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一、解三角形与三角恒等变换的综合问题
【例1】　已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝（a，b）与n＝（cos A，sin B）平行.
（1）求A；
解：（1）因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，
由正弦定理得sin Asin B－sin Bcos A＝0，
又B∈（0，π），所以sin B≠0，所以sin A－cos A＝0，则tan A＝，又A∈（0，π），所以A＝.
（2）若a＝，b＝2，求△ABC的面积.
解：（2）由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，因为a＝，b＝2，A＝，所以7＝4＋c2－2c，解得c＝3或c＝－1（舍），
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×3×＝.
【规律方法】
对于此类问题，大多是边角互化后基于三角形内角和定理（A＋B＋C＝π）展开的，一般是通过正弦、余弦定理边化角，求得相应的角或者寻找相应的角之间的关系（此时往往需要用到三角形内角和定理替换角，达到减元的目的），进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个角的三角函数问题，从而求解.
训练1　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝（　　）
A.　　　　　　　　　B.
C. D.
解析：C　在△ABC中，由正弦定理＝＝，及acos B－bcos A＝c，得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C，即sin（A－B）＝sin C，又C＝，所以sin（A－B）＝sin C＞0，所以0＜A－B＜π，所以A－B＝C或A－B＝π－C.易知A＋B＝，当A－B＝C＝时，A＝，B＝；当A－B＝π－C＝时，A＝，B＝0，不合题意，舍去.综上，B＝.故选C.
二、解三角形与三角函数的综合问题
【例2】　已知函数f（x）＝3sin（2x＋）.
（1）求f（x）的单调递增区间；
解：（1）由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（＋）＝－，B＝2A，a＝3，求c.
解：（2）由f（＋）＝3sin（A＋π）＝－，得sin A＝.
因为B＝2A＜π，所以A为锐角，所以cos A＝.
由正弦定理，得＝，
从而b＝·sin 2A＝·2sin Acos A＝6cos A＝4.
易得cos B＝cos 2A＝1－2sin2A＝－，
结合余弦定理的推论，cos B＝，
得－＝，解得c＝（负值已舍去）.
【规律方法】
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤
（1）转化：正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边角关系合理地将问题转化为三角函数的问题；
（2）用定理、公式、性质：利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式等进行三角形中边角关系的互化；
（3）得结论：利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数解析式、角、三角函数值或讨论三角函数的基本性质等.
训练2　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设f（x）＝sin（x＋B）＋cos（x＋B）tan C，且f（）＝－.
（1）求角A；
解：（1）f（x）＝＝＝＝－.
∵f（）＝－，∴－＝－，∴sin（－A）＝1.
又0＜A＜π，∴－＜－A＜，∴－A＝，∴A＝.
（2）若△ABC的面积为，且sin B＋sin C＝，求a的值.
解：（2）∵△ABC的面积S＝bcsin A＝bc·＝，∴bc＝4，
设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理知＝＝＝2R，
sin B＝，sin C＝，a＝R，sin B＋sin C＝ b＋c＝R，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos ，
∴a2＝（b＋c）2－3bc，
∴3R2＝6R2－12，∴R＝2，∴a＝2.
三、解三角形中的中线问题
【例3】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcos ＝asin B.
（1）求A；
解：（1）∵cos ＝cos（－）＝sin ，∴bsin ＝asin B，
由正弦定理得sin Bsin ＝sin Asin B，
∵sin B≠0，∴sin ＝sin A，
∴sin ＝2sin cos ，∵A∈（0，π），∈（0，），∴sin ≠0，得cos ＝，即＝，
∴A＝.
（2）若a＝，·＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长.
解：（2）∵·＝3，∴bccos（π－A）＝3，得bc＝6，
由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bccos A＝13，
∵＝（＋），
∴｜｜2＝（＋）2＝（c2＋b2＋2bccos A）＝，
∴｜｜＝，即AD的长为.
【规律方法】
求解三角形中线问题的常用方法
（1）中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2（BD2＋AD2）；
（2）向量法：＝（b2＋c2＋2bccos A）.
训练3　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足asin B＝bcos A.
（1）求角A的大小；
解：（1）由asin B＝bcos A及正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos A，
因为A，B∈（0，π），则sin B＞0，可得sin A＝cos A＞0，
则tan A＝，因此A＝.
（2）若BC边上的中线AD＝，且c＝4，求b的值.
解：（2）因为＝（＋），
所以2＝＋，所以4＝（＋）2＝＋＋2·，
即28＝c2＋b2＋2bccos∠BAC＝c2＋b2＋bc，
即b2＋4b－12＝0，解得b＝2（负值舍去）.
