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第四课时　余弦定理、正弦定理应用举例
知识点一｜实际问题中有关名词、术语
【知识梳理】
1.基线的概念与选取原则
（1）基线：根据测量的需要而　确定的线段　叫做基线；
（2）选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.
2.方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图，北偏东30°，南偏东45°.
3.仰角和俯角
（1）前提：在视线所在的垂直平面内；
（2）仰角：视线在水平线　以上　时，视线与水平线所成的角；
（3）俯角：视线在水平线　以下　时，视线与水平线所成的角.
【例1】　（1）若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（　C　）
A.东偏北45°10'方向上　B.东偏北44°50'方向上
C.南偏西44°50'方向上 D.西偏南44°50'方向上
解析：（1）如图所示.
（2）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为（　A　）
A.a km B.a km
C.a km D.2a km
解析：（2）在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝a.故选A.
【规律方法】
1.仰角与俯角是指目标视线与水平视线的夹角，水平视线易与铅垂线混淆.
2.方位角中的顺时针易错记为逆时针.
训练1　如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为　30　m.
解析：由题图可得B＝45°，∠BAC＝30°，故BC＝＝＝30（m）.
知识点二｜测量距离问题
【例2】　（链接教材P49例9）如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离.
解：在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，
∴BD＝CD＝40，BC＝＝40.
在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，
∴∠CAD＝180°－（30°＋105°）＝45°.
由正弦定理，得AC＝＝20.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA
＝（20）2＋（40）2－2×20×40cos 60°
＝2 400，
∴AB＝20，故A，B两点之间的距离为20 m.
【规律方法】
解决测量距离问题时要选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解.构建数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中，挖掘建模图形的性质，或寻找合适的三角形，这样会使问题求解更简单.
训练2　如图，为了测量河的宽度，在岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝60°，AB＝60 m，则河的宽度CD＝（　　）
A.30（3＋）m B.30（3－）m
C.20（＋3）m D.30（－1）m
解析：B　由题意得∠ACB＝180°－45°－60°＝75°，在△ABC中，由正弦定理得＝，∴BC＝＝＝60（－1）（m），故CD＝BCsin∠CBA＝60（－1）×＝30（3－）（m）.故选B.
知识点三｜测量高度问题
【例3】　（链接教材P49例10）彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝20 m，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝（　　）
A.30 m B.20 m
C.20 m D.20 m
解析：D　由题设知，AB⊥BC，又∠DBC＝180°－∠BDC－∠BCD＝30°，在△BCD中，＝，可得BC＝20 m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，则AB＝20 m.故选D.
【规律方法】
测量高度问题的解题策略
（1）“空间”向“平面”的转化：寻找相应的直角三角形，并发现题目中有关高度的线段与平面上相关线段的长度之间的关系，从而把空间中测量高度问题转化为平面上解三角形的问题；
（2）“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.
训练3　如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝　150　m.
解析：由题意可知AB＝BC＝100 m，所以AC＝100 m，在△ACM中，由正弦定理得AM＝·sin 60°＝100（m），所以MN＝AMsin 60°＝100×＝150（m）.
知识点四｜测量角度问题
【例4】　（链接教材P50例11）甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向正北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解：如图所示.
设经过t小时两船在C点相遇，
易知BC＝at海里，AC＝at海里，B＝120°，
由＝，
得sin∠CAB＝＝，
又0°＜∠CAB＜60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.
