钝角△ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝（　　）
A.5 B.
C.2 D.1
解析：B　由三角形面积公式，得S△ABC＝AB·BC·sin B＝.又∵AB＝1，BC＝，∴sin B＝.∵B∈（0，π），∴B＝或B＝.由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，当B＝时，得AC＝1，这时不符合△ABC为钝角三角形的要求，故舍去；当B＝时，得AC＝（满足题意）.
2.在△ABC中，sin2A＝sin Bsin C，若A＝，则B＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：C　因为sin2A＝sin Bsin C，所以a2＝bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0，得b＝c，所以△ABC是等边三角形，B＝.故选C.
3.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：A　由余弦定理及题中条件可得△ABC的面积S△ABC＝absin C＝＝abcos C，可得sin C＝cos C，∵C∈（0，π），∴C＝.故选A.
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝bc＝1，则△ABC的面积为（　　）
A. B.
C. D.
解析：C　由b2＋c2－a2＝bc及余弦定理b2＋c2－a2＝2bccos A可得bc＝2bccos A，即cos A＝，因为在△ABC中，sin A＞0，所以sin A＝.因为bc＝1，所以S△ABC＝bcsin A＝×1×＝.
5.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是（　　）
A.a2＝b2＋c2－2bccos A B.asin B＝bsin A
C.a＝bcos C＋ccos B D.acos B＋bcos C＝c
解析：ABC　对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccos A，故A正确；对于B，根据正弦定理＝，可得asin B＝bsin A，故B正确；对于C，根据正弦定理，得a＝bcos C＋ccos B sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin（B＋C）＝sin A，故C正确；对于D，根据正弦定理可得，sin Acos B＋sin Bcos C＝sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin Bcos C＝cos Asin B，又sin B≠0，所以cos C＝cos A，当A＝C时，等式成立，故D不正确.
6.〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin B＝，c＝2，b＝，则（　　）
A.sin C＝
B.cos B＝－
C.a＝3
D.△ABC的面积为或
解析：AD　对于A，因为sin B＝，c＝2，b＝，所以由＝，得×＝，解得sin C＝，故A正确；对于B，因为c＞b，所以C＞B，故0＜B＜，因为sin B＝，所以cos B＝＝，故B错误；对于C，由b2＝a2＋c2－2accos B，得2＝a2＋4－4a×，解得a＝或a＝3，经检验，a＝与a＝3都满足要求，故C错误；对于D，当a＝时，S△ABC＝acsin B＝××2×＝；当a＝3时，S△ABC＝acsin B＝×3×2×＝，所以△ABC的面积为或，故D正确.故选A、D.
7.在△ABC中，bc＝20，S△ABC＝5，△ABC外接圆的半径为3，则a＝　3　.
解析：由S△ABC＝5，得bcsin A＝×20×sin A＝5，解得sin A＝，再由正弦定理，得＝2×3，即a＝×2×3＝3.
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，C＝60°，且△ABC的面积为5，则△ABC的周长为　9＋　.
解析：由题意及三角形的面积公式，得absin C＝5，即a×5×＝5，解得a＝4，根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，即c2＝16＋25－2×4×5×＝21，c＝，所以△ABC的周长为9＋.
9.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝3，B＝，则AC边上的高为　　.
解析：在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋9－2×2×3×＝7，解得b＝（负值舍去），设AC边上的高为h，则S△ABC＝acsin B＝h·b，即×2×3×sin＝h×，解得h＝.
10.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝8，b＝7，B＝60°，求c及S△ABC.
解：在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得49＝64＋c2－16c×，
整理得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5.
当c＝3时，S△ABC＝acsin B＝×8×3×＝6；
当c＝5时，S△ABC＝acsin B＝×8×5×＝10.
11.如图，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB的长为（　　）
A.4 B.4
C.8 D.4
解析：D　在△ADC中，因为DC＝5，DA＝7，AC＝8，所以cos∠ADC＝＝，因此cos∠ADB＝－，所以sin∠ADB＝，在△ABD中，又B＝45°，由正弦定理＝，得AB＝＝＝4.
12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＝2，csin A＝acos（C＋），则c＝（　　）
A.1 B.
C.4 D.13
解析：A　∵csin A＝acos（C＋），∴sin Csin A＝sin A（cos C－sin C），∵sin A≠0，∴sin C＝cos C－sin C，∴3sin C＝cos C，∴tan C＝，又∵C∈（0，π），∴C＝.在△ABC中，由余弦定理得c2＝3＋4－2××2×＝1，∴c＝1.故选A.
13.〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝2∶3∶4，则下列结论正确的是（　　）
A.sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4
B.△ABC是钝角三角形
C.若c＝8，则△ABC外接圆半径为
D.若c＝8，则边AB上的中线长为
解析：ABD　在△ABC中，因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以设a＝2t，b＝3t，c＝4t，且t＞0.对于A，由正弦定理，得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝2∶3∶4，故A正确；对于B，因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以角C最大，cos C＝＝＝－，则C为钝角，即△ABC是钝角三角形，故B正确；对于C，若c＝8，因为cos C＝－，所以sin C＝，由正弦定理，得2R＝＝，即R＝，故C错误；对于D，若c＝8，则a＝4，b＝6，则由余弦定理的推论得，cos A＝＝＝，所以由余弦定理得边AB上的中线长为＝＝，故D正确.故选A、B、D.
14.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（c－b）（sin B＋sin C）＝（sin C－sin A）a.
（1）求角B；
（2）若c＝4，△ABC的面积为3，求cos C的值.
解：（1）因为（c－b）（sin B＋sin C）＝（sin C－sin A）a，
所以由正弦定理得c2－b2＝ac－a2，即a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理的推论得cos B＝＝＝.
因为0＜B＜π，所以B＝.
（2）因为c＝4，△ABC的面积为3，
所以acsin B＝3，
即×4a×＝3，解得a＝3.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋16－2×3×4×＝13，所以b＝（负值舍去），
所以cos C＝＝＝.
15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcos A＝c.
（1）判断△ABC的形状，并加以证明；
（2）如图，△ABC外存在一点D，使得∠BAD＝，AD＝2，BD＝5，且BC＝2，求CD.
解：（1）△ABC为直角三角形.证明如下：
在△ABC中，由正弦定理得
sin Bcos A＝sin C，又A＋B＋C＝π，
所以sin Bcos A＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B，
化简得sin Acos B＝0，因为A∈（0，π），所以sin A＞0，所以cos B＝0，
又因为B∈（0，π），所以B＝，
所以△ABC是直角三角形.
（2）在△ABD中，由正弦定理得＝.
由题设知，＝，
所以sin∠ABD＝＝.
由（1）知，cos∠CBD＝cos（－∠ABD）＝sin∠ABD＝.
在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠CBD＝52＋（2）2－2×5×2×＝25，所以CD＝5.
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