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6.4.2　向量在物理中的应用举例
1.会用向量方法解决简单的物理问题（数学建模）. 2.体会向量在解决物理和实际问题中的作用（数学运算、逻辑推理）.
　　
知识点一｜利用向量解决力与做功问题
【例1】　（链接教材P40例3）设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若｜F1｜＝1，｜F2｜＝2，且F1与F2的夹角为，如图所示.
（1）求F3的大小；
（2）求F2与F3的夹角.
【规律方法】
用向量方法解决物理问题的四个步骤
训练1　如图所示，一个物体O受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中F1的大小为2 N，方向为北偏东30°，F2的大小为4 N，方向为北偏东60°，F3的大小为6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功.
知识点二｜利用向量解决速度、位移问题
【例2】　（链接教材P41例4）奥运会帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动.如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，在风力作用下的速度v1的大小为｜v1｜＝20 km/h，此时水的流向是正东，流速v2的大小为｜v2｜＝20 km/h，若不考虑其他因素，求帆船行驶的速度大小与方向.
【规律方法】
利用向量法解决物理问题的两种思路
（1）几何法：选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算；
（2）坐标法：通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.
训练2　（1）一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子冲向猎物的速度大小是40 m/s，则鹰的飞行速度的大小为　　　　m/s；
（2）某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m到达点B，则此人的位移的大小是　　　　m，方向是北偏东　　　　.
1.如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则（　　 ）
A.s＞｜a｜ B.s＜｜a｜
C.s＝｜a｜ D.s与｜a｜不能比大小
2.物体在力F的作用下，由点A（10，5）移动到点B（4，0），已知F＝（4，－5），力F对该物体所做功的大小为（　　）
A. B.1
C.2 D.3
3.用两条等长的绳子悬挂一个灯具，绳子成120°角，已知灯具的重力为10 N，则每根绳子的拉力大小为　　　　N.
4.河水自西向东流动的速度的大小为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度的大小为10 km/h，求小船的实际航行速度.
1.理清单 （1）利用向量解决力与做功问题； （2）利用向量解决速度、位移问题. 2.应体会 用向量解决物理问题时，先建立以向量为载体的数学模型，再通过向量的线性运算或数量积运算解决该问题，最后一定要回归到所研究问题上，体现了转化与化归的思想方法. 3.避易错 不能将物理问题转化为向量问题.
提示：完成课后作业　第六章　6.4　6.4.2
1 / 16.4.2　向量在物理中的应用举例
课标要求 情境导入
1.会用向量方法解决简单的物理问题（数学建模）. 2.体会向量在解决物理和实际问题中的作用（数学运算、逻辑推理）. 　　在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力.在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力.
知识点一｜利用向量解决力与做功问题
【例1】　（链接教材P40例3）设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若｜F1｜＝1，｜F2｜＝2，且F1与F2的夹角为，如图所示.
（1）求F3的大小；
解：（1）由题意知，｜F3｜＝｜F1＋F2｜，
因为｜F1｜＝1，｜F2｜＝2，且F1与F2的夹角为，
所以｜F3｜＝｜F1＋F2｜＝＝.
（2）求F2与F3的夹角.
解：（2）设F2与F3的夹角为θ，
因为F3＝－（F1＋F2），
所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2，
所以×2×cos θ＝－1×2×（－）－4＝－3，
所以cos θ＝－，所以θ＝.
【规律方法】
用向量方法解决物理问题的四个步骤
训练1　如图所示，一个物体O受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中F1的大小为2 N，方向为北偏东30°，F2的大小为4 N，方向为北偏东60°，F3的大小为6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功.
解：以O为原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，
则F1＝（1，），F2＝（2，2），F3＝（－3，3），
所以F＝F1＋F2＋F3＝（2－2，2＋4）.
由题意得位移s＝（4，4），故F·s＝（2－2）×4＋（2＋4）×4＝6×4＝24.
所以合力F所做的功为24 J.