【规律方法】
测量角度问题画示意图的基本步骤
训练4　〔多选〕如图，在海面上有两个观测点B和D，B在D的正北方向，距离为2 n mile，在某天10：00观察到某船在C处，此时测得∠CBD＝45°，5 min后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则（　　）
A.观测点B位于A的北偏东75°方向
B.当天10：00时，该船到观测点B的距离为 n mile
C.当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为 n mile
D.该船由C行驶至A行驶了 n mile
解析：ACD　A中，∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝30°＋45°＝75°，因为B在D的正北方向，所以B位于A的北偏东75°方向，故A正确；B中，在△BCD中，∠CDB＝∠ADC＋∠ADB＝30°＋60°＝90°，∠CBD＝45°，BD＝2 n mile，所以BC＝2 n mile，故B错误；C中，在△ABD中，∠ADB＝60°，∠BAD＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，即AB＝＝ n mile，故C正确；D中，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝6＋8－2××2×＝2，则AC＝ n mile，故D正确.故选A、C、D.
海伦——秦九韶公式
在解三角形的问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求出三角形的面积.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了公式S＝，这里p＝（a＋b＋c）.但现在人们常常以古希腊的数学家海伦（Heron，约1世纪）的名字命名这个公式，因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，公式的证明在海伦的著作《测量仪器》和《度量术》中可以找到.
我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261年）也发现了与海伦公式等价的从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，就是S＝.
秦九韶独立推出了“三斜求积”公式.它虽然与海伦公式形式上不一样，但两者完全等价，从中可以充分说明我国古代学者已具有很高的数学水平.
【迁移应用】
1.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝6，b＋c＝10.则△ABC的面积最大值为（　　）
A.6 B.8
C.10 D.12
解析：D　依题意，p＝＝8，则S＝＝4＝4，所以b＝5时，Smax＝12，所以△ABC的面积最大值是12.故选D.
2.海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：S＝（其中p＝）；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦—秦九韶公式.现在有周长为10＋2的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（　　）
A.8 B.4C.6 D.12
解析：C　∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，∴a∶b∶c＝2∶3∶，∵△ABC周长为10＋2，即a＋b＋c＝10＋2，∴a＝4，b＝6，c＝2，∴p＝＝5＋，∴△ABC的面积S＝＝6.故选C.
1.如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的（　　）
A.北偏东10°方向上 B.北偏西10°方向上
C.南偏东80°方向上 D.南偏西80°方向上
解析：D　由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°.又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.故选D.
2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点间的距离为（　　）
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
解析：A　∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由＝，得AB＝100×＝50（m）.
3.如图，测量河对岸塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D.现测得α＝75°，β＝60°，CD＝20 m，在点C处测得塔顶A的仰角为θ＝60°，则塔高AB＝（　　）
A.30 m B.20 m
C.30 m D.10 m
解析：C　在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，则BC＝＝＝10 （m），在Rt△ABC中，AB＝BC·tan θ＝10×＝30（m）.故选C.
4.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以10 n mile/h的速度沿南偏东75°方向前进，侦察艇以14 n mile/h的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为　2　h，角α的正弦值为　　.
解析：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.在△ABC中，根据余弦定理得（14x）2＝122＋（10x）2－240xcos 120°，解得x＝2或x＝－（舍），故AC＝28 n mile，BC＝20 n mile，根据正弦定理得＝，解得sin α＝＝.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
课堂小结
1.理清单 不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案. 2.应体会 求解不可到达的距离、高度、角度等实际问题时，策略就是把实际问题转化为解三角形问题，体现了转化与化归和数形结合的思想方法. 3.避易错 测量中有关术语的含义，如方位角、方向角.
1.若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的（　　）
A.北偏东15°方向上 B.北偏西15°方向上
C.北偏东10°方向上 D.北偏西10°方向上
解析：B　如图所示，∠ACB＝90°，又因为AC＝BC，所以∠CBA＝45°.因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°，所以点A在点B的北偏西15°方向上.
2.从高出海平面h米的小岛上看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为（　　）
A.2h米 B.h米
C.h米 D.2h米
解析：A　如图所示，BC＝h，AC＝h，所以AB＝＝2h，即此时两船间的距离为2h米.故选A.
