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6.4.3　余弦定理、正弦定理
课标要求 情境导入
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系（逻辑推理）. 2.掌握余弦定理、正弦定理及其推论，会利用它们求解三角形中的边角问题（数学运算）. 3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题（数学建模）. 　　千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一个小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°.那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？本节课我们就来学习一下！
第一课时　余弦定理
知识点一｜余弦定理的推导
问题1　（1）在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
提示：如图，设＝a，＝b，＝c，
那么c＝a－b，①
我们的研究目标是用｜a｜，｜b｜和C表示｜c｜，
联想到数量积的性质c·c＝｜c｜2，
可以考虑用向量c（即a－b）与其自身作数量积运算.
由①得｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）
＝a·a＋b·b－2a·b
＝a2＋b2－2｜a｜｜b｜cos C.
所以c2＝a2＋b2－2abcos C.
（2）在问题（1）的探究成果中，若C＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？
提示：a2＋b2＝c2，即勾股定理；勾股定理是余弦定理的一个特例.
（3）类比问题（1）的推理过程，请分别写出用b，c和A表示a以及用a，c和B表示b的相应的表达式.
提示：类比问题（1）的推理过程，同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B.
【知识梳理】
余弦定理
文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边　平方的和　减去这两边与它们夹角的余弦的　积的两倍　
公式表达 a2＝　b2＋c2－2bccos A　，b2＝　c2＋a2－2cacos B　，c2＝　a2＋b2－2abcos C　
　　提醒：（1）适用范围：任意三角形；（2）结构特征：“平方”“夹角”“余弦”.
知识点二｜已知两边及一角解三角形
【例1】　（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝3，c＝2，A＝30°，则a＝　　；
解析：（1）由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋（2）2－2×3×2cos 30°＝3，所以a＝.
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝　3　.
解析：（2）由余弦定理得5＝22＋b2－2×2bcos A，因为cos A＝，所以3b2－8b－3＝0，所以b＝3（b＝－舍去）.
【规律方法】
已知两边及一角解三角形的两种情况
（1）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角；
（2）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解.
训练1　（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，c＝2，A＋C＝，则b＝（　A　）
A. B.6
C.7 D.8
（2）已知△ABC中，AB＝，BC＝1，A＝30°，则AC＝　1或2　.
解析：（1）因为A＋C＝，所以B＝π－（A＋C）＝，因为a＝3，c＝2，所以由余弦定理得b＝＝＝.
（2）在△ABC中，令角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB＝c＝，BC＝a＝1，cos A＝，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得1＝b2＋3－3b，解得b＝1或b＝2，则AC＝1或AC＝2.
知识点三｜已知三边解三角形
问题2　在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何求角A，B，C呢？
提示：根据余弦定理的变形得cos A＝，cos B＝，cos C＝.
【知识梳理】
1.余弦定理的推论
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则cos A＝，cos B＝，cos C＝.
2.解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的　元素　.已知三角形的几个元素求　其他元素　的过程叫做解三角形.
【例2】　（链接教材P43例5、P44例6）（1）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝，则C＝（　C　）
A. B. C. D.
解析：（1）因为a＝2，b＝3，c＝，所以cos C＝＝＝.因为C∈（0，π），所以C＝.故选C.
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a∶b∶c＝4∶5∶6，则其最大内角的余弦值为（　A　）
A. B.
C. D.
解析：（2）根据题意，设a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0，且最大角为C，所以cos C＝＝＝.故选A.
【规律方法】
已知三边求解三角形的方法
（1）已知三角形的三边求角时，可利用余弦定理求解；
（2）若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解.在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角.
训练2　（1）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝3，b＝，c＝7，则A＋C的值为（　C　）
A. B.
C. D.
解析：（1）在△ABC中，由余弦定理的推论得cos B＝＝＝，又0＜B＜π，所以B＝，所以A＋C＝.故选C.
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－b2＝c2－bc，则A＝（　C　）
A.135° B.60°或120°
C.45° D.135°或45°
解析：（2）a2－b2＝c2－bc，由余弦定理的推论得cos A＝＝，故A＝45°.故选C.
（3）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝3，B＝30°，解这个三角形.
（3）解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，
即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.
当c＝3时，cos A＝＝－，
因为0°＜A＜180°，所以A＝120°，
故C＝180°－120°－30°＝30°；
当c＝6时，cos A＝＝，
因为0°＜A＜180°，
所以A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°.
综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.
提能点｜判断三角形的形状
问题3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？
提示：A为直角 a2＝b2＋c2；
A为锐角 b2＋c2＞a2（前提是b，c是两个较小边）；
A为钝角 b2＋c2＜a2.