四、解三角形中的角平分线问题
【例4】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝，b＝2，b2＋c2－a2＝bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE＝（　　）
A. B.
C.2 D.3
解析：A　∵b2＋c2－a2＝bc，∴cos ∠BAC＝＝，∵B＝，∴∠BAC∈（0，） ，∴∠BAC＝，∴C＝，∴＝，∴c＝×＝2.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝，∴∠AEB＝π－－＝，∴＝，∴AE＝＝×sin ＝×＝.
【规律方法】
求解三角形中角平分线问题的常用方法
在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c：
（1）利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD；
（2）内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则＝；
（3）等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC AD＝（角平分线长公式）.
训练4　在△ABC中，AB＝2，AC＝4，角A为钝角，△ABC的面积为2.若∠BAC的平分线与BC交于点E，求AE的长.
解：∵AB＝2，AC＝4，△ABC的面积为2，
∴S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×2×4×sin∠BAC＝2，
∴sin∠BAC＝，又∠BAC为钝角，
∴∠BAC＝，
∵AE为∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝，
∵S△ABC＝S△ABE＋S△ACE，
∴AB·AE·sin＋AC·AE·sin＝2，
即×2AE×＋×4AE×＝2，
∴AE＝.
五、解三角形中的最值（范围）问题
【例5】　在△ABC中，a2－ac＋c2＝b2.
（1）求B的大小；
解：（1）由a2－ac＋c2＝b2及余弦定理得2accos B＝ac，所以cos B＝，
又B∈（0，π），所以B＝.
（2）求cos A＋cos C的取值范围.
解：（2）因为B＝，所以cos A＋cos C＝cos A＋cos（－A）＝sin A＋cos A＝sin（A＋），
因为0＜A＜，所以A＋∈（，π），
所以sin（A＋）∈（0，1]，
所以cos A＋cos C∈（0，1]，
故cos A＋cos C的取值范围为（0，1].
【规律方法】
解三角形中的最值（范围）问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值（范围）.
训练5　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝3acos A，若S为△ABC的面积，则的最小值为　2　.
解析：由题意及正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝3sin Acos A，即sin（B＋C）＝3sin Acos A，而A＋B＋C＝π，故sin A＝3sin Acos A，又sin A≠0，则cos A＝，故sin A＝，而a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，S＝bcsin A＝，所以＝≥＝2，当且仅当b＝c时，等号成立，故的最小值为2.
1.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4（＋1），且sin B＋sin C＝sin A，则a＝（　　）
A. B.2
C.4 D.2
解析：C　由题知周长为a＋b＋c＝4（＋1）①，∵sin B＋sin C＝sin A，由正弦定理得b＋c＝a②，∴由①②可解得a＝4.故选C.
2.在△ABC中，BC＝3，AC＝5，＜B＜π，则边AB的取值范围是（　　）
A.（2，8） B.（1，4）
C.（4，＋∞） D.（2，4）
解析：D　令△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，依题意，5－3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B为钝角，所以cos B＝＜0，a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜4，所以c的取值范围即AB的取值范围是（2，4）.故选D.
3.已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为　　.
解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝.在△ABC中，AB＝1，BD＝＝2，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos＝3，因此AD＝.
4.在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，D为BC上一点，AD为∠BAC的角平分线，则AD＝　　.
解析：由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD得，×2×3×sin 120°＝×2AD×sin 60°＋×3AD×sin 60°，解得AD＝.
课堂小结
1.理清单 （1）解三角形与三角恒等变换、三角函数的综合问题； （2）解三角形中的中线与角平分线问题； （3）解三角形中的最值（范围）问题. 2.应体会 解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，建立未知量的代数方程或三角方程.体现了数形结合、转化与化归的思想方法. 3.避易错 求三角形中有关最值与范围时易忽视三角形的内角范围.
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为（　　）
A.5 B.6
C.7 D.7.5
解析：A　由余弦定理的推论，得b·＋a·＝c2 c＝1，即△ABC的周长为5.
2.在△ABC中，BC＝3，AB＝7，C＝π，则AB边上的高为（　　）
A. B.
C. D.
解析：B　因为BC＝3，AB＝7，C＝π，所以由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosπ，即49＝AC2＋9＋3AC，解得AC＝5或AC＝－8（舍去），设AB边上的高为h，则AB·h＝AC·BC·sin C，即7h＝3×5× h＝.故选B.