知识点二｜利用向量解决速度、位移问题
【例2】　（链接教材P41例4）奥运会帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动.如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，在风力作用下的速度v1的大小为｜v1｜＝20 km/h，此时水的流向是正东，流速v2的大小为｜v2｜＝20 km/h，若不考虑其他因素，求帆船行驶的速度大小与方向.
解：如图所示，建立平面直角坐标系（x轴的正方向为东，y轴的正方向为北）.
风力的方向为北偏东30°，帆船在风力作用下的速度大小为｜v1｜＝20 km/h，水流的方向为正东，速度大小为｜v2｜＝20 km/h.
设帆船行驶的速度为v，v与x轴的夹角为α，则v＝v1＋v2.
由题意可得向量v1＝（20cos 60°，20sin 60°）＝（10，10），向量v2＝（20，0），
则帆船行驶的速度v＝v1＋v2＝（10，10）＋（20，0）＝（30，10），
所以｜v｜＝＝20（km/h），tan α＝＝.
因为α为锐角，所以α＝30°.所以帆船向北偏东60°方向行驶，速度大小为20 km/h.
【规律方法】
利用向量法解决物理问题的两种思路
（1）几何法：选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算；
（2）坐标法：通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.
训练2　（1）一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子冲向猎物的速度大小是40 m/s，则鹰的飞行速度的大小为　　m/s；
解析：（1）如图，设鹰在地面上的影子冲向猎物的速度＝v1，鹰的飞行速度＝v2，由题可知｜｜＝｜v1｜＝40，且∠CAB＝30°，则｜｜＝｜v2｜＝＝.
（2）某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m到达点B，则此人的位移的大小是　60　m，方向是北偏东　30°　.
解析：（2）如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，则｜｜＝＝60（m），tan∠BOA＝＝，所以∠BOA＝60°.所以的方向为北偏东30°.
1.如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则（　　 ）
A.s＞｜a｜ B.s＜｜a｜
C.s＝｜a｜ D.s与｜a｜不能比大小
解析：A　s＝200＋300＝500（km），｜a｜＝＝100（km），∴s＞｜a｜.故选A.
2.物体在力F的作用下，由点A（10，5）移动到点B（4，0），已知F＝（4，－5），力F对该物体所做功的大小为（　　）
A. B.1
C.2 D.3
解析：B　由题意得＝（－6，－5），所以F对物体做的功W＝F·＝（4，－5）·（－6，－5）＝4×（－6）＋（－5）×（－5）＝1.
3.用两条等长的绳子悬挂一个灯具，绳子成120°角，已知灯具的重力为10 N，则每根绳子的拉力大小为　10　N.
解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，｜｜＝10，则｜｜＝｜｜＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.
4.河水自西向东流动的速度的大小为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度的大小为10 km/h，求小船的实际航行速度.
解：设a，b分别表示水流速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作＝a，＝b，
以OA，OB为邻边作矩形OACB，连接OC，如图，
则＝a＋b，且即为小船的实际航行速度.
所以｜｜＝＝＝20（km/h）.
因为tan∠AOC＝＝，
所以∠AOC＝60°.
所以小船的实际航行速度大小为20 km/h，按北偏东30°的方向航行.
课堂小结
1.理清单 （1）利用向量解决力与做功问题； （2）利用向量解决速度、位移问题. 2.应体会 用向量解决物理问题时，先建立以向量为载体的数学模型，再通过向量的线性运算或数量积运算解决该问题，最后一定要回归到所研究问题上，体现了转化与化归的思想方法. 3.避易错 不能将物理问题转化为向量问题.
1.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则人的实际速度为（　　）
A.v1－v2 B.v2－v1
C.v1＋v2 D.｜v1｜－｜v2｜
解析：C　速度是既有大小又有方向的量，所以人的实际速度v＝v1＋v2.故选C.
2.共点力F1＝（lg 2，lg 2），F2＝（lg 5，lg 2）作用在物体M上，产生位移s＝（2lg 5，1），则共点力对物体做的功W为（　　）
A.lg 2 B.lg 5
C.1 D.2
解析：D　因为F1＋F2＝（1，2lg 2），所以W＝（F1＋F2）·s＝（1，2lg 2）·（2lg 5，1）＝2lg 5＋2lg 2＝2.
