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章末检测（六）　平面向量及其应用
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若平面向量a与b＝（1，－1）方向相同，且｜a｜＝2，则a＝（　　）
A.（－，） B.（，－）
C.（－2，2） D.（2，－2）
解析：D　因为向量a与b方向相同，且｜a｜＝2，所以a＝λb＝（λ，－λ），λ＞0，所以a＝（2，－2）.故选D.
2.在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AE上靠近E的三等分点，则向量＝（　　）
A.＋ B.－
C.＋ D.－
解析：B　由题可得＝＋＝＋＝－＋×（＋）＝－＋＋＝－.故选B.
3.已知向量a在b上的投影向量为－b，且b＝（1，－1），则a·b＝（　　）
A. B.－
C.－ D.－
解析：D　由题意得·＝·b＝·b＝－b，所以a·b＝－.故选D.
4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，c＝b，则△ABC的面积为（　　）
A.2 B.
C. D.2
解析：C　由余弦定理的推论得cos ＝＝－，因为c＝b，所以b＝2（负值舍去），c＝2，所以S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝.故选C.
5.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（　　）
A.10 海里 B.10 海里
C.20 海里 D.20 海里
解析：B　根据已知条件可知，在△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以C＝45°，由正弦定理，得＝，所以BC＝＝10.故选B.
6.在△ABC中，AB＝AC＝2，点M满足＋3＝0.若·＝1，则｜｜的值为（　　）
A.1 B.
C.2 D.3
解析：C　如图，取BC的中点O，连接AO，∵＋3＝0，即＝3，∴M为BC边上靠近点C的四等分点.∴·＝·（＋）＝·＋·，又AB＝AC，∴AO⊥BC，∴·＝0，又＝，∴·＝·＝｜｜2＝1，∴｜｜＝2.故选C.
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c（sin A－sin C）＝（a－b）（sin A＋sin B），若△ABC的面积为，周长为3b，则AC边上的高为（　　）
A. B.
C. D.2
解析：B　在△ABC中，由正弦定理及c（sin A－sin C）＝（a－b）·（sin A＋sin B），得c（a－c）＝（a－b）（a＋b），即a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理的推论得cos B＝＝，又0＜B＜π，所以B＝，由△ABC的面积为，得acsin B＝ac＝，解得ac＝1，由a2＋c2－b2＝ac，得（a＋c）2－b2＝3ac，由a＋b＋c＝3b，得a＋c＝2b，因此b＝1，设AC边上的高为h，则bh＝，所以h＝.故选B.
8.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…，P10，记Mi＝·（i＝1，2，…，10），则M1＋M2＋…＋M10＝（　　）
A.18 B.180
C.－18 D.－180
解析：B　以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建系，如图所示：
则B2（3，），B3（5，），C3（6，0），易得直线B3C3的方程为y＝－（x－6），设Pi（xi，yi）（i＝1，2，…，10），则有xi＋yi＝6，＝（3，），＝（xi，yi），则Mi＝·＝3xi＋yi＝（xi＋yi）＝18，所以M1＋M2＋…＋M10＝10×18＝180.故选B.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.设a，b是两个非零向量，若b⊥（a－b），则下列结论正确的是（　　）
A.a·b＝｜b｜2 B.｜a｜＝｜a－2b｜
C.a在b上的投影向量为b D.cos＜a，b＞＝
解析：ABC　因为b⊥（a－b），所以b·（a－b）＝b·a－b2＝0，所以a·b＝b2＝｜b｜2，所以选项A正确；因为a·b＝｜b｜2，所以a2＝a2－4a·b＋4b2，所以｜a｜＝｜a－2b｜，所以选项B正确；a在b上的投影向量为·b＝·b＝b，所以选项C正确；由向量数量积的定义可知，a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝｜b｜2，所以cos＜a，b＞＝，所以选项D错误.故选A、B、C.
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（　　）
A.若A＞B，则sin A＞sin B
B.若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解
C.若△ABC为钝角三角形，则a2＋b2＜c2
D.若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为
解析：ABD　对于A选项，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可得＝，所以sin A＞sin B，故A正确；对于B选项，bsin A＝4sin 30°＝2，则bsin A＜a＜b，所以△ABC有两解，故B正确；对于C选项，当△ABC为钝角三角形，且C为钝角时，cos C＝＜0，可得a2＋b2＜c2，若C不为钝角，则得不到a2＋b2＜c2，故C错误；对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得4＝a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，所以S△ABC＝bcsin A＝bc≤，故D正确.