3.某人从出发点A向正东走x m后到达B，然后向左转150°再向前走3 m到达C，测得△ABC的面积为 m2，此人这时离出发点的距离为（　　）
A.3 m B. m C. m D. m
解析：D　如图所示，由题意得∠ABC＝30°，AB＝x，BC＝3，∵S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝x＝，∴x＝.由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝12－6cos 30°＝3，∴AC＝，即此人这时离出发点的距离为 m.故选D.
4.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（　　）
A.20 m B. m
C.30 m D.30 m
解析：C　如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，A处观测小船D的俯角为30°，连接BC，BD，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，可得BC＝AB＝30 m，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，可得BD＝AB＝30 m，在△BCD中，BC＝30 m，BD＝30 m，∠CBD＝30°，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，∴CD＝30 m，即两船相距30 m.
5.〔多选〕甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有（　　）
A.甲楼的高度为20 m
B.甲楼的高度为10 m
C.乙楼的高度为 m
D.乙楼的高度为10 m
解析：AC　如图所示，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，BD＝20 m，所以AD＝BDtan 60°＝20 m，AB＝40 m，在△ABC中，由题易知∠CAB＝30°＝∠CBA，∠ACB＝120°，设AC＝BC＝x，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，即1 600＝x2＋x2＋x2，解得x＝，则乙楼的高度为 m.故选A、C.
6.〔多选〕一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在B处的（　　）
A.北偏东75°方向 B.南偏东15°方向
C.东北方向 D.东南方向
解析：AB　画出示意图如图，客船半小时航行的路程为32×＝16（n mile），所以AB＝16 n mile.又BS＝8 n mile，∠BAS＝30°，所以＝，所以sin∠ASB＝，所以∠ASB＝45°或∠ASB＝135°.当船在B处时，∠ASB＝45°，∠B'BS＝75°；当船在B'处时，∠ASB'＝135°，∠AB'S＝15°.综上，灯塔S在B处的北偏东75°方向或南偏东15°方向，故选A、B.
7.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为　45°　.
解析：依题意，可得AD＝20，AC＝30，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理的推论，得cos∠CAD＝＝＝，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
8.如图，已知两座灯塔A，B与C的距离都是 km，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为　3　km.
解析：连接AB，由题意得AC＝BC＝，∠ACB＝120°，则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝3＋3－2×3×，即AB2＝9，即AB＝3 km.
9.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向，即沿直线CB前往B处救援，则cos θ＝　　.
解析：因为在△ABC中，AB＝40 n mile，AC＝20 n mile，∠BAC＝120°，所以由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，所以BC＝20 n mile.由正弦定理，得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝.从而cos θ＝cos（∠ACB＋30°）＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝×－×＝.
10.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝，求索道AB的长.
解：在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝，
从而sin B＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
由＝，得AB＝·sin C＝×＝1 040（m）.所以索道AB的长为1 040 m.
11.如图，已知长方形墙ACFE把地面上的B，D两点隔开，该墙与地面垂直，长10 m，高3 m.已测得AB＝6 m，BC＝8 m.现欲通过计算，能唯一求得B，D两点之间的距离，需要进一步测量的几何量可以为（　　）
A.点D到AC的距离
B.CD的长度和DF的长度
C.∠ACB和∠ADC
D.CD的长度和∠ACD
解析：D　如图，连接BD.因为在△ABC中，AB＝6 m，BC＝8 m，AC＝10 m，所以AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，所以sin∠BAC＝＝，sin∠BCA＝＝.对于A，若测量点D到AC的距离，则在△BCD或△ABD中只有一条边长度已知，无法求解BD的长，所以A选项错误；对于B，若测量CD的长度和DF的长度，则在△BCD中有两边长度已知，或△ABD中只有一条边长度已知，无法求解BD的长，所以B选项错误；对于C，若测量∠ACB和∠ADC，则在△BCD或△ABD中只有一条边已知，无法求解BD的长，所以C选项错误；对于D，若测量CD的长度和∠ACD，则在△BCD中，可求出cos∠BCD＝cos（∠BCA＋∠ACD）＝cos∠BCA·cos∠ACD－sin∠BCA·sin∠ACD，而BC＝8 m，所以由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，从而可求出BD，所以D选项正确.