3.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC的形状是（　　）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
解析：A　∵＝，∴由正弦定理得＝，整理得acos A＝bcos B，由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.当A＋B＝时，C＝，此时△ABC为直角三角形，有ccos B＝a，则a－ccos B＝0，分母无意义，故舍去，∴A＝B，此时△ABC为等腰三角形.
4.已知在△ABC中，A＝，BC＝3，则下列各式成立的是（　　）
A.AC＝sin B
B.AC＝2sin B
C.AB＝sin B＋3cos B
D.AB＝3sin B＋cos B
解析：C　根据正弦定理，得＝＝，所以AC＝sin B×＝2sin B，AB＝sin（－B）×＝3cos B＋sin B.故选C.
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则＋的最大值为（　　）
A.8 B.6
C.3 D.4
解析：D　因为BC边上的高为a，所以S△ABC＝a×a＝bcsin A，所以a2＝2bcsin A，由余弦定理得2bcsin A＝b2＋c2－2bccos A，整理得＝2sin A＋2cos A，即＋＝4sin（A＋）.因为A∈（0，π），所以A＋∈（，），所以当A＋＝，即A＝时，4sin（A＋）有最大值，且最大值为4，所以＋的最大值为4.故选D.
6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos∠ADB＝（　　）
A.－ B.
C. D.±
解析：B　因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3，a＝CB＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，所以112＝9c2＋c2－2×3c·c·，解得c＝4.在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.因为b＞c，所以B＞C.又因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB＜∠ADC，所以∠ADB为锐角，所以cos∠ADB＝.故选B.
7.〔多选〕在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cos∠BAC＝，以下结论正确的是（　　）
A.AB＝8 B.＝
C.AB＝6 D.△ABD的面积为
解析：BCD　如图所示，因为AD是角平分线，设∠CAD＝∠DAB＝α，则∠BAC＝2α，根据二倍角公式得cos 2α＝2cos2α－1＝，且0＜α＜，所以cos α＝，在Rt△ACD中，AD＝1，所以AC＝ADcos α＝，在Rt△ACB中，AB＝＝×8＝6，故A错误，C正确；根据角平分线定理，＝＝×＝，故B正确；因为cos α＝，且0＜α＜，所以sin α＝，所以S△ABD＝AD·AB·sin α＝×6×＝，故D正确.故选B、C、D.
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝bc，则b＝　2　.
解析：因为acos B＋bcos A＝bc，所以由正弦定理得，sin Acos B＋sin Bcos A＝bsin C，则sin（A＋B）＝sin C＝bsin C，又sin C≠0，所以b＝1，即b＝2.
9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C＝sin2C，则＝　2　，角C的最大值为　　.
解析：∵2sin Asin Bcos C＝sin2C，∴2abcos C＝c2 a2＋b2－c2＝c2 ＝2，∴cos C＝＝≥，当且仅当a＝b时取等号.∵0＜C＜π，∴0＜C≤，即角C的最大值为.
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝6，1≤b≤4，则sin A的取值范围为　［，1］　.
解析：∵C＝，a＝6，1≤b≤4，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab＝36＋b2－6b＝（b－3）2＋27，∴c2＝（b－3）2＋27∈[27，31]，∴c∈[3，]，∴由正弦定理＝，可得sin A＝＝＝∈［，1］.
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcos C＋c＝2a.
（1）求角B的大小；
（2）若cos A＝，求的值.
解：（1）∵2bcos C＋c＝2a，
由正弦定理，得2sin Bcos C＋sin C＝2sin A，
又∵A＋B＋C＝π，∴sin A＝sin（B＋C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴2sin Bcos C＋sin C＝2（sin Bcos C＋cos Bsin C），
即sin C＝2cos Bsin C.
∵0＜C＜π，∴sin C≠0，∴cos B＝.
∵0＜B＜π，∴B＝.
（2）在△ABC中，B＝，cos A＝，
∴sin A＝，
∴sin C＝sin（A＋B）
＝sin Acos B＋cos Asin B＝.
∴＝＝.
12.已知a＝（sin x，－cos x），b＝（cos x，cos x），f（x）＝a·b.
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）＝且b＝.求a＋c的取值范围.
解：（1）因为a＝（sin x，－cos x），b＝（cos x，cos x），
则f（x）＝a·b＝sin xcos x－cos2x＝sin 2x－cos 2x－＝sin（2x－）－，
由2x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），
即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）.
（2）由f（B）＝，得sin（2B－）＝1，又2B－∈（－，），即2B－＝.
