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章末检测（七）　复数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设复数z＝，则z在复平面内对应的点的坐标为（　　）
A.（1，1） B.（－1，1）
C.（1，－1） D.（－1，－1）
解析：B　z＝＝＝＝－1＋i，则z在复平面内对应的点的坐标为（－1，1）.故选B.
2.已知复数z＝m2－1＋（m＋i2）i（m∈R）为纯虚数，则m＝（　　）
A.1 B.－1
C.1或－1 D.2
解析：B　z＝m2－1＋（m＋i2）i＝m2－1＋（m－1）i，因为复数z为纯虚数，所以解得m＝－1.故选B.
3.已知复数z满足（1－i）2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为（　　）
A.2 B.1
C.－2 D.i
解析：B　由题意，化简得z＝＝＝＝2＋i，所以复数z的虚部为1.故选B.
4.若z＝1＋i，则｜iz＋3｜＝（　　）
A.4 B.4
C.2 D.2
解析：D　因为z＝1＋i，所以iz＋3＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3｜＝｜2－2i｜＝＝2.故选D.
5.已知复数z＝，则z在复平面内所对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：C　因为z＝＝＝＝＝－－i，所以z在复平面内所对应的点在第三象限.故选C.
6.在复平面上，复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－i所对应的点分别是Z1，Z2，Z3，则下列复数所对应的点与这三个点不在同一个圆上的是（　　）
A.z＝ B.z＝5i
C.z＝＋i D.z＝－1－2i
解析：B　｜z1｜＝，｜z2｜＝，｜z3｜＝，∴Z1，Z2，Z3都在以原点为圆心，半径为的圆上，∵z＝5i的模长｜z｜＝5，∴z＝5i对应的点与这三个点不在同一圆上.故选B.
7.在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝i（－4＋3i），z2＝7＋i对应的点分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为（　　）
A. B.
C. D.
解析：C　因为z1＝i（－4＋3i）＝－3－4i，z2＝7＋i，所以＝（－3，－4），＝（7，1），所以·＝－21－4＝－25，所以cos∠Z1OZ2＝＝－＝－.又∠Z1OZ2∈[0，π]，所以∠Z1OZ2＝.
8.已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实根b，且z＝a＋bi，则复数z＝（　　）
A.2－2i B.2＋2i
C.－2＋2i D.－2－2i
解析：A　由b是方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）的根可得b2＋（4＋i）b＋4＋ai＝0，整理可得（b＋a）i＋（b2＋4b＋4）＝0，所以解得所以z＝2－2i.故选A.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下面关于复数z＝的四个说法中，正确的有（　　）
A.｜z｜＝2 B.z2＝2i
C.z的共轭复数为1＋i D.z的虚部为－1
解析：BD　∵z＝＝＝－1－i，∴｜z｜＝，A不正确；z2＝（－1－i）2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C不正确；z的虚部为－1，D正确.
10.设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是（　　）
A.若｜z1－z2｜＝0，则＝ B.若z1＝，则＝z2
C.若｜z1｜＝｜z2｜，则z1＝z2 D.若｜z1｜＝｜z2｜，则＝
解析：ABC　A项，｜z1－z2｜＝0 z1－z2＝0 z1＝z2 ＝，真命题；B项，z1＝ ＝z2，真命题；C项，｜z1｜＝｜z2｜ ｜z1｜2＝｜z2｜2 z1＝z2，真命题；D项，当｜z1｜＝｜z2｜时，可取z1＝1，z2＝i，显然＝1，＝－1，即≠，假命题.
11.任何一个复数z＝a＋bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示成：z＝r（cos θ＋isin θ）的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r（cos θ＋isin θ）]n＝rn（cos nθ＋isin nθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（　　）
A.当r＝1，θ＝，n＝1时，＝－I B.（＋i）3＝1
C.｜z4｜＝｜z｜4 D.（＋i）10在复平面内对应的点在第三象限
解析：AC　对A，由题意可知，当r＝1，θ＝，n＝1时，z＝r（cos θ＋isin θ）＝＋i，所以＝－i，A正确；对B，（＋i）3＝（cos ＋isin ）3＝cos π＋isin π＝－1，所以B错误；对C，｜z4｜＝｜r4（cos 4θ＋isin 4θ）｜＝r4，｜z｜4＝r4，所以C正确；对D，由（＋i）10＝（cos ＋isin ）10＝cos ＋isin ＝－i，所以（＋i）10在复平面内对应的点的坐标为（，－），在第四象限，D错误.故选A、C.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.若复数z满足z（1＋i）24＝2＋i，则复数z在复平面内对应的点位于第　一　象限.
解析：因为（1＋i）24＝[（1＋i）2]12＝（2i）12＝212，所以z＝＝＋i，所以复数z在复平面内对应的点为（，），该点位于第一象限.
13.已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i（a∈R）对应的复平面内的点分别为Z1和Z2，且⊥，则a＝　　.
解析：依题意可知＝（－3，4），＝（2a，1）.因为⊥，所以·＝0，即－6a＋4＝0，解得a＝.
14.已知复数z＝a＋bi（a，b∈R），1≤｜z｜≤2，则｜z＋1｜的取值范围为　[0，3]　.
解析：由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤｜z｜≤2表示如图所示的圆环，而｜z＋1｜表示复数z的对应点A（a，b）与复数z1＝－1的对应点B（－1，0）之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当点A与点B重合时，dmin＝0；当点A与点C（2，0）重合时，dmax＝3，∴0≤｜z＋1｜≤3，∴｜z＋1｜的取值范围是[0，3].