12.〔多选〕某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上，距离为12海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上，距离为8海里.货轮自A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，则下列说法正确的是（　　）
A.A处与D处之间的距离是24海里
B.灯塔C与D处之间的距离是8海里
C.灯塔C在D处的西偏南60°的方向上
D.D处在灯塔B的北偏西30°的方向上
解析：ABC　根据题意作出图形如图所示，由货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上，距离为12海里， 得∠BAD＝75°，AB＝12（海里）；由货轮在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上，距离为8海里，得∠CAD＝30°，AC＝8（海里）；由货轮自A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，得∠ADB＝60°，所以在△ABD中，B＝180°－60°－75°＝45°.对于A，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝＝24（海里），故A正确；对于B，在△ACD中，由余弦定理得CD＝＝＝8（海里），故B正确；对于C，因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的南偏西30°的方向上，即灯塔C在D处的西偏南60°的方向上，故C正确；对于D，由∠ADB＝60°，灯塔B在D处的南偏东60°的方向上，则D处在灯塔B的北偏西60°的方向上，故D错误.故选A、B、C.
13.当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝　30°　.
解析：作出示意图如图所示，设竹竿的影子长为x m，依据正弦定理可得＝，所以x＝×sin（120°－α），因为0°＜120°－α＜120°，所以要使x最大，只需sin（120°－α）＝1，即120°－α＝90°，所以当α＝30°时，影子最长.
14.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，求山的高度.（精确到1 m，sin 35°≈0.573 6，≈1.414）
解：如图，过点D作DE∥AC，交BC于点E，
因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，所以∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
易知∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，由正弦定理，得AB＝＝＝1 000（m）.
在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈1 000×1.414×0.573 6≈811（m）.所以山的高度约为811 m.
15.某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东30°方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所.早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西30°方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h.（假设所有船只均保持匀速直线航行）
（1）求走私船的速度大小；
（2）缉私船沿什么方向行驶才能截获走私船，并求出截获走私船的具体时间.
解：（1）如图，连接BD，
∵D点位于A哨所北偏东30°方向20 n mile处，
∴∠BAD＝90°＋30°＝120°，AD＝20，
∵AB＝20，
∴BD＝＝20.
∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝30°.
∵E点位于B哨所北偏西30°方向60 n mile处，
∴∠DBE＝90°－30°＋30°＝90°，
∴DE＝＝40.
设走私船的速度大小为v，
则v＝＝10（n mile/h），
∴走私船的速度大小为10 n mile/h.
（2）连接CE，设在F点处截获走私船，截获走私船所需时间为t.
∵BE＝60，BC＝30，∠CBE＝60°，
∴CE＝＝30.
∵BE2＝BC2＋CE2，∴∠BCE＝90°，∠BEC＝30°，∴∠CEF＝120°.
∵走私船速度大小为10 n mile/h，缉私船速度大小为30 n mile/h，
∴EF＝10t，CF＝30t，
在△CEF中，根据余弦定理得，CF2＝CE2＋EF2－2CE·EFcos 120°，即900t2＝2 700＋300t2－2×30×10tcos 120°，
化简得2t2－3t－9＝0，
∴t＝－（舍去）或t＝3，
此时CE＝EF＝30，∴∠ECF＝30°，
∴缉私船沿北偏西30°方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船.
1 / 1第四课时　余弦定理、正弦定理应用举例
知识点一｜实际问题中有关名词、术语
【知识梳理】
1.基线的概念与选取原则
（1）基线：根据测量的需要而　　　　　　叫做基线；
（2）选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.
2.方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图，北偏东30°，南偏东45°.