3.平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，｜F1｜＝1 N，｜F2｜＝ N，F1与F2的夹角为45°，则F3的大小为（　　）
A. N B.5 N
C. N D. N
解析：C　由题意得F3＝－（F1＋F2），所以｜F3｜＝｜－（F1＋F2）｜＝＝＝＝（N）.故选C.
4.质点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为｜v｜个单位）.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（　　）
A.（－2，4） B.（－30，25）
C.（10，－5） D.（5，－10）
解析：C　设（－10，10）为A，5秒后P点的坐标为A1（x，y），则＝（x＋10，y－10），由题意得＝5v，即（x＋10，y－10）＝（20，－15），所以解得
5.〔多选〕河水自西向东流动的速度大小为10 km/h，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它实际速度的大小为10 km/h，则该小船行驶的方向和静水速度的大小分别为（　　）
A.北偏西60° B.北偏西30°
C.20 km/h D.20 km/h
解析：BC　如图所示，设水流速度为，小船行驶的静水速度为，实际速度为，则四边形ACBD是平行四边形，∠BAC＝90°，｜｜＝10，｜｜＝｜｜＝10，∴tan∠BAD＝＝，∴∠BAD＝30°，｜｜＝＝20（km/h），方向为北偏西30°.
6.〔多选〕一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则（　　）
A.当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝5 N
B.当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为0
C.当物体所受合力为F1时，｜F2｜＝4 N
D.当｜F2｜＝2 N时，3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N
解析：ACD　对于A，当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝｜F1＋G｜＝＝5（N），选项A正确；对于B，当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为＝2（N），选项B错误；对于C，当物体所受合力为F1时，｜F2｜＝｜－G｜＝4 （N），选项C正确；对于D，当｜F2｜＝2 N时，因为F1与G的合力大小为｜F1＋G｜＝5 N，所以3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N，选项D正确.
7.河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为　2　m/s.
解析：由题意知｜v水｜＝2 m/s，｜v船｜＝10 m/s，作出示意图如图.∴｜v｜＝＝＝2（m/s）.
8.三纤夫用牵绳拉船，船的航行方向由M（2，1）至N（5，－3），若三纤夫所用力分别为F1＝（1，4），F2＝（3，－2），F3＝（0，4），则三纤夫对船所做的功为　－12　.
解析：因为F1＝（1，4），F2＝（3，－2），F3＝（0，4），所以F＝F1＋F2＋F3＝（1，4）＋（3，－2）＋（0，4）＝（4，6），因为船的航行方向由M（2，1）至N（5，－3），所以＝（5，－3）－（2，1）＝（3，－4），所以F·＝4×3＋6×（－4）＝－12.
9.有一东西方向的河流（假设河流宽度一样），一艘快艇从河南岸出发渡河，快艇航行速度的大小为2 m/s，方向为北偏西30°，河水的速度为向东1 m/s，经过20 s到达北岸，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是　10　s.
解析：如图所示，由题意知，｜｜＝2 m/s，｜｜＝1 m/s，所以｜｜＝＝（m/s），所以南北两岸的距离为×20＝20（m）；现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，所以时间为20÷2＝10（s），即从北岸出发返回南岸的时间是10 s.　
10.已知两恒力F1＝（3，4），F2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）.
（1）求力F1，F2分别对质点所做的功；
（2）求力F1，F2的合力F对质点所做的功.
解：（1）＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15），
力F1对质点所做的功
W1＝F1·＝（3，4）·（－13，－15）
＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（J），
力F2对质点所做的功
W2＝F2·＝（6，－5）·（－13，－15）
＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（J）.
所以力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J.
（2）合力F对质点所做的功
W＝F·＝（F1＋F2）·
＝[（3，4）＋（6，－5）]·（－13，－15）＝（9，－1）·（－13，－15）
＝9×（－13）＋（－1）×（－15）
＝－117＋15＝－102（J）.
所以合力F对质点所做的功为－102 J.