【例3】　在△ABC中，若cos A－cos B＋＝0，则△ABC的形状是（　　）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
解析：D　由cos A－cos B＋＝0，得a－ccos B＝b－ccos A，由余弦定理的推论得a－c·＝b－c·，化简得＝.当a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2时，△ABC为直角三角形；当a2＋b2－c2≠0时，a＝b，则△ABC为等腰三角形.故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.
【规律方法】
判断三角形形状的两条思考路线
（1）先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；
（2）先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
训练3　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是（　　）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
解析：D　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即（b－c）2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
1.在△ABC中，AC＝2AB＝4，cos A＝，则BC＝（　　）
A.2 B.3
C. D.4
解析：B　由已知及余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋16－2×2×4×＝18.故BC＝3.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝1，c＝2，则A＝（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.75°
解析：C　由余弦定理的推论得cos A＝＝＝，又A为△ABC的内角，所以A＝60°.
3.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝bcos A，则△ABC一定是（　　）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析：C　由余弦定理有c＝b·，整理得b2＝a2＋c2，故△ABC一定是直角三角形.故选C.
4.在△ABC中，已知b＝，c＝，B＝30°，解这个三角形.
解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得（）2＝a2＋（）2－2a××cos 30°，
即a2－3a＋10＝0，解得a＝或a＝2.
当a＝时，A＝30°，C＝120°；
当a＝2时，a2＝20＝b2＋c2，所以该三角形为直角三角形，且A＝90°，C＝60°.
课堂小结
1.理清单 （1）余弦定理及推论； （2）利用余弦定理解三角形； （3）应用余弦定理判断三角形的形状. 2.应体会 在解三角形的过程中，余弦定理及推论可以做到“知三求一”，体现了转化与化归、方程的思想方法. 3.避易错 三角形的隐含条件，如内角和为180°，两边之和大于第三边.
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos A＝，b＝3，c＝5，则a＝（　　）
A.3 B.4
C. D.2
解析：C　由余弦定理，得a＝＝.故选C.
2.若在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，6a＝4b＝3c，则cos B＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：D　由6a＝4b＝3c，得c＝2a，b＝a，∴cos B＝＝＝.
3.在△ABC中，cos B＝（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　　）
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析：A　cos B＝，由余弦定理得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形.
4.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，＝，则＝（　　）
A. B.2
C. D.
解析：B　因为＝，所以a＝b，由余弦定理得（b）2＝b2＋c2－2cbcos ，所以c＝2b（负值舍去），即＝2.故选B.
5.〔多选〕设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b＜c，则（　　）
A.b＝2 B.b＝4
C.B＝60° D.B＝30°
解析：AD　由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 （b－2）（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2，又a＝2，cos A＝，所以B＝A＝30°.故选A、D.
6.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，且b＝a，则下列关系可能成立的是（　　）
A.a＝c B.b＝c
C.2a＝c D.a2＋b2＝c2
解析：ACD　由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝，又0°＜A＜180°，得A＝30°，联立解得c＝2a或c＝a.当c＝2a时，cos B＝＝＝，则B＝60°，此时△ABC为直角三角形，所以A、C、D可能成立.
7.在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB＝　1　.
解析：在△ABC中，因为A＝60°，AC＝2，BC＝，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，化简得x2－2x＋1＝0，所以x＝1，即AB＝1.
8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝　　.
解析：因为b2＝ac，且c＝2a，得b2＝2a2，由余弦定理的推论得cos B＝＝＝.
9.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝　　.
解析：由题意得，a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝.
10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C＝，a＝2，b＝2，求c.
解：因为sin C＝，且0＜C＜π，所以C＝或C＝.
当C＝时，cos C＝，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，所以c＝2.
当C＝时，cos C＝－，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝28，所以c＝2.综上所述，c的值为2或2.
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2＋c2－b2）tan B＝ac，则角B的大小为（　　）
A. B.
C.或 D.或
解析：C　因为（a2＋c2－b2）tan B＝ac，所以＝＝cos B，即cos B·（2sin B－1）＝0，因为cos B≠0，所以sin B＝，又因为B∈（0，π），所以B＝或B＝.故选C.
12.兴化千岛菜花风景区素有“全国最美油菜花海”之称，以千岛样式形成的垛田景观享誉全国，与享誉世界的普罗旺斯薰衣草园、荷兰郁金香花海、京都樱花并称，跻身全球四大花海之列.若将每个小岛近似看成正方形，在2×3正方形方格中，A，B，C三位游客所在位置如图所示，则∠ABC的值为（　　）
A. B.
C. D.
解析：B　如图，连接AC，不妨设小正方形方格边长为1，则｜AB｜＝，｜BC｜＝，｜AC｜＝，在△ABC中，由余弦定理的推论得cos∠ABC＝＝，又0＜∠ABC＜π，所以∠ABC＝.故选B.