3.仰角和俯角
（1）前提：在视线所在的垂直平面内；
（2）仰角：视线在水平线　　　　时，视线与水平线所成的角；
（3）俯角：视线在水平线　　　　时，视线与水平线所成的角.
【例1】　（1）若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（　　）
A.东偏北45°10'方向上 B.东偏北44°50'方向上
C.南偏西44°50'方向上 D.西偏南44°50'方向上
（2）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为（　　）
A.a km B.a km
C.a km D.2a km
【规律方法】
1.仰角与俯角是指目标视线与水平视线的夹角，水平视线易与铅垂线混淆.
2.方位角中的顺时针易错记为逆时针.
训练1　如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为　　　　m.
知识点二｜测量距离问题
【例2】　（链接教材P49例9）如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离.
【规律方法】
解决测量距离问题时要选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解.构建数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中，挖掘建模图形的性质，或寻找合适的三角形，这样会使问题求解更简单.
训练2　如图，为了测量河的宽度，在岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝60°，AB＝60 m，则河的宽度CD＝（　　）
A.30（3＋）m B.30（3－）m
C.20（＋3）m D.30（－1）m
知识点三｜测量高度问题
【例3】　（链接教材P49例10）彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝20 m，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝（　　）
A.30 m B.20 m
C.20 m D.20 m
【规律方法】
测量高度问题的解题策略
（1）“空间”向“平面”的转化：寻找相应的直角三角形，并发现题目中有关高度的线段与平面上相关线段的长度之间的关系，从而把空间中测量高度问题转化为平面上解三角形的问题；
（2）“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.
训练3　如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝　　　　m.
知识点四｜测量角度问题
【例4】　（链接教材P50例11）甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向正北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
【规律方法】
测量角度问题画示意图的基本步骤
训练4　〔多选〕如图，在海面上有两个观测点B和D，B在D的正北方向，距离为2 n mile，在某天10：00观察到某船在C处，此时测得∠CBD＝45°，5 min后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则（　　）
A.观测点B位于A的北偏东75°方向
B.当天10：00时，该船到观测点B的距离为 n mile
C.当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为 n mile
D.该船由C行驶至A行驶了 n mile
海伦——秦九韶公式
在解三角形的问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求出三角形的面积.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了公式S＝，这里p＝（a＋b＋c）.但现在人们常常以古希腊的数学家海伦（Heron，约1世纪）的名字命名这个公式，因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，公式的证明在海伦的著作《测量仪器》和《度量术》中可以找到.
我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261年）也发现了与海伦公式等价的从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，就是S＝.
秦九韶独立推出了“三斜求积”公式.它虽然与海伦公式形式上不一样，但两者完全等价，从中可以充分说明我国古代学者已具有很高的数学水平.
【迁移应用】
1.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝6，b＋c＝10.则△ABC的面积最大值为（　　）
A.6 B.8
C.10 D.12
2.海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：S＝（其中p＝）；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦—秦九韶公式.现在有周长为10＋2的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（　　）
A.8 B.4
C.6 D.12
1.如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的（　　）
A.北偏东10°方向上 B.北偏西10°方向上
C.南偏东80°方向上 D.南偏西80°方向上
2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点间的距离为（　　）
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
3.如图，测量河对岸塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D.现测得α＝75°，β＝60°，CD＝20 m，在点C处测得塔顶A的仰角为θ＝60°，则塔高AB＝（　　）
A.30 m B.20 m
C.30 m D.10 m
4.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以10 n mile/h的速度沿南偏东75°方向前进，侦察艇以14 n mile/h的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为　　　　h，角α的正弦值为　　　　.
1.理清单 不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案. 2.应体会 求解不可到达的距离、高度、角度等实际问题时，策略就是把实际问题转化为解三角形问题，体现了转化与化归和数形结合的思想方法. 3.避易错 测量中有关术语的含义，如方位角、方向角.
提示：完成课后作业　第六章　6.4　6.4.3　第四课时
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