11.在日常生活中，我们会看到两个人共提一个旅行包.当两人提着质量为G的旅行包时，夹角为θ，两人拉力的大小都为｜F｜，若｜F｜＝｜G｜，则θ的值为（　　）
A.30° B.60°
C.90° D.120°
解析：B　设两人用力分别为F1，F2，则｜F1｜＝｜F2｜＝｜F｜，｜F1＋F2｜＝｜G｜，∴＋＋2F1·F2＝G2，又｜F｜＝｜G｜，∴2｜F｜2＋2｜F｜2cos θ＝3｜F｜2，解得cos θ＝，∴θ＝60°.
12.〔多选〕如图所示，小船被绳索拉向岸边，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（　　）
A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小
C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变
解析：AC　设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ（0＜θ＜）.则｜F｜cos θ＝｜f｜，所以｜F｜＝.因为θ增大，cos θ减小，所以｜F｜增大.因为｜F｜sin θ增大，且｜F｜sin θ加上浮力等于船的重力，所以船的浮力减小.
13.〔多选〕长江某处的南北两岸平行，江面宽度为2 km，一艘船从江南岸边的A处出发到江北岸.如图，船在静水中的速度v1的大小为｜v1｜＝10 km/h，水流方向自西向东，且速度v2的大小为｜v2｜＝6 km/h.设v1与v2的夹角为θ（0＜θ＜π），北岸的点A'在A的正北方向，则（　　）
A.当船的航行距离最短时，cos θ＝－
B.当船的航行时间最短时，θ＝
C.当θ＝时，船航行到达北岸的位置在A'的左侧
D.当θ＝时，船的航行距离为 km
解析：BD　对于A，当船的航行距离最短时，v1＋v2的方向与河岸垂直，从而cos θ＝－cos（π－θ）＝－＝－＝－，故A错误；对于B，船的航行时间t＝＝（h），若要船的航行时间最短，则sin θ最大，即当且仅当θ＝时，船的航行时间最短，故B正确；对于C，当θ＝时，船水平方向的速度大小为｜｜v1｜cos（π－π）－｜v2｜｜＝1（km/h），方向水平向右，故最终到达北岸时船在点A'的右侧，故C错误；对于D，由题意设位移分量为s1＝v1t，s2＝v2t，位移为s，则s＝s1＋s2＝（v1＋v2）t，其中t＝＝＝，所以｜s｜＝｜v1＋v2｜t＝t＝×＝（km），故D正确.故选B、D.
14.如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
（1）判断｜F1｜，｜F2｜随角θ的变化而变化的情况；
（2）当｜F1｜≤2｜G｜时，求角θ的取值范围.
解：（1）如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，
得－G＝F1＋F2，｜F1｜＝，
｜F2｜＝｜G｜tan θ，当θ从0趋向于时，｜F1｜，｜F2｜都逐渐增大.
（2）由｜F1｜＝，｜F1｜≤2｜G｜，得cos θ≥.
又0≤θ＜，所以0≤θ≤，故角θ的取值范围为［0，］.
15.如图，已知某河流河水自西向东流，流速大小为｜v0｜＝1 m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2.
（1）若此人朝正南方向游去，且｜v1｜＝ m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；
（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且｜v2｜＝ m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小.
解：如图1，设＝v0，＝v1，＝v2，则由题意知v2＝v0＋v1，｜｜＝1 m/s，
根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形.
（1）由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，且｜｜＝｜｜＝ m/s，如图2所示，
则在Rt△OAC中，｜v2｜＝｜｜＝＝2（m/s）.
因为tan∠AOC＝＝，且α＝∠AOC∈（0，），
所以α＝.
故他实际前进方向与水流方向的夹角α为，v2的大小为2 m/s.
（2）由题意知α＝∠AOC＝∠OCB＝，且｜v2｜＝｜｜＝ m/s，｜｜＝1 m/s，如图3所示，则在Rt△OBC中，｜v1｜＝｜｜＝＝2（m/s）.
因为tan∠BOC＝＝，∠BOC∈（0，），
所以∠BOC＝，则β＝∠BOA＝＋＝.
故他游泳的方向与水流方向的夹角β为，v1的大小为2 m/s.
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