13.已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且（a＋b）∶（b＋c）∶（a＋c）＝12∶13∶15，则此三角形的最大角与最小角之和为（　　）
A. B.
C. D.
解析：B　不妨设a＋b＝12k，则b＋c＝13k，a＋c＝15k，k＞0，解得a＝7k，b＝5k，c＝8k，所以此三角形的最大角与最小角分别为角C和角B.由余弦定理的推论可得cos A＝＝＝，又A∈（0，π），所以A＝，所以C＋B＝π－A＝.故选B.
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos A＝，a＝4，6b＝5c，求b的值.
解：由6b＝5c，∴b＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得16＝c2＋c2－2××c×，
∴c2＝36，∴c＝6（负值舍去），∴b＝×6＝5.
15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若＝－3.
（1）求A；
（2）若b＋c＝2a，证明：△ABC为等边三角形.
解：（1）因为＝－3，
所以a2－（b＋c）2＝－3bc，即a2－b2－c2－2bc＝－3bc，
所以a2＝b2＋c2－bc，
由余弦定理的推论得cos A＝＝.
因为0＜A＜π，所以A＝.
（2）证明：由（1）得a2＝b2＋c2－bc.
将2a＝b＋c代入上式，得＝b2＋c2－bc，整理得（b－c）2＝0，所以b＝c.
又因为A＝，所以△ABC为等边三角形.
1 / 16.4.3　余弦定理、正弦定理
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系（逻辑推理）. 2.掌握余弦定理、正弦定理及其推论，会利用它们求解三角形中的边角问题（数学运算）. 3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题（数学建模）.
第一课时　余弦定理
知识点一｜余弦定理的推导
问题1　（1）在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
（2）在问题（1）的探究成果中，若C＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？
（3）类比问题（1）的推理过程，请分别写出用b，c和A表示a以及用a，c和B表示b的相应的表达式.
【知识梳理】
余弦定理
文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边　　　　　　减去这两边与它们夹角的余弦的　　　　　　
公式表达 a2＝　　　　　　　　　　　　　　　，b2＝　　　　　　　　　　　　　　　，c2＝　　　　　　　　　　　　　　　　
　　提醒：（1）适用范围：任意三角形；（2）结构特征：“平方”“夹角”“余弦”.
知识点二｜已知两边及一角解三角形
【例1】　（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝3，c＝2，A＝30°，则a＝　　　　；
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝　　　　.
【规律方法】
已知两边及一角解三角形的两种情况
（1）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角；
（2）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解.
训练1　（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，c＝2，A＋C＝，则b＝（　　）
A. B.6
C.7 D.8
（2）已知△ABC中，AB＝，BC＝1，A＝30°，则AC＝　　　　.
知识点三｜已知三边解三角形
问题2　在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何求角A，B，C呢？
【知识梳理】
1.余弦定理的推论
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则cos A＝，cos B＝，cos C＝.
2.解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的　　　　.已知三角形的几个元素求　　　　　　的过程叫做解三角形.
【例2】　（链接教材P43例5、P44例6）（1）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝，则C＝（　　）
A. B.
C. D.
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a∶b∶c＝4∶5∶6，则其最大内角的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.
【规律方法】
已知三边求解三角形的方法
（1）已知三角形的三边求角时，可利用余弦定理求解；
（2）若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解.在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角.
训练2　（1）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝3，b＝，c＝7，则A＋C的值为（　　）
A. B.
C. D.
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－b2＝c2－bc，则A＝（　　）
A.135° B.60°或120°
C.45° D.135°或45°
（3）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝3，B＝30°，解这个三角形.
提能点｜判断三角形的形状
问题3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？
【例3】　在△ABC中，若cos A－cos B＋＝0，则△ABC的形状是（　　）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
【规律方法】
判断三角形形状的两条思考路线
（1）先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；
（2）先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
训练3　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是（　　）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
1.在△ABC中，AC＝2AB＝4，cos A＝，则BC＝（　　）
A.2 B.3
C. D.4
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝1，c＝2，则A＝（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.75°
3.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝bcos A，则△ABC一定是（　　）
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
4.在△ABC中，已知b＝，c＝，B＝30°，解这个三角形.
1.理清单 （1）余弦定理及推论； （2）利用余弦定理解三角形； （3）应用余弦定理判断三角形的形状. 2.应体会 在解三角形的过程中，余弦定理及推论可以做到“知三求一”，体现了转化与化归、方程的思想方法. 3.避易错 三角形的隐含条件，如内角和为180°，两边之和大于第三边.
提示：完成课后作业　第六章　6.4　6.4.3　第一课时
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