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
（1）z1z2；
解：z2＝＝＝
＝＝1－3i.
（1）z1z2＝（2－3i）（1－3i）＝－7－9i.
（2）.
（2）＝＝＝＝＋i.
16.（本小题满分15分）已知复数z＝（1＋i）m2－4i－3m＋2（m∈R）.
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围.
解：（1）由题意可得z＝（m2－3m＋2）＋（m2－4）i，
则z的实部为m2－3m＋2，虚部为m2－4.
因为z是纯虚数，所以解得m＝1.
（2）由题意可得解得－2＜m＜1，即m的取值范围是（－2，1）.
17.（本小题满分15分）设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2.
（1）求｜z｜的值及z的实部的取值范围；
（2）设μ＝，求证：μ为纯虚数.
解：（1）∵z是虚数，∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
∴ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝x＋＋（y－）i，
可得 x2＋y2＝1 ｜z｜＝1，
此时，ω＝2x －＜x＜1，
即z的实部的取值范围为（－，1）.
（2）证明：μ＝＝＝＝，∵y≠0，∴μ为纯虚数.
18.（本小题满分17分）设复数z1＝2＋i在复平面内对应的向量为，复数z2＝－1＋λi在复平面内对应的向量为，复数z3＝－2＋i在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线.
（1）求实数λ的值；
（2）求的坐标；
（3）已知点D（3，5），若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.
解：（1）复数z1＝2＋i在复平面内对应的向量＝（2，1），
复数z2＝－1＋λi在复平面内对应的向量＝（－1，λ），
复数z3＝－2＋i在复平面内对应的向量＝（－2，1），＝＋＝（2，1）＋（－1，λ）＝（1，λ＋1）.
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得＝k，所以（1，λ＋1）＝k（－2，1），
解得k＝－，λ＝－.
（2）由（1）知＝＋＝（－1，－）＋（－2，1）＝（－3，－）.
（3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以＝，
设A（x，y），则＝（3－x，5－y）.
由（2）得＝（－3，－），
所以解得
故点A的坐标为（6，）.
19.（本小题满分17分）已知复数z1，z2满足z1·z2∈R，z1＝.
（1）求z1；
（2）求｜2z1＋z2｜的最小值.
解：（1）z1＝＝＝＝＋i.
（2）设z2＝a＋bi（a，b∈R），
则z1·z2＝＝.
因为z1·z2∈R，所以＝0，即a＝－b，
故z2＝－b＋bi，
则｜2z1＋z2｜＝｜（1－b）＋（1＋b）i｜＝＝≥，当b＝时取等号.
故｜2z1＋z2｜的最小值为.
1 / 1章末检测（七）　复数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设复数z＝，则z在复平面内对应的点的坐标为（　　）
A.（1，1） B.（－1，1）
C.（1，－1） D.（－1，－1）
2.已知复数z＝m2－1＋（m＋i2）i（m∈R）为纯虚数，则m＝（　　）
A.1 B.－1
C.1或－1 D.2
3.已知复数z满足（1－i）2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为（　　）
A.2 B.1
C.－2 D.i
4.若z＝1＋i，则｜iz＋3｜＝（　　）
A.4 B.4
C.2 D.2
5.已知复数z＝，则z在复平面内所对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.在复平面上，复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－i所对应的点分别是Z1，Z2，Z3，则下列复数所对应的点与这三个点不在同一个圆上的是（　　）
A.z＝ B.z＝5i
C.z＝＋i D.z＝－1－2i
7.在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝i（－4＋3i），z2＝7＋i对应的点分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为（　　）
A. B.
C. D.
8.已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实根b，且z＝a＋bi，则复数z＝（　　）
A.2－2i B.2＋2i
C.－2＋2i D.－2－2i
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下面关于复数z＝的四个说法中，正确的有（　　）
A.｜z｜＝2 B.z2＝2i
C.z的共轭复数为1＋i D.z的虚部为－1
10.设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是（　　）
A.若｜z1－z2｜＝0，则＝
B.若z1＝，则＝z2
C.若｜z1｜＝｜z2｜，则z1＝z2
D.若｜z1｜＝｜z2｜，则＝
11.任何一个复数z＝a＋bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示成：z＝r（cos θ＋isin θ）的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r（cos θ＋isin θ）]n＝rn（cos nθ＋isin nθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（　　）
A.当r＝1，θ＝，n＝1时，＝－i
B.（＋i）3＝1
C.｜z4｜＝｜z｜4
D.（＋i）10在复平面内对应的点在第三象限
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.若复数z满足z（1＋i）24＝2＋i，则复数z在复平面内对应的点位于第　　　　象限.
13.已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i（a∈R）对应的复平面内的点分别为Z1和Z2，且⊥，则a＝　　　　.
14.已知复数z＝a＋bi（a，b∈R），1≤｜z｜≤2，则｜z＋1｜的取值范围为　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
（1）z1z2；
（2）.
16.（本小题满分15分）已知复数z＝（1＋i）m2－4i－3m＋2（m∈R）.
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围.
17.（本小题满分15分）设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2.
（1）求｜z｜的值及z的实部的取值范围；
（2）设μ＝，求证：μ为纯虚数.
18.（本小题满分17分）设复数z1＝2＋i在复平面内对应的向量为，复数z2＝－1＋λi在复平面内对应的向量为，复数z3＝－2＋i在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线.
（1）求实数λ的值；
（2）求的坐标；
（3）已知点D（3，5），若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.
19.（本小题满分17分）已知复数z1，z2满足z1·z2∈R，z1＝.
（1）求z1；
（2）求｜2z1＋z2｜的最小值.
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