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一、向量线性运算中的最值（范围）问题
【例1】　如图，延长线段AB到点C，使得＝2，D点在线段BC上运动，点O 直线AB，满足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是（　　）
A.［－，0］ B.［－2，］ C.［－，0］ D.[－1，1]
解析：C　不妨设AB＝2BC＝2，BD＝x，x∈[0，1]，由平面向量三点共线可知，＝＋，∴＝－，∴λ＝－，μ＝，x∈[0，1]，则λμ＝－＝－（x2＋2x），∴λμ∈［－，0］.
【规律方法】
利用向量的概念及线性运算，将所求问题转化为关于参数的等式或不等式，然后利用函数的性质或基本不等式求最值（范围）.
训练1　如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n（m，n均为正实数），则＋的最小值为　　.
解析：连接AC（图略），因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，所以＝＋＝－，所以＝m＋n＝m＋n（－）＝（m－n）＋n，由P，B，C三点共线得，m－n＋n＝m＋n＝1（m，n＞0），所以＋＝（＋）（m＋n）＝＋＋≥＋2＝＋＝，当且仅当3n2＝4m2时，取等号，即＋的最小值为.
二、向量数量积的最值（范围）问题
【例2】　已知⊥，｜｜＝，｜｜＝t，若P点是△ABC所在平面内一点，且＝＋，则·的最大值等于　13　.
解析：以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（，0），C（0，t），＝（1，0）＋4（0，1）＝（1，4），则P点坐标为（1，4），所以＝（－1，－4），＝（－1，t－4）.因此·＝1－－4t＋16＝17－（＋4t），因为＋4t≥2＝4，当且仅当＝4t，即t＝时取等号，所以（·）max＝13.
【规律方法】
若题目中信息明显，如在直角三角形、等腰三角形、矩形、平行四边形等几何图形中，则可通过建立平面直角坐标系，将平面向量数量积的最值问题，转化为函数最值问题，如对勾函数等函数的最值问题，最后用基本不等式等方法求解.
训练2　已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·（－）的最大值为　9　.
解析：根据题意，以C为坐标原点，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图，∴A（0，3），B（4，0），C（0，0），∴＝（4，－3），设＝λ（λ∈[0，1]），则＝＋＝＋λ＝（0，3）＋（4λ，－3λ）＝（4λ，3－3λ），λ∈[0，1]，∴·（－）＝·＝（4λ，3－3λ）·（0，3）＝9－9λ∈[0，9]，∴·（－）的最大值为9.
三、向量模的最值（范围）问题
【例3】　已知｜a＋b｜＝2，向量a，b的夹角为，则｜a｜＋｜b｜的最大值为　　.
解析：将｜a＋b｜＝2两边平方并化简得（｜a｜＋｜b｜）2－｜a｜｜b｜＝4，由基本不等式得｜a｜｜b｜≤（）2＝，故（｜a｜＋｜b｜）2≤4，即（｜a｜＋｜b｜）2≤，即｜a｜＋｜b｜≤，当且仅当｜a｜＝｜b｜＝时，等号成立，所以｜a｜＋｜b｜的最大值为.
【规律方法】
求向量模的最值（范围）一般要利用公式｜a｜＝ 转化为函数或不等式求解，或利用不等式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜求解.
训练3　如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB＝8，BC＝4，CD＝4.点P在线段AD上运动，则｜＋｜的取值范围是（　　）
A.[6，4＋4] B.[4，8] C.[4，8] D.[6，12]
解析：C　以点A为原点，AB所在的直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系（图略），则由题意易得A（0，0），B（8，0），D（2，2），设＝λ，λ∈[0，1]，则易得点P的坐标为（2λ，2λ），则＋＝（－2λ，－2λ）＋（8－2λ，－2λ）＝（8－4λ，－4λ），则｜＋｜＝＝8＝8×，又因为λ∈[0，1]，所以｜＋｜＝8×∈[4，8].故选C.
四、向量夹角的最值（范围）问题
【例4】　非零向量a，b满足2a·b＝a2b2，｜a｜＋｜b｜＝2，则a与b的夹角的最小值为　　.
解析：设a与b的夹角为θ，由2a·b＝a2b2知，2｜a｜｜b｜cos θ＝a2b2.由基本不等式知，cos θ＝｜a｜·｜b｜≤（）2＝，当且仅当｜a｜＝｜b｜＝1时等号成立，即cos θ≤，又θ∈[0，π]，故θ∈［，π］.故a与b的夹角的最小值是.