11.若M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是（　　）
A.若＝＋，则M是边BC的中点
B.若＝2－，则M是边BC的中点
C.若＝－－，则点M是△ABC的重心
D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
解析：ACD　对于A，由＝＋，得－＝－，即＝，因此点M是边BC的中点，故A正确；对于B，＝2－，－＝－，∴＝，则点M在边CB的延长线上，∴B不正确；对于C，如图1所示，设BC的中点为D，则＝－－＝＋＝2，由重心性质可知C正确；
对于D，＝x＋y，且x＋y＝，∴＝x＋（－x）·（＋），∴－＝（－x），如图2所示，分别取AB，AC的中点为N，F，则－＝－＝，即点M在过AB中点且平行BC的直线上，即M在上，∴M在△ABC的中位线上，∴△MBC的面积是△ABC面积的，选项D正确.故选A、C、D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝（x，y），b＝（－1，－1），c＝（4，4），且满足a·c＝b·c，则a＝（0，－2）（答案不唯一，满足x＋y＝－2即可）（写出满足条件的一种即可）.
解析：由题意得a·c＝4x＋4y，b·c＝－4－4＝－8，由于a·c＝b·c，所以有x＋y＝－2，取x＝0，y＝－2，得a＝（0，－2）（答案不唯一）.
13.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝　2　.
解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（图略），则由题意得A（0，0），D（0，1），M（，），所以＝（－，－），＝（－，），所以·＝－＝2.
14.在△ABC中，＝，E是线段AD上的动点（与端点不重合），设＝x＋y（x，y∈R），则的最小值是　16　.
解析：因为＝，所以＝，因为＝x＋y，所以＝x＋y，又因为A，D，E三点共线，所以x＋y＝1，x＞0，y＞0，则＝＋＝（＋）（x＋y）＝＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是16.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知向量a，b满足a＝（－1，1），b＝（1，－3）.
（1）若c＝3a＋2b，求向量c的坐标；
（2）求a与b夹角θ的余弦值.
解：（1）∵a＝（－1，1），b＝（1，－3），
∴c＝3a＋2b＝3（－1，1）＋2（1，－3）＝（－1，－3）.
（2）由cos＜a，b＞＝＝＝－，知a与b夹角θ的余弦值为－.
16.（本小题满分15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B＝bcos A.
（1）求角A的大小；
（2）若a＝，且向量m＝（3，sin B）与n＝（2，sin C）共线，求b和c的值.
解：（1）∵asin B＝bcos A，
∴由正弦定理得sin Bsin A＝sin Bcos A，
∵sin B≠0，∴sin A＝cos A，∴tan A＝.
又∵A∈（0，π），∴A＝.
（2）∵A＝，a＝，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝（b＋c）2－3bc＝.
∵向量m＝（3，sin B）与n＝（2，sin C）共线，
∴2sin B＝3sin C，由正弦定理得2b＝3c.
∴b＝，c＝1.
17.（本小题满分15分）如图所示，在平面直角坐标系中，｜｜＝2｜｜＝2，∠OAB＝，＝（－1，）.
（1）求点B，C的坐标；
（2）求证：四边形OABC为等腰梯形.
解：（1）连接OB（图略），设B（xB，yB），
则xB＝｜｜＋｜｜·cos（π－∠OAB）＝，yB＝｜｜·sin（π－∠OAB）＝，
所以＝＋＝（，）＋（－1，）＝（，），
所以B（，），C（，）.
（2）证明：因为＝（，），＝（，），
所以＝3，所以∥，即OC∥AB.
又易知OA与BC不平行，｜｜＝｜｜＝2，
所以四边形OABC为等腰梯形.
18.（本小题满分17分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（b－2c）cos A＋acos B＝0.
（1）求角A；
（2）若a＝2，
①求的值；
②求△ABC周长的范围.
解：（1）因为（b－2c）cos A＋acos B＝0，
即bcos A＋acos B＝2ccos A，
由余弦定理得b·＋a·＝2ccos A，
即c＝2ccos A，所以cos A＝，
又A∈（0，π），所以A＝.
（2）①由正弦定理得＝＝＝＝.
所以＝.
②由余弦定理得4＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc，
所以bc＝.
又b＋c≥2，
所以（b＋c）2≥4·，
即（b＋c）2≤16，所以－4≤b＋c≤4.
又b＋c＞a＝2，所以2＜b＋c≤4.
故4＜a＋b＋c≤6，
即△ABC周长的范围为（4，6].