所以B＝，又b＝，
由正弦定理＝＝，得a＝2sin A，c＝2sin C，
即a＋c＝2sin A＋2sin C＝2sin A＋2sin（－A）＝2cos（A－），
又0＜A＜，所以－＜A－＜，
所以2cos（A－）∈（，2].
即a＋c的取值范围为（，2].
13.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acos C－ccos B＝bcos C.
（1）求角C；
（2）若∠ACB的平分线交AB于点D，CD＝4，△ABC的面积为18，求c的值.
解：（1）由题意及正弦定理得2sin Acos C－sin C·cos B＝sin Bcos C，
所以2sin Acos C＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin（B＋C）＝sin A，易知sin A≠0，
所以cos C＝，又C∈（0，π），所以C＝.
（2）由S△ABC＝absin＝ab＝18，
得ab＝72，
因为CD平分∠ACB，∠ACB＝，所以∠ACD＝∠BCD＝，
则S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝b·CDsin＋a·CDsin＝×4×（a＋b）×＝（a＋b）＝18，
所以a＋b＝18，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos＝（a＋b）2－3ab＝182－3×72＝108，
所以c＝6.
1 / 1一、解三角形与三角恒等变换的综合问题
【例1】　已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝（a，b）与n＝（cos A，sin B）平行.
（1）求A；
（2）若a＝，b＝2，求△ABC的面积.
【规律方法】
对于此类问题，大多是边角互化后基于三角形内角和定理（A＋B＋C＝π）展开的，一般是通过正弦、余弦定理边化角，求得相应的角或者寻找相应的角之间的关系（此时往往需要用到三角形内角和定理替换角，达到减元的目的），进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个角的三角函数问题，从而求解.
训练1　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝（　　）
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
二、解三角形与三角函数的综合问题
【例2】　已知函数f（x）＝3sin（2x＋）.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（＋）＝－，B＝2A，a＝3，求c.
【规律方法】
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤
（1）转化：正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边角关系合理地将问题转化为三角函数的问题；
（2）用定理、公式、性质：利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式等进行三角形中边角关系的互化；
（3）得结论：利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数解析式、角、三角函数值或讨论三角函数的基本性质等.
训练2　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设f（x）＝sin（x＋B）＋cos（x＋B）tan C，且f（）＝－.
（1）求角A；
（2）若△ABC的面积为，且sin B＋sin C＝，求a的值.
三、解三角形中的中线问题
【例3】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcos ＝asin B.
（1）求A；
（2）若a＝，·＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长.
【规律方法】
求解三角形中线问题的常用方法
（1）中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2（BD2＋AD2）；
（2）向量法：＝（b2＋c2＋2bccos A）.
训练3　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足asin B＝bcos A.
（1）求角A的大小；
（2）若BC边上的中线AD＝，且c＝4，求b的值.
四、解三角形中的角平分线问题
【例4】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝，b＝2，b2＋c2－a2＝bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE＝（　　）
A. B.
C.2 D.3
【规律方法】
求解三角形中角平分线问题的常用方法
在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c：
（1）利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD；
（2）内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则＝；
（3）等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC AD＝（角平分线长公式）.
训练4　在△ABC中，AB＝2，AC＝4，角A为钝角，△ABC的面积为2.若∠BAC的平分线与BC交于点E，求AE的长.
五、解三角形中的最值（范围）问题
【例5】　在△ABC中，a2－ac＋c2＝b2.
（1）求B的大小；
（2）求cos A＋cos C的取值范围.
【规律方法】
解三角形中的最值（范围）问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值（范围）.
训练5　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝3acos A，若S为△ABC的面积，则的最小值为　　　　.
1.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4（＋1），且sin B＋sin C＝sin A，则a＝（　　）
A.　　 　 B.2
C.4　　　 D.2
2.在△ABC中，BC＝3，AC＝5，＜B＜π，则边AB的取值范围是（　　）
A.（2，8） B.（1，4）
C.（4，＋∞） D.（2，4）
3.已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为　　　　.
4.在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，D为BC上一点，AD为∠BAC的角平分线，则AD＝　　　　.
1.理清单 （1）解三角形与三角恒等变换、三角函数的综合问题； （2）解三角形中的中线与角平分线问题； （3）解三角形中的最值（范围）问题. 2.应体会 解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，建立未知量的代数方程或三角方程.体现了数形结合、转化与化归的思想方法. 3.避易错 求三角形中有关最值与范围时易忽视三角形的内角范围.
提示：完成课后作业　第六章　培优课
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