【规律方法】
求向量夹角的最值（范围）问题一般转化为求向量夹角θ的余弦值cos θ＝的最值（范围）问题.
训练4　已知向量a，b满足a＝（t，2－t），｜b｜＝1，且（a－b）⊥b，则a，b夹角θ的最小值为（　　）
A. B.C. D.
解析：C　因为（a－b）⊥b，所以（a－b）·b＝0，a·b＝b2，cos θ＝＝＝＝＝，又因为2t2－4t＋8＝2[（t－）2＋2]≥2[（－）2＋2]＝4，所以0＜cos θ≤，所以θ的最小值为.
1.已知向量m＝（a－1，1），n＝（2－b，2）（a＞0，b＞0），若m∥n，则m·n的取值范围是（　　）
A.[2，＋∞） B.（0，＋∞）
C.[2，4） D.（2，4）
解析：C　因为m∥n，所以2a－2＝2－b，所以2a＋b＝4，所以b＝4－2a＞0，所以0＜a＜2，所以m·n＝2a＋b－ab＝4－ab＝4－a（4－2a）＝2a2－4a＋4＝2（a－1）2＋2∈[2，4）.
2.已知向量a＝（1，0），b＝（cos θ，sin θ），θ∈（－，），则｜a＋b｜的取值范围是（　　）
A.（0，2] B.[0，2]
C.[，2] D.（，2]
解析：D　因为a＋b＝（1＋cos θ，sin θ），所以｜a＋b｜＝＝＝，因为θ∈（－，），所以cos θ∈（0，1]，所以2＋2cos θ∈（2，4]，所以｜a＋b｜的取值范围是（，2].
3.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量.若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，则t的取值范围是　∪（3，＋∞）　.
解析：因为a，b的夹角为锐角，所以a·b＞0，且a，b不共线，当a·b＞0时，（3e1＋2e2）·（te1＋2e2）＝3t＋（6＋2t）e1·e2＋4＝3t＋（6＋2t）＋4＞0，得t＞－；当a，b共线时，存在唯一的实数λ，使a＝λb，即3e1＋2e2＝λ（te1＋2e2），所以解得所以当t≠3时，a，b不共线，综上，t的取值范围为t＞－且t≠3，即（－，3）∪（3，＋∞）.
4.设向量＝（1，x），＝（2，x），则cos＜，＞的最小值为　　.
解析：cos＜，＞＝＝，令2＋x2＝t（t≥2），则x2＝t－2，所以cos＜，＞＝＝＝，当＝，即t＝4，x2＝2时，cos＜，＞取得最小值，且最小值为.
课堂小结
1.理清单 （1）向量线性运算中的最值（范围）问题； （2）向量数量积的最值（范围）问题； （3）向量模的最值（范围）问题； （4）向量夹角的最值（范围）问题. 2.应体会 解决平面向量中的最值（范围）问题，一般把问题转化为关于某一自变量的函数，根据函数的性质以及自变量的范围，确定函数的值域，或者利用三角函数的有界性、基本不等式，来确定最值（范围）. 3.避易错 易忽视自变量的范围.
1.已知向量a＝（1，0），b＝（4，m），若｜2a－b｜不超过3，则m的取值范围为（　　）
A.[－，] B.[－，]
C.[－3，3] D.[－5，5]
解析：B　由题意知，2a－b＝（－2，－m），所以｜2a－b｜＝≤3，得4＋m2≤9，即m2≤5，解得－≤m≤，即实数m的取值范围为[－，].故选B.
2.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且（a－2b）·（2a＋b）≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是（　　）
A.［0，］ B.［，］
C.［，π］ D.（，）
解析：C　（a－2b）·（2a＋b）＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3｜a｜｜b｜cos θ－2×16＝－14－3×3×4cos θ≥4，所以cos θ≤－，所以θ∈［，π］.
3.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为（　　）
A.3 B.4
C.5 D.9
解析：D　由图可知x，y均为正数，且x＋y＝1，∴＋＝（＋）（x＋y）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，则＋的最小值为9.
4.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝，AB＝2，BC＝4，AD＝1，点P，Q在线段BC上移动，且PQ＝1，则·的最小值为（　　）
A.1 B.
C. D.
解析：D　如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，
因为AD∥BC，∠ABC＝，AB＝2，AD＝1，所以D（2，）.不妨设P（x，0），Q（x＋1，0）（0≤x≤3），则＝（x－2，－），＝（x－1，－），所以·＝（x－2）（x－1）＋3＝x2－3x＋5＝（x－）2＋，所以当x＝时，·取得最小值.