19.（本小题满分17分）如图，△ABC的顶点是三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的点D，E，F上，岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到B的，岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等，补给站F在靠近岛屿C的BC的三等分点上.设＝a，＝b.
（1）用a，b表示，；
（2）若三个岛屿围成的△ABC的面积为10（＋1）平方千米，且满足＋＝1，求岛屿A和岛屿C之间距离的最小值.
解：（1）由题知＝，点E为AC的中点，＝，
因为＝a，＝b，所以＝＋＝－＋＝a－b，
＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b.
（2）由＋＝1，可得4cos Asin B＋3cos Bsin A＝sin Asin B，
即3cos Asin B＋3cos Bsin A＝sin Asin B－cos Asin B，
可得3sin（A＋B）＝sin B（sin A－cos A），即3sin C＝sin B（sin A－cos A），
设AB＝c，AC＝b，由正弦定理知3c＝b（sin A－cos A）.
因为S△ABC＝bcsin A
＝
＝
＝（1－cos 2A－sin 2A）＝10（＋1），
所以b2＝＝，因为3c＝b（sin A－cos A）＞0，
所以＜A＜π，所以＜2A＋＜，
所以当2A＋＝，即A＝时，b2取得最小值120，即b的最小值为2，
所以岛屿A和岛屿C之间距离的最小值为2千米.
1 / 1章末检测（六）　平面向量及其应用
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若平面向量a与b＝（1，－1）方向相同，且｜a｜＝2，则a＝（　　）
A.（－，） B.（，－）
C.（－2，2） D.（2，－2）
2.在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AE上靠近E的三等分点，则向量＝（　　）
A.＋ B.－
C.＋ D.－
3.已知向量a在b上的投影向量为－b，且b＝（1，－1），则a·b＝（　　）
A. B.－
C.－ D.－
4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，c＝b，则△ABC的面积为（　　）
A.2 B.
C. D.2
5.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（　　）
A.10 海里 B.10 海里
C.20 海里 D.20 海里
6.在△ABC中，AB＝AC＝2，点M满足＋3＝0.若·＝1，则｜｜的值为（　　）
A.1 B.
C.2 D.3
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c（sin A－sin C）＝（a－b）（sin A＋sin B），若△ABC的面积为，周长为3b，则AC边上的高为（　　）
A. B.
C. D.2
8.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…，P10，记Mi＝·（i＝1，2，…，10），则M1＋M2＋…＋M10＝（　　）
A.18 B.180
C.－18 D.－180
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.设a，b是两个非零向量，若b⊥（a－b），则下列结论正确的是（　　）
A.a·b＝｜b｜2 B.｜a｜＝｜a－2b｜
C.a在b上的投影向量为b D.cos＜a，b＞＝
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（　　）
A.若A＞B，则sin A＞sin B
B.若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解
C.若△ABC为钝角三角形，则a2＋b2＜c2
D.若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为
11.若M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是（　　）
A.若＝＋，则M是边BC的中点
B.若＝2－，则M是边BC的中点
C.若＝－－，则点M是△ABC的重心
D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝（x，y），b＝（－1，－1），c＝（4，4），且满足a·c＝b·c，则a＝　　　　（写出满足条件的一种即可）.
13.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝　　　　.
14.在△ABC中，＝，E是线段AD上的动点（与端点不重合），设＝x＋y（x，y∈R），则的最小值是　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知向量a，b满足a＝（－1，1），b＝（1，－3）.
（1）若c＝3a＋2b，求向量c的坐标；
（2）求a与b夹角θ的余弦值.
16.（本小题满分15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B＝bcos A.
（1）求角A的大小；
（2）若a＝，且向量m＝（3，sin B）与n＝（2，sin C）共线，求b和c的值.
17.（本小题满分15分）如图所示，在平面直角坐标系中，｜｜＝2｜｜＝2，∠OAB＝，＝（－1，）.
（1）求点B，C的坐标；
（2）求证：四边形OABC为等腰梯形.
18.（本小题满分17分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（b－2c）cos A＋acos B＝0.
（1）求角A；
（2）若a＝2，
①求的值；
②求△ABC周长的范围.
19.（本小题满分17分）如图，△ABC的顶点是三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的点D，E，F上，岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到B的，岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等，补给站F在靠近岛屿C的BC的三等分点上.设＝a，＝b.
（1）用a，b表示，；
（2）若三个岛屿围成的△ABC的面积为10（＋1）平方千米，且满足＋＝1，求岛屿A和岛屿C之间距离的最小值.
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