5.已知｜a｜＝2｜b｜≠0，且关于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是（　　）
A.［0，］ B.［，π］
C.［，］ D.［，π］
解析：B　由于｜a｜＝2｜b｜≠0，且关于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0有实根，则｜a｜2－4a·b≥0，设向量a，b的夹角为θ，cos θ＝≤＝，所以θ∈［，π］.故选B.
6.〔多选〕如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，＝λ＋μ，则下列结论正确的是（　　）
A.当M为线段AD的中点时，λ＋μ＝
B.λμ的最大值为
C.μ的取值范围为[0，1]
D.λ＋μ的取值范围为［，2］
解析：ABC　以B为原点，，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，设BC＝2，则B（0，0），E（0，1），D（2，2），设M（t，2），则0≤t≤2，因为＝λ＋μ，所以（t，2）＝λ（0，1）＋μ（2，2）＝（2μ，λ＋2μ），所以2μ＝t，λ＋2μ＝2，即λ＝2－t，μ＝，对于选项A，因为M为线段AD的中点，所以t＝1，故λ＋μ＝2－＝，A正确；对于选项B，λμ＝（2－t）＝t－t2，0≤t≤2，当t＝1时，λμ取最大值为，B正确；对于选项C，因为μ＝，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，μ的取值范围为[0，1]，C正确；对于选项D，λ＋μ＝2－，0≤t≤2，所以1≤λ＋μ≤2，所以λ＋μ的取值范围为[1，2]，D错误.故选A、B、C.
7.〔多选〕在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且EF＝5，设＝λ，＝μ，则（　　）
A.≤λ≤1，≤μ≤1
B.λ＋μ为定值
C.·的最小值为50
D.｜＋｜的最大值为
解析：AC　对于A，当F和C重合时，BE＝1，此时λ取最小值，μ取到最大值1；当E和C重合时，DF＝3，此时μ取最小值，λ取到最大值1，A正确；对于B，当F和C重合时，λ＝，μ＝1，λ＋μ＝；当E和C重合时，λ＝1，μ＝，λ＋μ＝，B错误；对于C，·＝（＋）·（＋）＝（＋λ）·（＋μ）＝·＋λ·＋μ·＋λμ·＝λ·＋μ·＝λ＋μ＝36λ＋64μ，由EF＝5，得＝25，即（＋）2＝25，即[（1－λ）＋（μ－1）]2＝25，即36（1－λ）2＋64（μ－1）2＝25，设6（λ－1）＝5cos θ，8（μ－1）＝5sin θ，θ∈［π，］，则36λ＋64μ＝36×（＋1）＋64×（＋1）＝100＋30cos θ＋40sin θ＝100＋50sin（θ＋φ）（φ为辅助角tan φ＝），当sin（θ＋φ）＝－1时，36λ＋64μ取到最小值50，即·的最小值为50，C正确；对于D，当μ＝1，λ＝时，＋＝＋＋＝2＋，则｜＋｜＝＝＝＝＞，故D错误.故选A、C.
8.在△ABC中，·（－4）＝0，则cos A的最小值为　　.
解析：在△ABC中，＝－，所以·（－4）＝（－）·（－4）＝－4｜｜2－｜｜2＋5·＝－4｜｜2－｜｜2＋5｜｜·｜｜cos A＝0，在△ABC中，设｜｜＝b，｜｜＝c，则有－4b2－c2＋5bccos A＝0，所以cos A＝≥＝，当且仅当2b＝c时，等号成立.
9.已知平面向量a，b，c满足a·b＝b·c＝c·a＝－1，｜a｜＝1，｜b｜≥2，若c＝xa＋yb，x，y∈R，则x＋y的取值范围是　［－，－1）　.
解析：设a＝（1，0），由a·b＝c·a＝－1，可设b＝（－1，m），c＝（－1，n），因为｜b｜2＝1＋m2≥4 m2≥3，又c＝xa＋yb＝（x－y，my）＝（－1，n），所以而b·c＝1＋mn＝－1 mn＝－2，所以x＋y＝－1＋2y＝－1＋2×＝－1－，又因为m2≥3，所以x＋y∈［－，－1）.
10.如图所示，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，则当与的夹角θ＝　0　时，·的值最大，最大值为　0　.
解析：把，用，，表示出来，然后作数量积，＝＋＝－，＝＋＝＋，则·＝（－）·（＋）＝·－·＋·－｜｜2＝－（＋）－a2＝－·－a2＝a2cos θ－a2（其中θ为与的夹角）.∴当cos θ＝1时，·有最大值0，即当θ＝0（与的方向相同）时，·的值最大，最大值为0.
11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3），B（5，1），P（2，1）.
（1）求｜－｜的值；
（2）若点N是直线OP上的动点，求·的最小值.
解：（1）由题意可知＝（1，2），＝（3，0），∴－＝（－2，2），∴｜－｜＝＝2.
（2）如图所示，易知直线OP为y＝x，不妨设N（2a，a），则·＝（3－2a，3－a）·（5－2a，1－a）＝5a2－20a＋18＝5（a－2）2－2≥－2，当且仅当a＝2，即N（4，2）时，·取得最小值－2.
12.（1）求函数y＝12＋5的最大值；
（2）求＋的最小值.
解：（1）设a＝（12，5），b＝（，），
则｜a｜＝13，｜b｜＝3.
由｜a·b｜≤｜a｜｜b｜，得y＝｜a·b｜≤｜a｜｜b｜＝39，
当且仅当a与b共线时，等号成立，则有12－5＝0，
解得x＝，即当x＝时，ymax＝39.
（2）设a＝（x－2，3），b＝（5－x，1），则｜a｜＝，｜b｜＝，
∴＋＝｜a｜＋｜b｜≥｜a＋b｜.
又∵a＋b＝（3，4），∴｜a＋b｜＝＝5.
∴＋≥5.
∴＋的最小值为5.
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一、向量线性运算中的最值（范围）问题
【例1】　如图，延长线段AB到点C，使得＝2，D点在线段BC上运动，点O 直线AB，满足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是（　　）
A.［－，0］ B.［－2，］
C.［－，0］ D.[－1，1]
【规律方法】
利用向量的概念及线性运算，将所求问题转化为关于参数的等式或不等式，然后利用函数的性质或基本不等式求最值（范围）.
训练1　如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n（m，n均为正实数），则＋的最小值为　　　　.
二、向量数量积的最值（范围）问题
【例2】　已知⊥，｜｜＝，｜｜＝t，若P点是△ABC所在平面内一点，且＝＋，则·的最大值等于　　　　.
【规律方法】
若题目中信息明显，如在直角三角形、等腰三角形、矩形、平行四边形等几何图形中，则可通过建立平面直角坐标系，将平面向量数量积的最值问题，转化为函数最值问题，如对勾函数等函数的最值问题，最后用基本不等式等方法求解.
训练2　已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·（－）的最大值为　　　　.
三、向量模的最值（范围）问题
【例3】　已知｜a＋b｜＝2，向量a，b的夹角为，则｜a｜＋｜b｜的最大值为　　　　.
【规律方法】
求向量模的最值（范围）一般要利用公式｜a｜＝ 转化为函数或不等式求解，或利用不等式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜求解.
训练3　如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB＝8，BC＝4，CD＝4.点P在线段AD上运动，则｜＋｜的取值范围是（　　）
A.[6，4＋4] B.[4，8]
C.[4，8] D.[6，12]
四、向量夹角的最值（范围）问题
【例4】　非零向量a，b满足2a·b＝a2b2，｜a｜＋｜b｜＝2，则a与b的夹角的最小值为　　　　.
【规律方法】
求向量夹角的最值（范围）问题一般转化为求向量夹角θ的余弦值cos θ＝的最值（范围）问题.
训练4　已知向量a，b满足a＝（t，2－t），｜b｜＝1，且（a－b）⊥b，则a，b夹角θ的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
1.已知向量m＝（a－1，1），n＝（2－b，2）（a＞0，b＞0），若m∥n，则m·n的取值范围是（　　）
A.[2，＋∞） B.（0，＋∞）
C.[2，4） D.（2，4）
2.已知向量a＝（1，0），b＝（cos θ，sin θ），θ∈（－，），则｜a＋b｜的取值范围是（　　）
A.（0，2] B.[0，2]
C.[，2] D.（，2]
3.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量.若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，则t的取值范围是　　　　.
4.设向量＝（1，x），＝（2，x），则cos＜，＞的最小值为　　　　.
1.理清单 （1）向量线性运算中的最值（范围）问题； （2）向量数量积的最值（范围）问题； （3）向量模的最值（范围）问题； （4）向量夹角的最值（范围）问题. 2.应体会 解决平面向量中的最值（范围）问题，一般把问题转化为关于某一自变量的函数，根据函数的性质以及自变量的范围，确定函数的值域，或者利用三角函数的有界性、基本不等式，来确定最值（范围）. 3.避易错 易忽视自变量的范围.
提示：完成课后作业　第六章　培优课
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